2025中考数学二模试题分类汇编03 函数、一次函数与反比例函数（北京专用）（学生版+教师版合并）

专题03函数、一次函数与反比例函数题型概览题型01一次函数题型02反比例函数题型03函数基础知识题型01一次函数题型011．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．(1)求该一次函数的表达式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围．2．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点．(1)当时，求点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围．3．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．(1)求k，b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围．4．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．(1)求的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围．5．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点．(1)求的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围．6．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点．(1)求该函数的解析式及点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值．7．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（

）A．为等腰直角三角形 B．点坐标为C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为18．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点．(1)求一次函数的表达式；(2)已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围．题型02反比例函数题型021．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为．(1)求一次函数的表达式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出的取值范围．2．（2025·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（

）A． B． C． D．3．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和都在反比例函数的图象上，当时，都有，则的取值范围为．4．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是．5．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则的值可以为（写出一个即可）．6．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则（填“”“”或“”）．7．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，．若，则填“>”，“=”或“<”)．题型03函数基础知识题型031．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，点到的距离为，以为直径在上方作半圆，点是上的动点，过点作的垂线，设，直线截半圆和等腰三角形得到阴影图形的面积分别记为（单位：），（单位：），部分数据如下：(1)当时，与与对应关系的部分数据如下表：00.511.522.533.5400.451.232.15a4.135.055.836.2800.25b2.254.005.757.007.758.00根据以上信息，回答下列问题：①___________，___________（结果保留小数点后两位）；②通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数图象；③根据以上数据和函数图象，若，则___________时，（结果保留小数点后一位）；(2)当时，对于___________（填“>”“=”或“<”）．2．（2025·北京西城·二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据：0%10%20%40%60%80%100%037152331390249152230(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象；(2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题：①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结果精确到0.1）；②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为______（精确到1%）．3．（2025·北京海淀·二模）某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属和制作出了合金，利用金属和制作出了合金．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属的质量百分比有关．当合金中所含金属的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金的硬度（单位：）和合金的硬度（单位：），部分数据如下表：102030405060708090合金M的硬度5560657580859095合金的硬度626872747573716659根据数据可以发现，与之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与之间的关系．(1)补全表格；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)第一实验小组准备了金属，全部用于制作合金和合金，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为___________（结果保留整数）；②经研究发现，在此实验条件下，温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同，则合金中的金属的质量约为___________（结果保留整数）．4．（2025·北京昌平·二模）某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下：所挂物体质量（）012345678910A型弹簧伸长长度0

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25B型弹簧伸长长度0123456

通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题：(1)在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象；(2)与的关系式为____________(3)重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答：①这些重物的质量为____________；②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________．5．（2025·北京朝阳·二模）科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下：(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)根据以上信息，解决问题：若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）；在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）．

