2026秋新教材人教版九年级上册数学30.3正多边形与圆 教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学\o"30.1直线与圆"30.3正多边形与圆教案课题：30.3正多边形与圆（1）教学目标1.了解正多边形和圆的关系,掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；2.掌握圆内接正多边形的相关计算及运用；3.经历正多边形的形成过程,增强分析、解决问题的能力.重点难点掌握圆内接正多边形的相关计算与运用.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、课堂引入各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.日常生活中,我们经常能看到正多边形形状的物体,以及利用正多边形构造的美丽图案(图30-3-2).你还能举出一些这样的例子吗?图30-3-2二、合作探究【探究】与正多边形有关的计算问题1:怎样把一个圆进行四等分?依次连接各等分点,得到一个什么图形?解:如图30-3-3,得到一个正方形.图30-3-3教师归纳:正多边形和圆的关系非常密切.只要把一个圆分成相等的一些弧,以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆;经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形,这个圆就是这个正多边形的内切圆.例如,图30-3-4①中的多边形是☉O的内接正九边形,图②中的多边形是☉O的外切正六边形.图30-3-4问题2:将一个圆五等分,依次连接各等分点得到一个五边形,这个五边形一定是正多边形吗?如果是,请你证明这个结论.证明:如图30-3-5,把☉O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE.图30-3-5∵AB=∴AB=BC=CD=DE=EA,BCE=3AB=∴∠A=∠B.同理∠B=∠C=∠D=∠E.又五边形ABCDE的顶点都在☉O上,∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,☉O是正五边形ABCDE的外接圆.问题3:如果将圆n等分,依次连接各等分点得到一个n边形,这个n边形一定是正n边形吗?师生活动:学生思考,小组内交流、讨论,教师根据学生回答进行总结.教师重点关注:学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.问题4:各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形呢?请说明理由.师生活动:学生讨论,思考回答,教师进行总结讲解.教师重点关注:学生能否利用正多边形的定义进行判断;学生能否由圆内接正多边形各边相等得到弦相等及弦所对的弧相等;学生能否列举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.图30-3-6概况新知:把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心,外接圆的半径叫作正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距(图30-3-6).思考:正n边形的一个内角的度数是多少?外角呢?中心角呢?正多边形的中心角与外角的大小有什么关系?正n边形的一个内角的度数是(n-2)×180°n,外角是360°n,中心角是360°n,图30-3-7教师提出问题:(1)正n边形的中心角怎么计算?(2)边长a,半径R,边心距r之间有什么关系?(3)正n边形的面积如何计算?师生活动:学生在教师的引导下,结合图形,得到结论.教师引导分析:(1)正方形的中心角为360°4=90°;正六边形的中心角为360°6=60°;正n边形的中心角为(2)边长a,半径R和边心距r之间的关系为a22+r2=R2.(3)正n边形的面积为12nar三、例题讲解例1(1)若正三角形的边长为a,则半径为

33a(2)要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片,选用的圆形铁片的半径至少是

22a.例2延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征,它是一个八角九层楼阁式砖塔,其塔基的形状是半径为6m的正八边形(图30-3-8).求塔基的面积(结果保留小数点后一位).图30-3-8图30-3-9解:如图30-3-9,连接OA,OB,作AP⊥OB,垂足为P.∵八边形ABCDEFGH是半径为6m的正八边形,∴OA=OB=6,∠AOB=360°8又△APO为直角三角形,∴∠OAP=∠AOB,∴AP=OP.在Rt△APO中,由勾股定理,得AP2+OP2=OA2,∴AP=22OA=32因此,塔基的面积S=8×12×OB×AP=8×12×6×32=722≈101.8(m四、课堂总结课堂练习1.一元钱硬币的直径约为24mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 (A)A.12mm B.24mm C.6mm D.4mm2.圆内接正六边形一边所对的圆周角是 (D)A.30° B.60° C.150° D.30°或150°3.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍,则该正多边形的边数是 (C)A.4 B.6 C.8板书设计：作业内容：教学反思课题：30.3正多边形与圆（2）教学目标1.了解正多边形和圆的关系,能用等分圆周的方法画正多边形,并能借助圆设计美丽的图案；2.丰富学生对正多边形的认识,通过设计图案,发展学生的形象思维能力；3.学会等分圆周的方法构造正多边形,并学会设计图案,发展学生的实践能力和创新能力.重点难点用等分圆周的方法画正多边形.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入1.若正六边形的边长为1,则正六边形的中心角是60°,半径是1,边心距是

32,它的每一个内角是120°.2.有一个边长为1.5cm的正六边形,如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形,那么这张圆形纸片的最小半径为1.5cm.

思考：图30-3-12实际生活中,我们经常遇到画正多边形的问题,比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等,这些问题都与等分圆周有关.要制造如图30-3-12中的零件,也需要等分圆周.本节课我们就来研究一下具体的解决方法.教师出示课题.二、合作探究【探究】与正多边形有关的作图方法一已知☉O的半径为R,求作☉O的内接正六边形.分析:1.正六边形每条边所对的圆心角为多少度?[答案:60°]2.正六边形的边长与圆的半径有什么关系?[答案:相等]图30-3-13作法:如图30-3-13.(1)在☉O上任意取一点A;(2)用量角器量出∠AOB=60°,得到AB;(3)在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到☉O的六个等分点A,B,C,D,E,F;(4)连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,即可得到正六边形ABCDEF.追问:利用这个图形,你还能作出哪些正多边形?(正三角形、正十二边形、正二十四边形……)方法二对于一些特殊的正多边形,还可以用直尺和圆规来作图.例如,正六边形还可以按如下方法作出:图30-3-14作法:如图30-3-14.(1)作☉O的任意一条直径FC;(2)分别以F,C为圆心,以OC长为半径作弧,与☉O交于点E,A,D,B;(3)连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,即可得到正六边形ABCDEF.思考:你能说明这样作图的依据吗?在半径为R的圆上,从某一点开始,依次以R为半径画弧,可以得到正六边形吗?有什么问题吗?方法归纳:(1)用量角器等分圆周:由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆周,从而得到正多边形.采用“先用量角器画一个360°(2)用尺规等分圆周:用尺规作图的方法等分圆周,然后依次连接圆上各分点得到正多边形.这种方法有局限性,不是任意正多边形都能用此法作图,这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差.三、例题讲解例1用直尺和圆规作圆的内接正方形.已知:如图30-3-15,☉O.求作:正方形ABCD内接于☉O.解:如图30-3-16.图30-3-16(1)作☉O的直径AC,作与AC垂直的直径BD;(2)连接AB,BC,CD,DA.由作图过程可知,四个中心角都是90°,∴AB=BC=CD=DA.∵AC,BD都是☉O的直径,∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,即四边形ABCD为☉O的内接正方形.说明:用等分圆周的方法可以画出如下美丽的图案,欣赏一下.图30-3-17例2已知半径为R的☉O,用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形.师生活动:学生先独立解决问题,然后小组内讨论,教师鼓励学生勇于探索实践,上台演示,教师要重点关注学生的解题过程.解:(答案不唯一)方法一:①如图30-3-18①,用量角器画圆心角∠AOB=120°,∠BOC=120°;②连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正