2026年中考二轮复习之解答题复习6：《一次函数及应用》（学生版+教师版合并）

2026年中考第二轮复习解答题专题6.一次函数及应用本课时是中考解答题必考中档核心题型，以一次函数的图象与性质为基础，融合待定系数法、方程不等式、实际建模、几何面积、函数最值等考点，是衔接代数与几何、理论与应用的关键板块，也是二轮复习必须满分突破的重点内容。一、题型特点一、题型特点1.考点固定，结构清晰：核心考查待定系数法求解析式、函数图象性质、自变量取值范围、实际问题建模、与反比例函数/几何图形综合、方案最值，设问多为2-3小问，梯度明显、逻辑连贯。2.数形结合，应用性强：以行程、购物优惠、工程、温度变化、芯片采购等生活情境为载体，侧重考查从图象提取信息、将实际问题转化为函数模型的能力。3.综合交汇，难度分层：基础设问为求解析式、点坐标；中档为图象分析、取值范围；难题为方案最值、几何面积、参数范围，步骤分明确，规范书写至关重要。4.方法统一，易掌握：解题流程高度固定，是中考“稳分、送分”的核心题型，熟练方法后不易失分。二、二、答题要点1.待定系数法求解析式：设y=kx+b(k≠2.图象信息提取：抓起点、拐点、交点，明确横纵坐标实际意义，判断增减性与倾斜程度。3.实际建模三步走：审题找等量关系→设变量列函数式→结合自变量实际意义（非负、整数）确定范围。4.方案最值求解：根据k的正负判断增减性，结合自变量范围求最值。5.几何综合处理：求面积用“割补法”，交点问题联立解析式，参数范围结合图象判断。三三、避坑指南1.忽略k≠2.增减性混淆：未根据k正负判断y随x的变化趋势，导致最值错误。3.自变量范围漏限：实际问题未考虑人数、数量为正整数，取值范围出错。4.联立计算失误：与反比例函数综合时，解方程组符号错误。5.面积计算错误：割补法找错底和高，遗漏绝对值。6.书写不规范：未写“解”“设”，作答不完整，丢失步骤分。本课时以解析式为基础、图象为工具、应用为核心，复习时强化待定系数法、数形结合、建模思想，规范解题步骤，即可稳稳拿下全部分数。四四、真题练习1.（24-25·江苏模拟）已知y是关于x的正比例函数，当x=−2时，y=3．（1）求y关于x的函数表达式；（2）若点(a,−3)是该函数图象上的一点，求a的值．【答案】y=−32【解析】（1）设正比例函数的解析式为：y=kx，将点A(−2,3)代入解析式即可求解；（2）将(a,−3)代入(1)中解析式，即可求解．【解答】（1）解：设正比例函数的解析式为：y=kx，

将点A(−2,3)代入解析式可得：3=−2k，

解得：k=−32，

∴正比例函数的解析式为：（2）把B(a,−3)代入y=−32x得：

−3=−32a，

2.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x+m和函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A．（1）当m=4时，求点A的坐标；（2）当x<2时，对于x的每一个值，函数y=2x+m的值都大于函数y=mx(m≠0)的值，直接写出m的取值范围．【答案】(2,8)2<m≤4【解析】（1）由m=4，此得y=2x+4和y=4x．可联立这两个函数方程求解．（2）当x<2时，y=2x+m的值都大于y=mx的值，意味着在x<2时，直线y=2x+m在直线y=mx的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为2时的情况，再结合函数的性质来确定m的取值范围．【解答】（1）解：当m=4时，函数y=2x+4，y=4x．

