广东省六校2027届高三上学期九月第一次联考数学试题（含答案）

2027届高三九月考试数学科试题A．a=1且b=1B．a=2且b=0C．a=0且b=2D．a=1且b=−14．x−6的展开式中常数项是()5．若i为虚数单位，则i+2i2+3i3+3+10i10=()A．f(x)−B．f(x)+C．fx+−D．fx−+则四边形ABMN面积的最大值为()部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知三棱锥P−ABC，所有面均为等腰三角形，底面ABC的外接圆半fx11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在ABC中，BC=1，W，其“直径”为d，则()A．AB2+AC2=3C．当∠ABC=π时，d=+122+1+1(1)求q和a1；乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如等待时间6助决定：若0≤Y≤10,则坐公交车(费用2元);若Y>10,则打车(费用20元).求小明的交通费用的均值18．设抛物线C:y2=4x，Q是直线m:x+y+2=0上的动点，QS，QT是抛物线C的两条切线，且与抛物线C分别相切于S，T两点.(1)设P是抛物线C上任意一点，求PQ最小值；(2)记ST的中点是M，求M的轨迹方程；(3)记抛物线C的焦点是F，记∠QFS=α,∠QFT=β,证明：cos(α−β)=1.2n+1=1n+12027届高三九月考试数学科试题【答案】【答案】B【分析】根据一元二次不等式化简集合A,即可根据元素与集合的关系求解.结合B={−1,0,5}，由于−1∉A,0∈A,5∉A,故0∉RA,−1∈RA,5∈RA,故RA【答案】【答案】DA．a=1且b=1B．a=2且b=0C．a=0且b=2D．a=1且b=−1【答案】【答案】B4．x−6的展开式中常数项是()【答案】【答案】D5．若i为虚数单位，则i+2i2+3i3+3+10i10=()【答案】【答案】AA．f(x)−B．f(x)+C．fx+−D．fx−+【答案】【答案】C【答案】【答案】C则四边形ABMN面积的最大值为()【答案】【答案】B【分析】由条件先判断四边形【分析】由条件先判断四边形ABMN为梯形，设出直线MN的方程，与椭圆方程联立求出MN，列出梯形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值.【详解】由【详解】由A(2,0)和B(0,1)可得a=2,b=1，所以椭圆方程为+y2=1，因直线AB的斜率为=−,可得其方程为y=−x+1，0−222又因又因MN//AB，故可设直线MN的方程为y=−x+m，由∆由∆=4m2−4(2m2−2)>0解得将其与+y2=1联立消去y，可得x2−2mx+2m2−2=0，−−<m<， 由韦达定理得x 由韦达定理得x1+x2=2m,x1x2=2m2−2，=1+−22x1+x2−4x1x2MN=1+−22x1+x2−4x1x2MN由由MN//AB可知四边形ABMN为梯形，而直线MN的方程即x+2y−2m=0，则梯形则梯形ABMN的高也即点B到直线MN的距离为d==，0+2−2m2m−1 1+225π令m=cosα,则−<m<1，则α∈4,π,则s=(1-√2s=(1-√2cosa)(1+√2sina)=1+√2(sinα-cosa)-2sinacosa,yBMxN二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.3,则该三棱锥的体积可能为()10.已知f(x)=ax³+bx+c,g(x)=x(1-Inx),h(x)=max{f(x),g(x)},其中max{m,n}表示m,n中较A.h(1)=1B.28a+3b+c>0C.若g(x₁)=8(x₂),x<x₂,则DB()在(Q+-)怡有3个平点 b+c的范围即可.即AB²+AC²=3,故A正确； 由A知b²+c²=3,a=1,b2+2c则d==+≤b2+2c则d==+b2+c2+2bc又因b+c==+>，则A35a+b+b2+c2+2bc又因b+c==+>，则A3522+1+1【分析】记【分析】记n次交换后黑球仍在甲手中的概率为Pn，根据全概率公式写出Pn与Pn−1的递推关系，然后利用构造法求出数列构造法求出数列{Pn}的通项公式，将n=5代入通项公式即可求解.