2027版53B版新高考版数学总复习重难突破专题四　三角函数与解三角形

专题四三角函数与解三角形体系透视体系透视目录题型透析题型13三角恒等变换题型14三角函数的图象及性质题型15解三角形中爪型三角形问题体系透视

题型13三角恒等变换角度1凑角技巧题型透析例1设α,β∈

,若

=-2,则cos(α+β)=

()A.

B.

C.-

D.-

A

解析解法一:要求的目标式中有(α+β),想办法让已知条件中也出现(α+β),联想到凑角

技巧,可以凑出如下形式:α=

+

,β=

-

,所以sinα=sin

=sin

cos

+cos

·sin

,sinβ=sin

=sin

cos

-cos

sin

,cosα=cos

=cos

cos

-sin

sin

,cosβ=cos

=cos

cos

+sin

sin

,则

=

=-

=-2,故tan

=

,则cos2

=

=

=

,所以cos(α+β)=2cos2

-1=

.解法二:利用辅助角公式求解,由题意,得sinα-sinβ=-2cosα+2cosβ,cosα≠cosβ,所以sinα+2cosα=sinβ+2cosβ,设f(x)=sinx+2cosx=

sin(x+φ),其中cosφ=

,sinφ=

,φ∈

,因为f(α)=f(β),α≠β,α,β∈

,且α+φ∈(0,π),β+φ∈(0,π),所以只有当α+φ+β+φ=π时,f(α)=f(β)成立,所以cos(α+β)=cos(π-2φ)=-cos2φ=2sin2φ-1=

.故选A.例2

(2025江苏南通阶段练习)已知x,y∈

,cos(x+y)=-

,sin2x-sin2y=-

,则tan2x=

()A.

B.

C.-

D.-

C

解析由x,y∈

,知x+y∈(0,π),所以sin(x+y)=

=

,(求值之前先确定角的范围)将“所求角”用“已知角”表示出来,并通过已知等式计算.2x=(x+y)+(x-y),2y=(x+y)-(x-y),则sin2x=sin[(x+y)+(x-y)]=sin(x+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)①,sin2y=sin[(x+y)-(x-y)]=sin(x+y)cos(x-y)-cos(x+y)sin(x-y)②,①-②,得sin2x-sin2y=2cos(x+y)sin(x-y),又sin2x-sin2y=2cos(x+y)sin(x-y)=-

,所以sin(x-y)=

,

提示:求sin(x-y)的值时,可用和差化积公式求解,即sin2x-sin2y=2cos

·sin

=2cos(x+y)sin(x-y)=-

,又cos(x+y)=-

,所以sin(x-y)=

又由x,y∈

,知x-y∈

,得cos(x-y)=

,(余弦值在第一、四象限为正)则sin2x=sin[(x+y)+(x-y)]=sin(x+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)=

×

+

×

=

,无法判断出角2x终边的具体位置,所以无法用cos22x+sin22x=1求cos2x,同样把2x用(x+y)

+(x-y)表示,然后用两角和的余弦公式求解.cos2x=cos[(x+y)+(x-y)]=cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)=

×

-

×

=-

,所以tan2x=

=

=-

.故选C.技巧总结凑角技巧已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求

表达式中的角的关系,根据需要灵活地进行拆角或凑角变换.1.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为“已知角”的和或差的形式.如:2α=(α+β)+(α-β);α=

+

;α=(α+β)-β=(α-β)+β;

=

-

,α-γ=(α-β)+(β-γ).2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再

应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.如:

+α=

-

,

+

=

.角度2三角恒等变换与解三角形综合例3

(多选)(2026福建泉州质量监测)在斜△ABC中,若

+

=4cosC,则

()A.sin2A+sin2B=sin2C

B.C的最大值为

C.sinAsin(C-B)=sinBsin(A-C)

D.

+

=

BCD解析对于A,已知等式中既含有正弦,又含有余弦,可利用正弦定理和余弦定理将角化

为边.由

+

=4cosC及正、余弦定理得

+

=4·

,化简得a2+b2=2c2.因为sin2A+sin2B=sin2C,所以由正弦定理得a2+b2=c2,与a2+b2=2c2矛盾,故A错误;对于B,因为sinA>0,sinB>0,所以

>0,

>0,由积为定值,可结合基本不等式判断.所以4cosC=

+

≥2

=2,当且仅当

=

,即A=B时,等号成立,所以cosC≥

,又因为C∈(0,π),y=cosx在(0,π)上单调递减,所以C∈

,所以C的最大值为

,故B正确;对于C,由sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C),得sin(A+C)sin(A-C)=(sinAcosC+cosAsinC)·(sinAcosC-cosAsinC)=sin2Acos2C-cos2Asin2C=sin2A(1-sin2C)-(1-sin2A)sin2C=sin2A-sin2C,同理可得sin(C+B)sin(C-B)=sin2C-sin2B,假设sin2A-sin2C=sin2C-sin2B,移项得sin2A+sin2B=2sin2C,由A知a2+b2=2c2,即sin2A+sin2B=2sin2C,故C正确;对于D,利用切化弦,

