高考数学一轮复习 8.6 数列放缩本质论

第六节数列放缩本质论知识点1函数迭代和数列的关系已知函数满足,则一定有,故函数通过反复迭代产生的一系列数构成了数列或者记为,而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示:下面以函数和数列数列......函数......数列137153163数列-1-1-1-1-1-1-1-1函数......可以发现:①数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的,故数列的任何一项都在函数上.②数列的通项公式是函数对迭代次的结果，即，每一次由于迭代产生出的因变量成为下一次迭代的自变量.③数列的首项对整个数列有很大的影响,当迭代不断重复出现同一结果时,我们将其称为不动点.知识点2函数的迭代图像——蛛网图函数的迭代图像,简称蛛网图或者折线图,函数和直线共同决定.其步骤如下:1.在同一坐标系中作出和的图像（草图）,并确定不动点.（如图1所示）2.在找出不动点之后,确定范围,将不动点之间的图像放大,并找出起始点（如图2所示）3.由向作垂直于轴的直线与相交,并确定交点.4.由向作平行于轴的直线与相交,并确定交点.5.由向作垂直于轴的直线与相交,并确定交点.重复4,5,直至找到点的最终去向.知识点3蛛网图与数列的单调性定理1:的单调增区间存在两个不动点,且在两个不动点之间形成一上凸的图形时,（如左图）则数列在两个不动点之间的区间是递增的,即,在两不动点以外的区间则是递减的,即.定理的单调增区间存在两个不动点,且在两个不动点之间形成一下凹的图形时,（如右图）则数列在两个不动点之间的区间是递减的,即,在两不动点以外的区间则是递增的,即.综上可得,当的单调增区间位于上凸内或者下凹外时,即当迭代起点位于此区域时,一定有同理,当迭代起点位于单调增区间的上凸外或者下凹内时,一定有.知识点4数列的极限根据蛛网图可知,当一数列为单调上凸曲线时,迭代点会无限靠近大的不动点,我们将这个大的不动点称为数列的极限,记为;当一数列为单调下凹曲线时,迭代点会无限靠近小的不动点,我们将这个小的不动点称为数列的极限,记为.几种常见的函数迭代图（未画折线）知识点5由反比例（递减函数）函数迭代构成的摆动数列如下左图所示,当在区间为减函数时,和直线相交于不动点,那么由此函数迭代构成的数列为摆动数列,即奇数项和偶数项构成相反的单调性,但都螺旋靠近不动点,极限也是不动点.左图所示,同时;如右图所示,同时.例1数列满足,下列说法正确的是（）A.若,则是递减数列,,使得时,B.若,则是递增数列,,使得时,C.若,则是递减数列,,使得时,D.若,则是递增数列,,使得时,例2（多选）已知数列的前项和为,则下列选项正确的是（）A.B.存在,使得C.D.是单调递增数列,是单调递减数列例3（多选）数列满足,则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，C.当时，D.当时,数列单调递增，数列单调递减例4（多选）已知数列的首项为，且，则（）A.存在使数列为常数列B.存在使数列为递增数列C.存在使数列为递减数列D.存在使得恒成立题型1无不动点判断的趋势若,在区间,且为下凹函数,易知越来越大,故通过构造的单调性,如图,当,且时,则一定有;例5（2019．浙江）设，数列满足，则（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，题型2不动点判断的趋势当,若为两个不动点,如图所示,我们假设,此函数符合模型,则根据蛛网图,当时,则有,两个不动点为,如左图,,如右图,,如此对不动点蛛网图的斜率翻译放缩，称为数列放缩的一级精度.我们通过几道例题来解析数列放缩的一级精度.例6（多选）已知数列满足,记数列前项和为,则对于任意的,下列结论正确的是（）A.存在,使B.数列单调递增 C.D.例7（多选）已知数列满足,则（）A.为单调递减数列B.C.D.考向3不动点与二次裂项题型1平方式可裂项递推型（1）若有两个不动点，当且仅当一个不动点在顶点时，即，则一定有:,此时属于可求通项的递推模型,例如,此模型就是由于,不动点为,且为的顶点,故能完成平方式递推;（2）若仅有一个不动点，且不动点不在顶点时，则一定有:,此时属于可直接裂项相消求通项模型,例如,此模型就是由于,不动点为,且不是的顶点,故能完成裂项递推,我们做一下总结:①;②;③;④.例8（多选）已知数列满足，则（）A.是递减数列 B.C. D.例9（多选）数列满足,则下列说法正确的是（）A.若且，数列单调递减B.若存在无数个自然数,使得,则C.当或时,的最小值不存在D.当时,题型2对勾函数单不动点可裂项递推型如果二次符合,那么对勾函数仅有一个不动点的模型也符合可裂项原理.例10（多选）已知正项数列满足,则（）A.为递增数列B.C.若,则存在大于1的正整数,使得D.已知,则存在,使得题型3平方式立方式等比转化为等比递推型（1）若有两个不动点，，则一定有:，，此时通过蛛网图算出和取值范围,则可以进行等比放缩;（2）若有三个不动点，且中间不动点为，且不动点不在对称中心时，则一定有:,通过蛛网图算出取值范围,则可以进行等比放缩.例11（多选）已知数列满足:,其中,数列的前项和是,下列说法正确的是（）A.当时,数列是递增数列B.当时,若数列是递增数列,则C.当时,D.当时，例12设数列满足其中为实数,数列的前项和是,下列说法不正确的是（）A.当时,一定是递减数列B.当时,不存在使是周期数列C.当时,D.当时，拓展思维拓展新定义问题题型1切线法与“牛顿数列”1.切线法:用曲线弧一端的切线来代替曲线弧,从而求出方程实根的近似值.这种方法叫做“切线法”.由图可得,在点处做切线,令,就得到切线与轴交点的横坐标为,显然比更接近方程的根.同理可得:在点处做切线,可得根的近似值;由此递推,在点处作切线,得根的近似值2.牛顿数列:若数列的通项关系满足则称数列为函数的牛顿数列分式平方递推与牛顿数列平方式的递推将变成,因为则有所以是方程的两根,所以是方程的两根.（1）迭代法，先求出所以（2）对数代换法:所以是以为首项，2为公比的等比数列所以所以注意:当牛顿数列的迭代函数时,就能构造平方式递推,例1（多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图,在横坐标为的点处作的切线,切线与轴交点的横坐标为;用代替重复上面的过程得到;一直下去,得到数列,叫作牛顿数列.若函数且,数列的前项和为,则下列说法正确的是（）A. B.数列是递减数列C.数列是等比数列 D.例2（多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根,其中.在函数图像上横坐标为的点处作曲线的切线,切线与轴交点的横坐标为;用代替,重复以上的过程得到;一直下去,得到数列.记,且,下列说法正确的是（）A. B.数列是递减数列C. D.数列的前项和题型2取整数列例3（2026