【详解】记【详解】记n次交换后黑球仍在甲手中的概率为Pn，则P0=1，若若n−1次交换后黑球已经在甲手中：交换时甲不拿出黑球，才能让黑球留在甲手中，n−1次交换后黑球在乙手中：交换时乙拿出黑球，才能把黑球换回到甲手中，故数列Pn−是首项为P0−,公比为的等比数列，n故P5=.n−33n−33【详解】(1)Sn=an+1-2,Sn-1=aₙ-2(n≥2)又S₁=a₂-2,即a=2a₁-2,故a=2,(2)由(1)知，(2)若ACI平面BDC₁,求二则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,1,0),D₁(0,0,h),A₁ (1)AC=(-2,1,0),BD=(-2,-4,0),DC₁=(0,1,h),AAC·BD=(-2)×(-2)+1×(-4)+0= A₁C·DC₁=(-2)×0+1×1+(-h)·h=1DA₁=(2,0,1),BD=(-2, 等待时间6(1)估计这50名乘客的平均等待时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);（i）证明：对于任意的s,t>0，有P(X>s+tX>s)=P(X>t)；（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为Y（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若0≤Y≤10，则坐公交车（费用2元若Y>10，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.【答案】【答案】(1)7.7分钟（i）由题意知，P(X>t)=1−P(X≤t)=e−,分别记已经等待s分钟和已经等待s+t分钟为事件A和事件B，s+t所以对于任意的s,t>0，有P(X>s+tX>s)=P(X>t).（ii）2+元【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可.（2i）根据条件概率公式证明即可.（ii）结合指数分布的数学期望计算即可.（2i）略P(Y>10)=P(X>5+10X>5)=P(X>10)=1−P(X≤10)=e−1P(0≤Y≤10)=1−P(Y>10)=1−e−1，1−e−1−1=2+（元）.e18．设抛物线C:y2=4x，Q是直线m:x+y+2=0上的动点，QS，QT是抛物线C的两条切线，且与抛物线C分别相切于S，T两点.(1)设P是抛物线C上任意一点，求PQ最小值；(2)记ST的中点是M，求M的轨迹方程；(3)记抛物线C的焦点是F，记∠QFS=α,∠QFT=β,证明：cos(α−β)=1.【答案】【答案】(1)2(2)y2+2y+4=2x2由点S(x,y₁),得S₁(-1由(2)知，由Q(t,-t-2),及y₁+y₂=-2(t+2),y₁y₂=4t, (2)设S(x₁,y₁),T(x₂,y₂),M(x,y),设Q(t,-t-2),利用切线方程及韦达定理求出轨迹方程.y2【详解】（1）由P是抛物线C上任意一点,设P,y0，4y042+y0+2y0+2+14y042+y0+2y0+2+1d= =d=2+122当y0=−2时，d取得最小值为当y0=−2时，d取得最小值为22y2与抛物线C:y2=4x,消去x得，y−y0=k4−x0，整理得，y2−y−kx0+y0=0，则Δ=1−4⋅0+y0)=0，得k2x0−ky0+1=0，而x0=，得k2−ky0+1=0，得k⋅−12=0，得得k=，2y0则切线方程为：y−y0=0−y=2x2y0则切线方程为：y−y0=而y=4x0，代入上式，得而y=4x0，代入上式，得由点由点Q是直线m:x+y+2=0上的动点，设Q(t,−t−2)，则切线QS,QT均过点Q，y14y1−t−2)=2t+y141+4t=0，+4t=0，由韦达定理得，由韦达定理得，y1+y2=−2(t+2),y1y2=4t，因为因为S，T的中点是M，所以y==−(t+2)，x1+x2y+y(y1+y2)x=====，t2+2t+4联立方程：x=2，消去t，得2n+1=1n+1【答案】【答案】(1)x