2026秋新教材人教版九年级上册数学29.2 圆的有关性质 教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学\o"29.2圆的有关性质"29.2圆的有关性质教案课题：29.2.1垂直于弦的直径教学目标1.探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题；3.在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程.重点难点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、课堂引入你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥,距今已有1400余年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,跨度为37m,拱高为7.23m,怎样才能求出它的主桥拱的半径长呢?师生活动:学生动脑思考问题，解答受阻，教师引入课题.二、合作探究【探究1】圆的特性剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,你发现了什么?重复做几次,由此你能得到圆具有怎样的对称性?能证明你的结论吗?师生活动:学生动手操作,教师观察操作结果,在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和衔接性.结论:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.【探究2】垂径定理及其推论图29-2-16从上面的动手操作可知,如图29-2-16,如果☉O的直径AB垂直于弦MM',垂足为N,那么M和M'是关于直径AB的对称点.把圆沿着直径AB对折时,点M与点M'重合,你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗?请说明理由.师生活动:学生进行观察、分析,通过合情推理总结结论,教师指导学生分析题目中的条件和结论.教师用多媒体演示,学生尝试归纳垂径定理后,教师补充、完善，最后用几何语言进行描述.教师板书:垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.几何语言:∵AB⊥MM',AB是☉O的直径,∴MN=M'N,AM=AM'教师针对图形,提出问题1:垂径定理是由几个条件得到几个结论?师生分析得:是由①直径;②垂直于弦两个条件得到①平分弦;②平分优弧;③平分劣弧三个结论.问题2:把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换,是否仍然成立呢?学生讨论、交流,并用语言进行总结,教师引导、点拨,得到结论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.教师做出总结:垂径定理的本质是:知二得三(练一练：下列命题中,正确的是 (C)A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦中点的直线必过圆心C.弦所对的两弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧三、例题讲解例1赵州桥(图29-2-17)是我国隋代建造的石拱桥,距今已有1400余年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位).图29-2-17图29-2-18解:如图29-2-18,AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径长为Rm.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高.由题设可知AB=37,CD=7.23,∴AD=12AB=12×37=18.5,OD=OC-CD=在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此,赵州桥的主桥拱半径长约为27.3m.四、课堂总结课堂练习板书设计：作业内容：教学反思课题：29.2.2圆心角教学目标1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性；2.掌握弧、弦、圆心角的关系定理,并能运用其解答问题；3.通过观察、分析弧、弦、圆心角的关系,发展学生的合情推理能力和演绎推理能力；4.通过教具的演示,使学生感受圆的旋转不变性,发展学生观察、分析的能力；5.能运用弧、弦、圆心角的关系定理证明弧相等、弦相等、圆心角相等.重点难点弧、弦、圆心角的关系定理及灵活运用.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入问题:1.圆是轴对称图形吗?圆的对称轴是什么?2.由圆的轴对称性得到了垂径定理,垂径定理的内容是什么?请画出基本图形.剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°,所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?学生动手操作,小组交流讨论,最后师生共同得出结论:1.圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.2.把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合,即圆是旋转对称图形.利用这个性质,我们可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间有什么关系呢?合作探究【探究1】圆心角的概念这节课,我们再来研究与圆有关的角,先考虑角的顶点在圆心这种特殊位置的情形.我们把顶点在圆心的角叫作圆心角.请同学们完成“练一练”.练一练:判断图29-2-29中的角是不是圆心角.图29-2-29[答案:图①②③中的角不是圆心角,图④中的角是圆心角]教师提问,学生共同作答.【探究2】弧、弦、圆心角之间的关系图29-2-30如图29-2-30,在☉O中,当圆心角∠AOB=∠A'OB'时,它们所对的弧AB与A'B'有什么关系?弦AB我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转,使射线OA与OA'重合.∵∠AOB=∠A'OB',∴射线OB与OB'重合.又OA=OA',OB=OB',∴点A与A'重合,点B与B'重合.因此,AB与A'B'重合,AB与A'B'重合,即AB=A在等圆☉O和☉O'中,如果∠AOB=∠A'O'B',你发现的等量关系是否依然成立?为什么?归纳:通过平移和旋转将等圆☉O和☉O'变成同一个圆,我们发现:如果∠AOB=∠A'O'B',那么AB=A'B'这样,我们就得到下面的定理:结论1弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.①∠AOB=∠A'OB'➡②在同圆或等圆中,对于两个圆心角、两条弧、两条弦,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量有什么关系?师生活动:小组交流讨论,师生共同得出结论.结论2推论1:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.②AB=A推论2:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.③AB=A'B'➡①三、例题讲解例1如图29-2-31,在☉O中,AB=AC,∠ACB=60°.求证:∠∠BOC=∠AOC.图29-2-31师生活动:教师引导学生观察图中∠AOB,∠BOC,∠AOC三个角是什么角,思考该怎样去证明圆心角相等.学生观察、思考、讨论,尝试写出解题过程,教师进行指导并演示证明过程.证明:∵在☉O中,AB=AC,∴AB=AC,△ABC又∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,可得AB=BC=AC,∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.学生解题后反思:要想证明圆心角相等,可以证明它们所对的弧相等或弦相等.