专题03函数、一次函数与反比例函数题型概览题型01一次函数题型02反比例函数题型03函数基础知识题型01一次函数题型011．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．(1)求该一次函数的表达式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能结合函数图象进行分析是关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）依据题意，在同一坐标系中画出直线，，又当时，，故；当时，，可得令，故，结合结合题意，即可判断得解．【详解】（1）解：把点，代入中，得，解得，∴一次函数的表达式为；（2）解：由题意，在同一坐标系中画出直线，如下．由题意，当时，，则，故．又∵当时，，∴令，则，故．∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，∴．2．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点．(1)当时，求点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围．（1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解．（2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围．【详解】（1）解：当时，函数，．联立方程组，解得，∴点的坐标为．（2）解：联立，∴，解得（）．当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则，解得．又∵当时，在的下方，∴要大于等于，∴．3．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．(1)求k，b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式组之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据解析式可判断出在中，y随x增大而减小，那么当时，函数的最小值一定要大于，据此可得不等式；求出不等式的解集，根据题意可得是的解集或解集的一部分，据此求解即可．【详解】（1）解：把和代入到中得，解得；（2）解：由（1）得函数的解析式为∵在中，，∴在中，y随x增大而减小，∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于，∴当时，，∴；当时，解得，∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，∴，∴，综上所述，．4．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．(1)求的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围．【答案】(1)(2)的最小值是；【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．（1）将点代入一次函数解析式即可解决问题．（2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得．【详解】（1）解：将点代入，得，；（2）解：如图，当时，，把代入，求得，当时，，把代入，求得，∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，∴的最小值为的取值范围是．5．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点．(1)求的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线相交或平行问题，采用数形结合思想是解题的关键．（1）运用待定系数法的方法即可求解；（2）求出直线经过点时的值，再根据图象即可求解．【详解】（1）解：由题意得，将代入，则，解得：，再将代入，则，解得：；（2）解：由（1）得，可得，当，∴，当直线经过时，，解得：；当直线经过时，，解得：，∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，由图象可得：．6．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点．(1)求该函数的解析式及点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值．【答案】(1)函数的解析式为，(2)1【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征．（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为3，代入函数解析式求出点的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．【详解】（1）解：把点和代入得：，解得：，∴该函数的解析式为，由题意知点的纵坐标为3，当时，解得：，∴；（2）解：由（1）知：当时，，因为当时，函数的值大于函数的值且小于3，所以当过点时满足题意，代入得：，解得：．7．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（