+

=

+

=

=

=

,

=

,因为a2+b2=2c2,所以cosC=

=

=

,所以

=

=左边,所以

+

=

,故D正确.故选BCD.技巧总结

三角恒等变换与解三角形综合题目中常用的结论.1.射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.2.正切恒等式(1)若A+B≠

,则tanA+tanB+tanC=tanAtanB·tanC;(2)若A+B=

,则(1+tanA)(1+tanB)=2;(3)若A+B=

,则(1+

tanA)(1+

tanB)=4.3.正弦平方和公式sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC.4.正弦平方差公式sin(A+B)sin(A-B)=sin2A-sin2B.5.余弦平方和公式cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.6.余弦平方差公式-sin(A+B)sin(A-B)=cos2A-cos2B.7.余、正弦平方差公式cos(A+B)cos(A-B)=cos2A-sin2B.题型14三角函数的图象及性质1.三角函数的单调性(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合函数单调性规

律“同增异减”.(2)求形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(其中A≠0,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+

φ”为一个整体,通过解不等式求解.如果ω<0,那么一定要先借助诱导公式将x的系数化

为正数.(3)已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求

解.2.三角函数的奇偶性

3.三角函数的周期性求三角函数的最小正周期,一般先通过三角恒等变换化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx

+φ)+B或y=Atan(ωx+φ)+B(A,ω,φ,B为常数,A≠0,ω≠0)的形式,再应用公式T=

(正弦、余弦型)或T=

(正切型)求解.4.三角函数图象的对称性函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A≠0,ω≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或

最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函

数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行.角度1由三角函数图象求解析式例1

(多选)(高考真题精选)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)=

()A.sin

B.sin

C.cos

D.cos

BC

解析先求ω,图中能用于推周期的关键点(最值点、零点),观察图象有两个相邻零点x

=

和x=

.由题图可知,

=

-

=

,∴T=π,由T=

可知,

=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),再求φ,又∵图象过

,∴sin

=0,又∵

是f(x)的下降零点,∴

+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=

+2kπ,k∈Z,不妨取φ=

,则f(x)=sin

2x+

=sin

+

=cos

利用诱导公式sin

=cosα化简

,f(x)=sin

=sin

=sin

(利用诱导公式sin(π-α)=sinα化简),故选BC.归纳总结

求函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)解析式的方法与步骤

角度2三角函数的性质例2

(多选)(2025四川广安月考)已知函数f(x)=cos(2x-2φ)

的图象与函数g(x)=sin(2x+φ)的图象重合,则

()A.g(x)在

上单调递增B.g(x)的图象关于直线x=

对称C.直线y=-

+

是曲线y=g(x)的切线D.若关于x的方程f(x)=m在

上有两个不同的实数解,则m∈

AC

解析由于两个不同名的函数的图象重合,所以先化同名.根据三角函数的诱导公式

cosα=sin

,可得cos(2x-2φ)=sin

,因为函数f(x)与g(x)的图象重合,所以sin

2x-2φ+

=sin(2x+φ).根据正弦函数的周期性得,-2φ+

+2kπ=φ,k∈Z,即φ=

,k∈Z,又φ∈

,则φ=

,则g(x)=sin

.选项A,求g(x)的单调递增区间,令-

+2kπ≤2x+

≤

+2kπ(k∈Z),解得-

+kπ≤x≤

+kπ(k∈Z).故g(x)的单调递增区间为

-

+kπ,

+kπ

,k∈Z,当k=0时,g(x)在

上单调递增,故A正确.选项B,求g(x)图象的对称轴,令2x+

=

+kπ(k∈Z),解得x=

+

(k∈Z),令

=

+

,得k=

,

∉Z,因此直线x=

不是g(x)图象的对称轴,故B错误.选项C,求g'(x),然后令g'(x)=-

,求出切点坐标,得出切线方程,进行判断.求导得g'(x)=2cos

.令g'(x)=-

,即2cos

=-

,则2x+

=

+2kπ(k∈Z)或2x+

=

π+2kπ(k∈Z),即x=

+kπ(k∈Z)或x=

+kπ(k∈Z),取k=0,x=

或x=

,此时g

=

,则切线方程为y-

=-

,即y=-

+

,故C正确.选项D,关于x的方程f(x)=m在x∈

上有两个不同的实数解等价于y=f(x),x∈

的图象与直线y=m有两个交点.f(x)=cos

,令t=2x-

,当x∈

时,t∈

.函数y=cost在t∈

上单调递增,在t∈

上单调递减,y=cost,t∈

的大致图象如图,

问题转化为y=cost,t∈

的图象与直线y=m有两个交点,由图可知

<m<1,故D错误.故选AC.例3若函数f(x)=sin(ωx+φ)