例2如图29-2-32,AB是☉O的直径,BC=CD=DE,∠COD图29-2-32解:∵BC=CD=DE,∴∠BOC=∠DOE∴∠AOE=180°-3×35°=75°.四、课堂总结课堂练习板书设计：作业内容：教学反思课题：29.2.3圆周角（1）教学目标1.了解圆周角的概念，理解圆周角定理；2.熟练掌握圆周角定理及其推论，并灵活运用；3.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系,发展学生合情推理和演绎推理的能力.重点难点圆周角的概念和圆周角定理及其应用.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入问题:1.什么是圆心角?弧、弦、圆心角之间的关系定理是什么?2.一条弧所对的圆心角有几个?一个圆心角所对的弦有几条?反过来,一条弦所对的圆心角有几个?一个圆心角所对的弧有几条?师生活动:教师引导学生完成复习任务,鼓励学生积极思考.思考:如图29-2-51,过球门A,E两点画圆,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B,C,D有关(张开的角度大小),仅从数学的角度考虑,球员选择从哪一位置射门更有利?图29-2-51二、合作探究【探究1】圆周角的概念问题1:观察上图中的∠ABE,∠ACE,∠ADE,他们的顶点和边都有什么共同特征?(顶点在圆上、两边都与圆相交)问题2:你能仿照圆心角的定义,给这样的角下个定义吗?圆周角:顶点在圆上并且两边都与圆相交的角.注意:两个条件必须同时具备,缺一不可.判一判:下列图形中的∠BAC是不是圆周角?并说明理由.图29-2-52[答案:(1)(5)(6)中的∠BAC是圆周角(2)(3)(4)中的∠BAC不是圆周角理由略]师生活动:学生独立思考,教师个别提问.【探究2】探究圆周角与圆心角的关系问题1:同弧所对的圆心角和圆周角的大小关系是怎样的?问题2:同弧所对的圆周角的大小关系是怎样的?师生活动:教师提出问题,引导学生利用测量工具动手试验,发现结论;教师组织学生先自主探究,再小组合作交流,按照圆周角在圆中的位置特点分情况总结出探究的方案.操作:1.分别测量图29-2-53中BC所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数,它们之间有什么关系?图29-2-53结论:∠BAC=12∠BOC2.改变BC,测量∠BAC,∠BOC的大小,上述关系是否仍然成立?(成立).3.由此你发现了什么结论?(一条弧所对圆周角的度数等于这条弧所对圆心角的度数的一半).4.能证明你发现的结论吗?要证明上面发现的结论,要先讨论圆心O与圆周角∠BAC的位置有几种情况,分别是什么.解:三种,分别为圆心在圆周角的一条边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.证明圆周角定理(1)当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时,如图29-2-54①所示,∠CAB=12∠BOC(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时,如图②所示,∠CAB=12∠BOC(3)当圆心O在圆周角∠BAC的外部时,如图③所示,∠CAB=12∠BOC图29-2-54师生活动:教师引导学生写出已知、求证,并完成证明.通过证明得到圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.【探究3】圆周角定理的推论问题1:根据得到的上述结论,可以证明同弧所对的圆周角相等吗?由此得到:同弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.问题2:将上述“同弧”改为“等弧”,结论会发生变化吗?总结归纳出圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.问题3:图29-2-55如图29-2-55,半圆所对的圆周角是多少度?90°的圆周角所对的弦是哪条?师生活动:学生根据圆周角定理进行分析、讨论,教师引导总结.通过分析,继而得到圆周角定理的推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.教师主要关注:(1)问题的提出是否引起学生的兴趣;(2)学生是否理解圆周角的定义;(3)学生是否清楚要研究的数学问题.三、例题讲解1.如图29-2-57,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点.若∠ABD=40°,则∠BCD的度数为50°.

图29-2-572.如图29-2-58,☉O的直径AB的长为10,弦AC的长为6,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.图29-2-58解:如图29-2-59,连接OD.图29-2-59∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∵在Rt△ABC中,AB=10,AC=6,∴BC=AB∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.∵在☉O中,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD,∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD.∵在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,∴AD=BD=22AB=52四、课堂总结课堂练习板书设计：作业内容：教学反思课题：29.2.3圆周角（2）教学目标1.理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念；2.掌握圆内接四边形的性质，并会用此性质进行有关的计算和证明.重点难点圆内接四边形的概念及圆内接四边形的性质.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入1.什么是圆心角?什么是圆周角?顶点在圆心的角叫作圆心角;顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.2.同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系?圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3.圆周角定理的推论是什么?推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.二、合作探究【探究】圆内接四边形的性质活动一圆内接四边形的概念1.请仔细观察以下图形,它们有什么不同点和相同点?图29-2-69师生活动:教师出示图片,学生观察并思考.不同点:图中多边形的边数不同.相同点:所有多边形的顶点都在同一个圆上.多边形在里面,圆在外面.教师在学生回答的基础上,引出圆内接多边形及多边形的外接圆的概念.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫作圆的内接多边形,这个圆叫作这个多边形的外接圆.图29-2-702.如图29-2-70,四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,你能给它起个名字吗?学生自然得出:四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O是四边形ABCD的外接圆.教师总结圆内接四边形的概念:如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,这个四边形叫作圆的内接四边形,这个圆叫作这个四边形的外接圆.活动二圆内接四边形的性质1.四边形的内角和为多少度?(360°)圆内接四边形的四个角除了具有一般四边形的内角和为360°的性质,是否还有其他性质?2.请同学们观察以下圆内接四边形的两组对角有什么关系.图29-2-71[答案:对角互补]图29-2-72追问1:图29-2-72中圆内接四边形的两组对角是否也具有这个特点?追问