2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优16　圆锥曲线中的角度问题

培优16圆锥曲线中的角度问题类型1与直角、锐角和钝角有关问题例

(2025湖北省名校联合测评)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为

,C上一点与F1,F2的距离的差的绝对值等于4.(1)求双曲线C的方程;(2)过点F2作斜率为k的直线l与C交于A,B两点.当∠AF1B为锐角时,求k的取值范围.解析

(1)涉及C上一点与F1,F2的距离的差的绝对值考虑双曲线的定义.依题意得

解得

所以双曲线C的方程为

-

=1.(2)题干中条件∠AF1B为锐角可翻译为

·

>0,由(1)知F1(-2

,0),F2(2

,0),依题意知直线l的斜率k≠0,且直线l的方程为y=k(x-2

),由

消去y整理得(2-k2)x2+4

k2x-12k2-8=0,由l与C交于A,B两点得

解得k≠±

.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-

,x1x2=

,所以y1y2=k2(x1-2

)(x2-2

)=k2[x1x2-2

(x1+x2)+12]=k2

=

.因为∠AF1B为锐角,所以

·

>0,(显然A,B,F1不共线,不存在夹角为0的情况)即

·

=(x1+2

)(x2+2

)+y1y2=x1x2+2

(x1+x2)+12+y1y2=

-2

×

+12+

=

>0,解得k2<

或k2>2,则-

<k<

或k>

或k<-

,又k≠0,所以k的取值范围为(-∞,-

)∪

∪

∪(

,+∞).总结归纳有关角度类型问题的解题策略角度类型核心转化思路常用解题策略直角两直线垂直1.斜率积为-1(斜率存在);2.向量数量积为0(最通用);3.勾股定理(边长关系);4.直径所对的圆周角为直角(点在以已知线段为直径的圆上)锐角大于0°小于90°1.向量数量积>0(最直接)(注意夹角为0°的情况);2.余弦值>0(利用余弦定理)钝角大于90°小于180°1.向量数量积<0(最直接)(注意夹角为180°的情况);2.余弦值<0(利用余弦定理)类型2与角平分线有关问题例

(2025江西省重点高中协作体第二次联考节选)已知点P(x0,y0)是双曲线C:

-

=1在第一象限内的任意一点,F1,F2分别为C的左、右焦点.直线l:

-

=1,直线l交x轴于点G.(1)已知PF2⊥x轴,求直线l的方程;(2)求证:直线l为∠F1PF2的平分线.解析

(1)由题知F1(-3,0),F2(3,0),因为PF2⊥x轴,所以x0=3,将x0=3代入双曲线方程可得y0=±

,又P在第一象限内,所以y0=

,所以直线l的方程为

-

=1,整理可得3x-2y-4=0.(2)证明:若直线l为∠F1PF2的平分线,则由角平分线定理可得

=

,所以只需表示出|PF1|,|PF2|及|GF1|,|GF2|,然后利用正弦定理和诱导公式给出证明即可.因为F1(-3,0),F2(3,0),P(x0,y0),x0>2,则|PF1|=

=

=

x0+2,|PF2|=

=

=

x0-2,

由P(x0,y0)在双曲线上得

-

=1,则

=5

,从而将|PF1|,|PF2|用只含x0的式子表示

在

-

=1中,令y=0,得x=

,所以G

,则|GF1|=3+

,|GF2|=3-

,所以

=

=

,

=

=

,所以

=

.在△PGF1中,由正弦定理得

=

①,在△PGF2中,由正弦定理得

=

②,因为∠PGF1+∠PGF2=π,所以sin∠PGF1=sin∠PGF2,联立①②得sin∠F1PG=sin∠GPF2,又∠F1PG+∠GPF2=∠F1PF2∈(0,π),所以∠F1PG=∠GPF2,即直线l为∠F1PF2的平分线.技巧点拨

如图,要证AD平分∠BAC,只需证明

=

,然后结合正弦定理和诱导公式证明∠BAD=∠CAD.

类型3证明角度相等类问题例

(高考真题精选)设椭圆C:

+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解析

(1)根据l与x轴垂直,且过点F(1,0),求得直线l的方程为x=1,代入椭圆方程求得点A

的坐标,利用两点式求得直线AM的方程.由已知得F(1,0),l的方程为x=1.把x=1代入椭圆方程得y=±

,则点A的坐标为

或

.所以AM的方程为y=-

x+

或y=

x-

.(2)证法一通性通法:分类+常规联立观察到点M在x轴上,若∠OMA=∠OMB,则直线MA,MB的倾斜角互补,所以只需证明直

线MA,MB的斜率之和为0.当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l的斜率不存在,即l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.(易错点:设点斜式方程的前提是斜率一定存在,所以不要忘记斜率不存在的情况)当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<

,x2<

,联立

消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以x1+x2=

,x1x2=

.又kMA=

,kMB=

,所以kMA+kMB=

+

=

=

=0.故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.证法二:若证∠OMA=∠OMB,则只需说明MO为∠AMB的平分线,则可证直线MO为直线

MA,MB的对称轴,即证点A关于x轴对称的点N与点B的连线经过点M(角平分线上的点到

角两边的距离相等),当直线l与x轴重合时,显然有∠OMA=∠OMB.(易错点:直线方程x=my+t不能表示斜率为0的直线,所以一定不要忘记考虑直线l与x轴

重合的情况)当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).当m=0时,直线l与x轴垂直,OM是AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当m≠0时,由

消去x得(m2+2)y2+2my-1=0.由根与系数的关系得y1+y2=

,y1y2=

.设点A关于x轴对称的点为N(x1,-y1),则直线BN的方程为(y+y1)(x2-x1)=(y1+y2)(x-x1).令y=0,得x=

+x1=

=

=

=2,则直线BN过点M,所以∠OMA=∠OMB.归纳总结证明两个角相等的几种方法证明方向具体方法适用场景转化为证明角平分线转化为证明角平分线(到角两边距离相等、角平分线定理)图形中存在明显的角平分线或对称轴利用几何图形性质等腰三角形底角相等、两平行线的同位角(或内错角)相等、全等(或相似)三角形的对应角相等等图形中可构造特殊几何图形利用斜率或倾斜角证明两直线斜率相等(倾斜角相等)或互为相反数(关于坐标轴对称)角度与坐标轴平行或对称利用向量夹角公式计算两个向量的夹角余弦值相等易于用坐标表示时类型4求角度值类问题例

(2025河北秦皇岛二模节选)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,O

为坐标原点.(1)求E的方程;(2)过M(-4,0)的直线交E于A,B两点,过N(-4,4

)的直线交E于A,C两点,B,C位于x轴的同侧,证明:∠BOC为定值.解析

(1)因为焦点F到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证明:若∠BOC为定值,则∠BOC可求,发现∠BOC=∠BOx-∠COx,直线BO,CO的斜率

可求,用两角差的正切公式求tan∠BOC.设A

,B

,C

,

则直线AB的斜率kAB=

=

,可得直线AB的方程为y-y1=

,整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,同理可得直线AC的方程为4x-(y1+y3)y+y1y3=0,因为点M,N分别在直线AB,AC上,所以-16+y1y2=0,-16-4

(y1+y3)+y1y3=0,所以

又因为直线OB,OC的斜率分别为kOB=

=

,kO