联立方程组y=2x+4y=4x ，

解得x=2y=8 ，

∴点（2）解：联立y=2x+my=mx ，

∴2x+m=mx，

解得x=mm−2（m≠2）．

当x<2时，y=2x+m的值都大于y=mx的值，且当x=2时，若两函数值相等，则

2×2+m=2m，

解得m=4．

又∵当x<2时，y=mx(m≠0)在y=2x+m的下方，

∴m要大于2，

∴2<m≤43.（24-25·江苏模拟）【知识回顾】

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象记作直线l，l与x轴的夹角为α．

（1）若α=30∘，则（2）当k>0时，求证：tanα=k．

【知识应用】

电影《蛟龙行动》中有这样一段情节：

静止潜伏于水下的我方潜艇A利用被动声呐发现敌方潜艇B正沿某固定直线航向以每分钟710海里的速度潜航进入我国海域．午夜2点整，潜艇A测得潜艇B在其北偏东69∘方向，2点05分，测得潜艇B在其北偏东60∘方向，经过解算，潜艇B将在2点10分航行至潜艇A的北偏东56∘方向．请利用以上信息，以我方潜艇A为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇B的航线图象的函数表达式．［参考数据：【答案】33见解析【解析】（1）在l任取一点A，设AB=a，求出A点坐标，进而求解即可；（2）k>0时，在直线l上取点P(x,kx)，过点P作PH⊥x轴于点H，则OH=|x|，PH=k|x|，在Rt△POH中，求tanα即可得证；【解答】（1）如图，在l上任取一点A，过A作AB⊥x轴于点B，

设AB=a，

∵α=30∘，

∴OB=3a，

∴A3a,a，

将点A代入y=kx得，a=3ak，

（2）证明：在y=kx上任取一点P，过点P做PH⊥x轴．如图，

设P(x,kx)，

∵k>0，

∴OH=|x|，PH=k|x|．

∴在Rt△OPH中，tanα=PHOH=k|x||x|4.（22-23·湖北中考）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100∘C的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s时间t/s010203040油温y1030507090

（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：​∘C）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是___（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．【答案】一次y=2t+10当加热110s时，油沸腾了，推算沸点的温度为230【解析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可．（2）运用待定系数法求解即可；（3）把t=110代入函数关系式，求出函数值即可．【解答】（1）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加10s，油的温度就升高20​∘C，

（2）设这个一次函数的解析式为y=kt+b(k≠0)，

∵当t=0时，y=10；当t=10时，y=30，

∴10=b30=10k+b ，

解得k=2b=10 ，

∴y（3）当t=110时，y=2×110+10=230

答：当加热110s时，油沸腾了，推算沸点的温度为230∘C．5.（24-25·辽宁模拟）综合与实践

某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．

【背景调查】

图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

【收集数据】

小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为ymm，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度x16.519.823.126.429.7凳面的宽度y115.5132148.5165181.5

【分析数据】

如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．

【建立模型】

请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】在同一条直线上，函数解析式为：y=5x+3336mm【解析】（1）用待定系数法求解即可；（2）将y=213代入函数解析式，解方程即可．【解答】（1），

解：设函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，

∵当x=16.5,y=115.5，x=23.1,y=148.5，

∴16.5k+b=115.523.1k+b=148.5 ，

解得：k=5b=33 ，

∴函数解析式为：y=5x+33，

经检验其余点均在直线y=5x+33上，（2）解：把y=213代入y=5x+33得：

5x+33=213，

解得：x=36，

∴当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm．6.（22-23·浙江中考）【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8

任务1

分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．

【建立模型】

小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2

利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．

任务3

(1)计算任务2得到的函数解析式的w值．

(2)请确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小．

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．

任务4

请你简要写出时间刻度的设计方案．【答案】任务1：见解析；任务2:h=−0.1t+30；任务3：(1)0.05，(2)h=−0.102t+30；任务4：见解析【解析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；

任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；

任务3：(1)先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；

(2)设h=kt+30，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；

任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．【解答】解：任务1：变化量分别为，29−30=−1cm；28.1−29=−0.9cm；

27−28.1=−1.1cm；25.8−27=−1.2cm；

任务2：设h=kt+b，

∵t=0时，h=30，t=10时，h=29；

∴b=30，10k+b=29 

∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=−0.1t+30．

任务3：(1)当t=0时，h=−0.1t+30=30，

当t=10时，h=−0.1t+30=29，

当t=20时，h=−0.1t+30=28，

当t=30时，h=−0.1t+30=27，

当t=40时，h=−0.1t+30=26，

∴w=(30−30)2+(29−29)2+(28−28.1)2+(27−27)2+(26−25.8)2

=0.05．

(2)设h=kt+30，则

w=(30−30)2+(10k+30−29)2+(20k+30−28.1)2+(30k+30−27)2+(40k+30−25.8)27.（25-26·湖南模拟）如图，一次函数y=x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数y=kx(k≠0,x<0)的图象于点B(−1,a)．将一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度，所得的图象交x轴于点C．

