2026秋新教材人教版九年级上册数学25.2 降次-解一元二次方程 教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学25.2降次——解一元二次方程教案课题25.2.1配方法第1课时直接开平方法备课人课时第2课时课标解读与教材分析课标要求：会用直接开平方法求解形如(x+m)教材分析：本课依托平方根知识，是最简单的一元二次方程解法。既是旧知识的延伸，也为配方法的学习做好铺垫。教学目标1.初步了解利用转化思想降次解一元二次方程的思路．2.会利用直接开平方法对形如（x＋m）2=n（n≥0）的一元二次方程进行求解．3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实．教学重点与难点重点1.熟练并准确地运用直接开平方法解一元二次方程．难点2.能根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如（x＋m）2=n（n≥0）的方程．媒体教具教案、教材、课件教学方法采用旧知迁移法、示范讲解法与分层练习相结合，循序渐进引导学生掌握基础解法。教学过程知识链接：如图，一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？创设情境——见配套课件探究点一：直接开平方法解形如x2=p的方程解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法．（1）x2=4；解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=－2.（2）x2=0；解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.（3）x2＋1=0.解：移项，得x2=－1.∵负数没有平方根，∴原方程无实数根．思考：对于方程x2=p，p取不同的值，方程的根分别是怎样的？你能归纳一下这类方程的根的情况吗？归纳总结：一般地，对于可化为x2=p的方程：p的取值范围方程的根p＞0两个不相等的实数根x1=p，x2=－pp=0两个相等的实数根x1=x2=0p＜0无实数根利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根，我们称这种方法叫直接开平方法．探究点二：直接开平方法解形如（x＋a）2=p的方程思考：对照上面解方程x2=4的过程，你认为应怎样解方程（x＋3）2=5？一个一元二次方程降次两个一元一次方程将（x＋3）看作一个整体 解下列方程：（1）4x2－3=0；（2）（x＋2）2－9=0.解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得x2=34．由此可得x=±32．即x1=32，x2（2）移项，得（x＋2）2=9.由此可得x＋2=±3，即x1=1，x2=－5.方法总结：在上面的解法中，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程（x＋a）2=p转化为我们会解的方程了．1.（4分）用直接开平方法解下列方程，其中无实数解的是（A）A．x2＋3=0B．－2x2=0C．x2－4=0D．（x－2）2=02.（4分）方程x2=36的解是（D）A．x=6B．x=－6C．x1=9，x2=4D．x1=6，x2=－63.（4分）若方程（x－4）2=a有实数解，则a的取值范围是（B）A．a≤0B．a≥0C．a＞0D．无法确定4.（4分）方程（x－2）2=16的解是x1=6，x2=－2．5.（24分）解下列方程：（1）25（x－3）2－9=0；书写通关解：方程整理得（x－3）2=925开平方得x－3=35，或x－3=－35解得x1=185，x2=125（2）（2x＋3）2=7；解：x1=－3＋72，x（3）t2＋4t＋4=4；（4）（3x－1）2=（2x＋3）2.解：t1=0，t2=－4.解：x1=4，x2=－25．板书设计分层作业A层（基础巩固・全员必做）熟练解x2=a、B层（能力提升・中等以上完成）解决含括号、简单移项后的平方型方程，能区分可直接开平方与不可直接开平方的方程，灵活变形求解。C层（拓展培优・选做）结合平方非负性解决含参数方程问题，利用直接开平方法解决简单综合求值问题。教学反思课题25.2.1配方法第2课时配方法备课人课时第3课时课标解读与教材分析课标要求：理解配方原理，掌握配方法解一元二次方程的完整步骤，能处理二次项系数不为1的方程，提升代数恒等变形能力。教材分析：配方法是本章重点与难点，是推导求根公式的重要依据。通过配方训练学生变形能力，渗透转化思想。教学目标1.了解配方法的概念．2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程．4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察世界．教学重点与难点重点1.掌握配方法解一元二次方程．（重点）难点2.把一元二次方程转化为形如（x－a）2=b的过程．（难点）媒体教具课件、教案、教材教学方法使用分步演示、启发推理、错题辨析的方式，精讲多练，逐步突破配方学习难点。教学过程知识链接：上节课我们学习了直接开平方法解形如（x＋a）2=p的一元二次方程，回顾一下相关知识．