ω>0,|φ|<

满足f(0)=

,f

+f

=0,且f(x)在

上单调,则ω=___________.解析由题意知f(0)=sinφ=

,又|φ|<

,所以φ=

,f(x)=sin

.要求ω的值,需要把ω表示出来,如图,

f(x)在

上单调,结合f

+f

=0得

为f(x)图象的对称中心,可算出ω.所以

ω+

=kπ,k∈Z,ω=4k-

,k∈Z,发现只要k取正整数,就能满足ω>0,但是k能取所有的正整数吗?应该不能,因为f

=0不能保证f(x)在

上单调,故还需满足

的区间长度不超过半个周期,所以

≥

-

=

,故T≥

,即

≥

,则ω≤6,又ω>0,所以0<ω≤6,从而k只能取1,故ω=

.题型15解三角形中爪型三角形问题角度1三角形的中线问题例1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=10,c=6,且b=acosC-

.(1)求∠A;(2)若D是BC的中点,求AD的长度.解析

(1)等式b=acosC-

的两侧有齐次的边,结合要求的是角,所以考虑边化角.因为b=acosC-

,所以由正弦定理

=

=

,得sinB=sinAcosC-

.要求∠A的大小,考虑把式子化为只含有∠A的某一三角函数值,根据A+B+C=π,替换掉

sinB.因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以cosAsinC=-

.因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以cosA=-

.因为A∈(0,π),所以A=

.(2)解法一:在△ABC中,由余弦定理得BC2=b2+c2-2bccos∠BAC=102+62-2×10×6×

=196,所以BC=14.因为D是BC的中点,所以BD=CD=7.在△ABD中,cos∠ADB=

;在△ACD中,cos∠ADC=

.因为∠ADB+∠ADC=π,所以cos∠ADC=cos(π-∠ADB)=-cos∠ADB,所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,即

+

=0.因为AB=c=6,AC=b=10,BD=CD=7,所以AD2=19,所以AD=

.解法二:如图,AD是BC边上的中线,所以

=

(

+

),所以

=

+

+

AB·AC·cos∠BAC,因为AC=10,AB=6,∠BAC=

,所以AD2=19,所以AD=

.

例2在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c2=

·

-2

S,其中S为△ABC的面积.(1)求角A的大小;(2)设D是边BC的中点,若AB⊥AD,求AD的长.解析

(1)因为c2=

·

-2

S,所以c2=cacosB-2

·

bcsinA,故c=acosB-

bsinA,

所给等式中的S有两个转化方向,一是结合所求为A,选择S=

bcsinA,二是注意到计算前面的

·

需要cosB,故选

acsinB,经尝试,两种都可行,解析中选的是第一种

所以sinC=sinAcosB-

sinBsinA①,因为sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以代入①化简得cosAsinB=

-

sinBsinA,又因为0<B<π,所以sinB>0,故上式可化为cosA=-

sinA,所以tanA=-

,由0<A<π可得A=

.(2)因为BC=a=2,D为BC的中点,所以CD=BD=1,因为∠BAC=

,AD⊥AB,所以∠CAD=∠BAC-∠BAD=

-

=

.设AD=x,在△ACD中,由正弦定理,得

=

,所以

=

,故x=

=

sinC②,若能把sinC也用x表示,就能得到关于x的方程,观察图形可发现,角B容易与x联系起来,

故先把C转换成B,因为∠BAC=

,所以C=π-

-B=

-B,故sinC=sin

=sin

cosB-cos

sinB=

cosB-

sinB③,在△ABD中,AB=

,所以cosB=

=

,sinB=

=x,代入③得sinC=

-

x,代入②得x=

,解得x=

,即AD=

.

知识总结三角形中线常用结论在△ABC中,AD是边BC上的中线.1.中线长定理:AB2+AC2=2(BD2+AD2).2.

=

(b2+c2+2bccos∠BAC).3.极化恒等式

·

=|

||

|cos∠BAC=(

)2-

.角度2三角形的角平分线问题例3

(2026江苏南京调研)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccosC=acosB+bcosA.(1)求C.(2)若D在AB上,CD为∠ACB的平分线.(i)若b=2,AD=

,求BD的长;(ii)若c=2

,AB边上的中线长为2,求CD的长.解析

(1)已知等式左、右两侧有齐次的边,结合要求的是角,所以考虑边化角.因为2ccosC=acosB+bcosA,所以由正弦定理

=

=

得2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),因为sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以2sinCcosC=sinC.因为C∈(0,π),所以sinC>0,所以cosC=

,