）A．为等腰直角三角形 B．点坐标为C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1【答案】A【分析】由题意，根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到、，确定、B错误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定A正确；由一次函数图象过象限即可判定C错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识即可判定D错误．【详解】解：在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，当时，，则；当时，，则；A、、，，且，则为等腰直角三角形，故该选项正确，符合题意；B、，点坐标为错误，不符合题意；C、在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，，且、，则图象经过第一、二、四象限，故该选项错误，不符合题意；D、过点作于点，如图所示：是等腰直角三角形，，由勾股定理可得，，由等腰三角形三线合一性质可知，是斜边上的中线，，即点到的图象距离为，故该选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函数图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键．8．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点．(1)求一次函数的表达式；(2)已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)且【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．（1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入,求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）结合图象即可求得．【详解】（1）解：一次函数的图象是由的图象平移得到，，把点代入可得，解得，所以一次函数的表达式为（2）解：设，当时，，把代入，可得，解得，当时，对于的每一个值都有，即当时，对于的每一个值都有，结合图象可得且．题型02题型021．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为．(1)求一次函数的表达式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．（1）把代入，可得点，再把代入，即可求解；（2）分别求出当时，函数图象与一次函数的图象与函数的图象的交点，可求出对应的n的值，即可求解．【详解】（1）解：把代入得：∴，解得：，∴点，把点代入得：，解得：，∴一次函数的表达式为；（2）解：如图，对于，当时，，把，代入得：，解得：，对于，当时，，把，代入得：，解得：，观察图象得：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，的取值范围为．2．（2025·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，根据的坐标得到在一三象限的角平分线上，根据菱形的对角线互相垂直平分，得到为反比例函数与二四象限角平分线的交点，进行求解即可．【详解】解：∵，∴在一三象限的角平分线上，∵四边形是菱形，∴为反比例函数与二四象限角平分线的交点，联立，解得：或，∴点的坐标可以为；故选C．3．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和都在反比例函数的图象上，当时，都有，则的取值范围为．【答案】【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有，则函数图象在第二、四象限，得，求解即可．【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限，又∵当时，有，∴函数图象在第二、四象限，∴，∴，故答案为：．4．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是．【答案】【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，把代入解析式求出解析式，根据增减性，求出y的取值范围即可．【详解】解：∵函数的图象经过点，∴，∴在第一象限内，随着的增大而减小，∴当，，故答案为：．5．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则的值可以为（写出一个即可）．【答案】1，2（答案不唯一）【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意可知，写出一个大于0的值即可．【详解】解：∵两点的横坐标一正一负，∴两点在两个象限内，∵，∴，∴k的值可以为1，2，故答案为：1，2（答案不唯一）．6．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则（填“”“”或“”）．【答案】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，可知函数的图象经过第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，因为，所以．【详解】解：函数的图象经过第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，，．故答案为：．7．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，．若，则填“>”，“=”或“<”)．【答案】【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；根据题意得出，反比例函数图象在第一，三象限，y随x的增大而减小，进而根据即可求解．【详解】解：函数的图象经过点，反比例函数图象在第一，三象限，随的增大而减小，，，在第三象限，．故答案为：．题型03题型031．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，点到的距离为，以为直径在上方作半圆，点是上的动点，过点作的垂线，设，直线截半圆和等腰三角形得到阴影图形的面积分别记为（单位：），（单位：），部分数据如下：(1)当时，与与对应关系的部分数据如下表：00.511.522.533.5400.451.232.15a4.135.055.836.2800.25b2.254.005.757.007.758.00根据以上信息，回答下列问题：①___________，___________（结果保留小数点后两位）；②通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数图象；③根据以上数据和函数图象，若，则___________时，（结果保留小数点后一位）；(2)当时，对于___________（填“>”“=”或“<”）．【答案】(1)①3.14，1.00；②见详解；③1.4(2)【分析】本题主要考查了画函数图像，扇形面积公式以及二次函数的其他应用，等知识得出和的面积公式是解题的关键．（1）①利用扇形面积公式以及相似三角形的性质分别表示出和，然后分别代入x，即可求出a，b的值．②描点，连线，画出函数图像即可．③根据函数图像即可得出答案．（2）当时，保持不变，变为原来的一半，根据图像比较即可得出答案．【详解】（1）解：①∵，O为的中点，∴，，当时，点O和点P重合，则，当时，∵，，∴，即，∴，∴，∵，∴，即，则；描点，连线，画出函数图像如下：③根据函数图像可知，若，则时，；（2）解：当时，可知保持不变，为时面积的一半，根据（1）②图像可知故当时，对于，故答案为：．2．（2025·北京西城·二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据：0%10%20%40%60%80%100%037152331390249152230(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象；(2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题：①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结果精确到0.1）；②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为______（精确到1%）．【答案】(1)见解析(2)①7.1（答案不唯一）；②不能；③【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题．（1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与、与对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于与，有，等点；对于与，有，等点．（2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值．②找到时的值，与小明家到幼儿园的路程比较大小．③小明家到幼儿园路程为，幼儿园到单位路程为，分别估算对应的值，相加即可得解．【详解】（1）解：如图，（2）解：①从表格数据或图象估算，当时，，，∴．②从表格数据或图象估算，当时，的值约为，∵，∴不能将小明送到幼儿园．③观察的数据，当时，，观察的数据，当时，∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为．3．（2025·北京海淀·二模）某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属和制作出了合金，利用金属和制作出了合金．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属的质量百分比有关．当合金中所含金属的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金的硬度（单位：）和合金的硬度（单位：），部分数据如下表：102030405060708090合金M的硬度5560657580859095合金的硬度626872747573716659根据数据可以发现，与之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与之间的关系．(1)补全表格；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)第一实验小组准备了金属，全部用于制作合金和合金，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为___________（结果保留整数）；②经研究发现，在此实验条件下，温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同，则合金中的金属的质量约为___________（结果保留整数）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①6；②30【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）利用待定系数法求出与的函数关系式，再求出时，的值即可；（2）先描点，再连线，画出函数图象即可；（3）①根据函数图象求解即可；②温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高，由表格中的数据可知，当时，合金N的硬度为，当时，合金M的硬度为，据此可得答案．【详解】（1）解：设，把代入到中得：，∴，∴，在中，当时，，补全表格如下：102030405060708090合金M的硬度556065707580859095合金的硬度/HRC626872747573716659（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：①由函数图象可知，两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为；②∵温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同，∴温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高，由表格中的数据可知，当时，合金N的硬度为，当时，合金M的硬度为，∴合金N中的金属C的质量约为时，刚好满足题意．4．（2025·北京昌平·二模）某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下：所挂物体质量（）012345678910A型弹簧伸长长度0

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