创设情境——见配套课件探究点一：配方思考：解方程（x＋3）2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程．对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？回忆完全平方公式：a2＋2ab＋b2=（a＋b）2；a2－2ab＋b2=（a－b）2．填一填：填上适当的数或式，使下列各等式成立．（1）x2＋4x＋22=（x＋2）2；（2）x2－6x＋32=（x－3）2；（3）x2＋8x＋42=（x＋4）2；（4）x2＋px＋（p2）2=（x＋p2）总结：二次项系数为1的完全平方式的特点：常数项等于一次项系数一半的平方．探究点二：配方法解一元二次方程探究：怎样解方程x2＋6x＋4=0？思考：要把方程x2＋6x＋4=0转化为像（x＋3）2=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式．第一步：对方程x2＋6x＋4=0移项，得x2＋6x=－4．第二步：由a2＋2ab＋b2=（a＋b）2，将上述方程两边同时加9，方程左边就可以配成x2＋2mx＋m2形式的完全平方式，即x2＋6x＋9=－4＋9，第三步：左边写成完全平方形式，得（x＋3）2=5.第四步：解这个方程，得x1=－3＋5，x2=－3－5．追问：为什么在方程x2＋6x=－4的两边加9？加其他数行吗？总结：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法． 解下列方程：（1）x2－8x＋1=0；（2）2x2＋1=3x；（3）3x2－6x＋4=0.分析：（1）方程的二次项系数为1，可直接运用配方法．（2）方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2.（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．学生自行完成解答步骤，教师点评．思考：对于一般的一元二次方程可配方转化成（x＋n）2=p，p取不同的值，方程的根是什么情况？p的取值范围方程的根p＞0两个不相等的实数根x1=－n＋p，x2=－n－pp=0两个相等的实数根x1=x2=－np＜0无实数根归纳总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移常数项，并将二次项系数化为1；②配完全平方式［配上（一次项系数2）2］；③写成（x＋n）2=p1.（8分）填空：（1）x2＋2x＋1=（x＋1）2；（2）x2－6x＋9=（x－3）2；（3）x2－10x＋10=（x－5）2－15；（4）2x2＋4x＋1=2（x2＋2x）＋1=2（x＋1）2－1．2.（4分）一元二次方程x2－18x＋80=0可化为（x－n）2=1，则n的值是（D）A．－9B．－3C．3D．93.（4分）［典型运用］对任意实数x，多项式－x2＋4x－10的值是一个（B）A．正数B．负数C．非负数D．无法确定4.（24分）用配方法解方程：（1）x2－12x＋27=0；书写通关（2）x2＋23x－13解：移项，得x2－12x=－27．解：x1=13，x2配方，得x2－12x＋36=9．（3）2x2－4x－3=0；即（x－6）2=9．易错通关：将二次项系数化为1后再配方．开平方，得x－6=3或x－6=－3．解：x1=1＋102，x2=1－10解得x1=9，x2=3．（4）2x（x＋2）=8x－5.解：无实数根．板书设计分层作业A层（基础巩固・全员必做）掌握二次项系数为1的一元二次方程配方步骤，能规范完成移项、配方、开方、求解完整过程。B层（能力提升・中等以上完成）熟练完成二次项系数不为1的方程配方，纠正配方常见易错点，熟练掌握恒等变形技巧。C层（拓展培优・选做）利用配方法求代数式最值、判断代数式取值范围，体会配方的数形结合与转化思想。教学反思课题25.2.2公式法备课人课时第4课时课标解读与教材分析课标要求：经历求根公式推导过程，熟记求根公式，能用公式法解方程；会利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。教材分析：由配方法推导出通用求根公式，形成通用解方程方法。根的判别式是中考高频考点，具备较强实用价值。教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程．2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．3.理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理．教学重点与难点重点1.一元二次方程求根公式的推导、公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算．（重点）难点2.一元二次方程求根公式的推导．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用推理探究法、归纳总结法，搭配例题精讲与变式训练，巩固公式运用。教学过程知识链接：上节课我们学习了配方法解一元二次方程，回顾一下，配方法解方程的一般过程是什么？创设情境——见配套课件探究点一：求根公式的推导活动：动手用配方法解方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）．