2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优13　圆锥曲线中的弦长与面积问题

培优13圆锥曲线中的弦长与面积问题类型1三角形面积问题例

(高考真题精选)已知椭圆C:

+

=1(0<m<5)的离心率为

,A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.解析

(1)根据离心率列方程求解.由题设可得

=

,解得m2=

,所以C的方程为

+

=1.(2)解法一:设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据椭圆的对称性,不妨设yP>0,则yQ>0.由已知得B(5,0).因为BP⊥BQ,所以kBP=-

=-

,所以直线BP的方程为y=-

(x-5),因为点P在直线BP上,所以xP-5=-yPyQ,所以|BP|=

=yP

,因为|BP|=|BQ|,|BQ|=

,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.则P(3,1)或P(-3,1),将其分别代入直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).下面利用两点间距离公式和点到直线的距离公式求三角形面积.|P1Q1|=

,直线P1Q1的方程为y=

x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为

,故△AP1Q1的面积为

×

×

=

.|P2Q2|=

,直线P2Q2的方程为y=

x+

,点A(-5,0)到直线P2Q2的距离为

,故△AP2Q2的面积为

×

×

=

.综上,△APQ的面积为

.解法二向量法:同解法一,可得A,P,Q的坐标.①当P(3,1),A(-5,0),Q(6,2)时,

=(8,1),

=(11,2),则S△APQ=

|

||

|sin∠PAQ=

×|8×2-1×11|=

.②当P(-3,1),A(-5,0),Q(6,8)时,

=(2,1),

=(11,8),则S△APQ=

|

||

|sin∠PAQ=

×|2×8-1×11|=

.综上,△APQ的面积为

.技巧点拨常见三角形面积模型图形计算方法

S=

|AB|d(|AB|为弦长,d为P到直线AB的距离),若直线AB的方程为y=kx+m,则|AB|=

|xA-xB|,若直线AB的方程为x=my+n,则|AB|=

|yA-yB|

S△ABC=

|AE||xB-xC|或S△ABC=

|BD||yA-yC|,|BD|为“水平宽”,|AE|为“铅垂高”,适用于BD在x轴上或与x轴平行或AE在y轴上或与y轴平

行

已知△AOB中,

=(x1,y1),

=(x2,y2),则cos∠AOB=

=

,而∠AOB∈(0,π),∴sin∠AOB=

=

=

,∴S△AOB=

|

||

|sin∠AOB=

|x1y2-y1x2|.当三个顶点都不在原点时,找相邻两条边对应的向量,以

解法二为例,

=(x1,y1),

=(x2,y2)类型2四边形面积问题例

(高考真题精选)已知曲线C:y=

,D为直线y=-

上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E

为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.解析

(1)证明:设D

,A(x1,y1),则

=2y1.用导数求出抛物线在点A处的切线的斜率.由于y'=x,所以切线DA的斜率为x1,故

=x1(斜率相等).整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点

.(2)根据题意画出示意图,发现直线AB将四边形ADBE沿对角线AB分割成两个三角形,所

以问题转化为求两个以AB为底的三角形的面积之和.

由(1)得直线AB的方程为y=tx+

.由

可得x2-2tx-1=0,于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,则|AB|=

|x1-x2|=

=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=

,d2=

.因此,四边形ADBE的面积S=

|AB|(d1+d2)=(t2+3)

.四边形ADBE的面积转化为求t的值,注意题中还有条件圆E与直线AB相切,由相切出现垂直,结合向量求解.设M为线段AB的中点,则M

,由于

⊥

,而

=(t,t2-2),

与向量(1,t)平行,(提示:直线AB的方向向量为(1,t))所以t+(t2-2)t=0,解得t=0或t=±1.当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4

.因此,四边形ADBE的面积为3或4

.技巧点拨常见四边形面积处理技巧一般四边形

S=

|AC|·|BD|·sinα

S=

|AC|·(d1+d2)对角线互相垂直

S=

|AC|·|BD|类型3三角形面积比问题例已知A,B分别为椭圆C:

+

=1(a>b>0)的左、右顶点,ab=6

,M,N均为椭圆C上异于顶点的点,H为椭圆C上的点,直线HM经过左焦点F1,直线HN经过右焦点F2(1,0).(1)求椭圆C的标准方程.(2)试问

+

是不是定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.(3)设△HMN的面积与△HF1F2的面积分别为S△HMN,

,求

的最小值.解析

(1)依题意可得

解得a2=9,b2=8,所以椭圆C的标准方程为

+

=1.(2)

+

是定值.H,F1,M三点共线,H,F2,N三点共线,故可将

,

转化为向量模之间的关系,

易得F1(-1,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0),则

=(x1-x0,y1-y0),

=(-1-x0,-y0),

=(x2-x0,y2-y0),

=(1-x0,-y0),设

=t

,

=k

,t>1,k>1,则

即

将点M,N的坐标用H点的坐标表示,因为M,N,H均为椭圆上的点,所以可代入椭圆方程.则M((1-t)x0-t,(1-t)y0),N((1-k)x0+k,(1-k)y0),因为M,H在椭圆上,所以

(提示:①×(1-t)2-②可消掉y0)①×(1-t)2-②得

=t2-2t,(注意t>1,两边同除以t后解得t的值)即t=

=1+

,因为N,H在椭圆上,所以

③×(1-k)2-④得-

=k2-2k,即k=

=1-

,则

+

=

+

=

+

=

-

=

.(3)观察到△HMN与△HF1F2共顶点,且点H,F1,M共线,H,F2,N共线,所以利用三角形面积

公式S=

absinC将面积比值问题进行转化.由(2)易得

=

=

=tk.此时联想(2)中的定值,进行求解,由

+

=

,得5tk=7(t+k)-9.等式左边出现了tk,右边出现了t+k,联想利用基本不等式求解.因为t>1,k>1,所以5tk=7(t+k)-9≥14

-9,解得tk