解：移项，得ax2＋bx=－c．系数化为1，得x2＋bax=－ca．配方，得x2＋bax＋（b2a）2=－ca＋（b2a）2.即（x＋思考：对于方程①，能直接采用开平方法解这个方程吗？因为a≠0，所以4a2＞0.对b2－4ac的取值分情况讨论：（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：x＋b2a=±b2－4ac2a，∴x1=－b（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根：x＋b2a=0，∴x1=x2=－b（3）当b2－4ac＜0时，方程无实数根．发现：式子b2－4ac可以判别一元二次方程的根的情况．归纳总结：b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac．判别式根Δ＞0两个不相等的实数根Δ=0两个相等的实数根Δ＜0没有实数根Δ≥0两个实数根当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的实数根可写成x=－b±b2－4ac2a的形式，这个式子叫作一元二次方程 若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（B）A．k＞－1B．k＞－1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0反思：当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据“Δ”求字母的取值范围．探究点二：公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程：（1）x2－4x－7=0；（2）2x2－22x＋1=0；（3）5x2－3x=x＋1；（4）x2＋17=8x．解：（1）∵a=1，b=－4，c=－7，∴Δ=b2－4ac=（－4）2－4×1×（－7）=44＞0.∴方程有两个不相等的实数根．∴x=－b±b2－4ac2a=－（－4）±442×1（2）（3）（4）学生自行解答，教师点评．归纳总结：用公式法解一元二次方程的步骤：1.（4分）一元二次方程3x2－2x－4=0根的判别式的值为（C）A．－44B．16C．52D．562.（4分）方程2x2－5x＋3=0的根的情况是（B）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一个根为03.（4分）若关于x的一元二次方程x2－2x－k=0有实数根，则k的取值范围是k≥－1．4.（28分）［教材变式］用公式法解下列方程：（1）x2－5x－6=0；书写通关（2）x2－32x＋4=0；解：a=1，b=－5，c=－6．解：x1=22，x2=2．∵Δ=（－5）2－4×1×（－6）=49＞0，（3）2y2＋4y=y＋2；∴x=5±492×1，即x1=6，x2=－1．b，c的值，注意其符号．（4）4x（x－1）=－3.解：y1=12，y2=－2.解：无实数根．板书设计分层作业A层（基础巩固・全员必做）熟记求根公式，熟练代入公式解方程，会计算判别式，能判断方程根的基本情况。B层（能力提升・中等以上完成）利用根的判别式判断根的三种情况，根据根的情况求简单参数取值范围，规范解题过程。C层（拓展培优・选做）结合判别式解决含参数综合问题，分类讨论根的存在情况，提升分类推理能力。教学反思课题25.2.3因式分解法备课人课时第5课时课标解读与教材分析课标要求：掌握利用因式分解法解特殊一元二次方程，能够根据方程结构特点灵活选择简便解法，提高解方程的效率与灵活性。教材分析：本节课利用整式因式分解知识解方程，计算简便、实用性高。进一步完善一元二次方程解法体系，培养学生择优选择解题方法的能力。教学目标1.理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程．2.学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程．3.通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法．教学重点与难点重点1.用因式分解法解一元二次方程．（重点）难点2.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．（难点）3.针对不同形式的一元二次方程选择适当的解法．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用新旧衔接教学法、对比择优法、当堂训练法，通过错题辨析巩固方法。教学过程知识链接：上节课我们学习了公式法解一元二次方程，回顾一下，公式法解方程的前提条件是什么？创设情境——见配套课件探究点一：因式分解法解方程问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为10x－5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？思考：怎样列出合适的方程并求解？设物体经过x s落回地面，由题意得10x－5x2=0.对于这个方程：请分别用配方法和公式法解方程：10x－5x2=0.（学生自行解答）追问：除上述方法以外，有更简单的方法解这个方程吗？归纳总结：对于一元二次方程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解． 解下列方程：（1）x（x－2）＋x－2=0；（2）5x2－2x－14=x2－2x＋3解：（1）因式分解，得（x－2）（x＋1）=0.∴x－2=0或x＋1=0.解得x1=2，x2=－1.（2）学生自行解答，教师点评．探究点二：用合适的方法解方程思考：学习了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？（1）有公因式时，可用因式分解法；（2）方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法．（3）二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可用配方法解较快；（4）二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法． 用适当的方法解方程：（1）3x（x＋5）=5（x＋5）；（2）（5x＋1）2=1；（3）x2－12x=4.解：（1）（3x－5）（x＋5）=0，即3x－5=0，或x＋5=0.解得x1=53，x2（2）（3）学生自行解答．归纳总结：配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：先将一元二次方程化为两个一元一次方程，即降次，再分别解两个一元一次方程．1.（4分）已知一元二次方程的两根分别为x1=1，x2=－3，则这个方程可以是（B）A．（x－1）（x－3）=0B．（x－1）（x＋3）=0C．（x＋1）（x＋3）=0D．（x＋1）（x－3）=02.（4分）［高频易错］方程x2=2026x的根为（C）A．x=0B．x=2026C．x1=0，x2=2026D．无实数根3.（22分）［教材变式］用因式分解法解下列方程：（1）3y2－6y=0；书写通关解：因式分解，得3y（y－2）=0．∴3y=0或y－2=0．解得y1=0，y2=2．（2）x2－3x=x－3；解法一：左边提公因式，得x（x－3）=（x－3）．移项，得x（x－3）－（x－3）=0.提公因式，得（x－3）（x－1）=0.∴x－3=0或x－1=0.解得x1=3，x2=1.解法二：移项合并，得x2－4x＋3=0.因式分解，得（x－3）（x－1）=0.∴x－3=0或x－1=0.解得x1=3，x2=1.（3）（2x－1）2=（x＋3）2.解：移项，得（2x－1）2－（x＋3）2=0.由平方差公式可得［（2x－1）－（x＋3）］［（2x－1）＋（x＋3）］=0，即（x－4）（3x＋2）=0，解得x1=4，x2=－23板书设计分层作业A层（基础巩固・全员必做）会用提公因式、平方差、完全平方公式因式分解解方程，掌握因式分解法基本解题步骤。B层（能力提升・中等以上完成）能根据方程结构对比多种解法，择优选择最简解法，提高解方程速度与准确率。C层（拓展培优・选做）解决结构复杂、需先整理变形再因式分解的方程，培养灵活解题的综合能力。教学反思课题25.2.4一元二次方程的根与系数的关系备课人某某老师课时第6课时课标解读与教材分析课标要求：了解一元二次方程根与系数的关系，能够利用韦达定理进行简单的代数式求值、参数求解，掌握整体代入的数学思想。教材分析：本节内容是一元二次方程性质的拓展延伸，不用于直接解方程，多用于综合题型，是衔接二次函数、中考综合题的重要基础内容。教学目标1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．2.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程．教学重点与难点重点1.一元二次方程根与系数的关系及其推导过程．（重点）难点2.一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用探究发现法、归纳推理法、小组讨论法，配合典型例题精讲精练。教学过程知识链接：前面我们学习了公式法解一元二次方程，回顾一下，求根公式得出的两个根在形式上有哪些相同点和不同点？创设情境——见配套课件探究点：一元二次方程的根与系数的关系思考1：观察求根公式x=－b整体上看，两个根分别是“m＋n”和“m－n”的形式，而且式子“n”中含有根号．这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁．教师引导学生推导教材P15的证明过程．归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系：如果ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么x1＋x2=－ba，x1•x2=c思考2：我们知道，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的左边可以分解因式为a（x－x1）（x－x2），那么方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2．反过来，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2，那么上面的关系还能通过什么方法得出？ax2＋bx＋c=a（x－x1）（x－x2），即ax2＋bx＋c=