（1）求反比例函数y=k（2）当△ABC的面积为3时，求m的值．【答案】y=−3m=2【解析】（1）由题意得：点B(−1,a)在一次函数y=x+4的图象上，可求出B(−1,3)，即可求解；（2）对于一次函数y=x+4，令y=0求出A(−4,0)；一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度后的解析式为：y=x+4−m；求出C(m−4,0)，即可求解；【解答】（1）解：由题意得：点B(−1,a)在一次函数y=x+4的图象上，

∴a=−1+4=3，

∴B(−1,3)；

∵B(−1,3)在反比例函数y=kx(k≠0,x<0)的图象上，

∴k=−1×3=−3，

∴（2）解：对于一次函数y=x+4，令y=0，则x=−4；

∴A(−4,0)；

一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度后的解析式为：y=x+4−m；

对于一次函数y=x+4−m，令y=0，则x=m−4；

∴C(m−4,0)；

∴S△ABC=12×m×3=8.（25-26·山东模拟）如图，一次函数y=2x+b的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点为A2,6．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=mx的图象相交于点B,C，求【答案】y=2x+2；y=42【解析】（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案；（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线BC解析式为y=2x−10，则可求出B(−1,−12),C(6,2)，过点A作AT∥y轴交直线BC于T，则T(2,−6)，再根据S△ABC【解答】（1）解：∵一次函数y=2x+b的图象经过A2,6，

∴6=2×2+b，

∴b=2，

∴一次函数解析式为y=2x+2；

∵反比例函数y=mx的图象经过A2,6，

∴6=m2，

∴m=12（2）解：∵将一次函数y=2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=12x的图象相交于点B,C，

∴直线BC解析式为y=2x+2−12=2x−10，

联立y=2x−10y=12x ，解得x=−1y=−12 或x=6y=2 ，

∴B(−1,−12),C(6,2)；

如图所示，过点A作AT∥y轴交直线BC于T，

∵A2,6，

∴点T的横坐标为2，

在y=2x−10中，当x=2时，y=2×2−10=−6，

∴T(2,−6)，

∴AT=6−(−6)=12，

∴S△ABC=9.（25-26·江苏模拟）如图，一次函数y=2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点D，连接（1）求A，B两点的坐标；（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值．【答案】A(−2,0)，B(0,4)k=16【解析】（1）对于一次函数y=2x+4，分别令y=0，和x=0，即可求得答案；（2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得BE=DE，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入y=2x+4，即可求得答案．【解答】（1）解：令y=0，则2x+4=0，

解得x=−2，

∴点A的坐标为(−2,0)，

令x=0，则y=4，

∴点B的坐标为(0,4)；（2）解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E，

∵CB=CD，CE⊥BD，

∴BE=DE，

令y=4，则4=kx，

∴x=k4，

∴点D的坐标为14k,4，

∴点C的坐标为18k,8，

∵点C在一次函数y=2x+4的图象上，

∴1410.（24-25·辽宁中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A关于直线CD的对称点为E，连接DE．

（1）求证：∠OAB=45（2）设点C的坐标为(0,m)，当0<m<2时，线段DE与线段OB相交于点F，求四边形COFD面积的最大值.【答案】见解析四边形COFD面积的最大值为83【解析】（1）先求得A(0,4)，B(4,0)，得到OA=4，OB=4，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立；（2）由题意得OC=m，AC=4−m，根据折叠的性质得CE=AC=4−m，OE=CE−OC=4−2m，利用等腰直角三角形的判定和性质求得OF=OE=4−2m，CD=AC=4−m，再利用梯形的面积公式求得四边形COFD面积关于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【解答】（1）解：证明：对于直线y=−x+4，

令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，

∴A(0,4)，B(4,0)，

∴OA=4，OB=4，

∵∠AOB=90∘，

（2）解：∵点C的坐标为(0,m)，

∴OC=m，AC=4−m，

∵点A(0,4)关于直线CD的对称点为E，

∴CE=AC=4−m，∠OAB=∠CED=45∘，

∴OE=CE−OC=4−2m，

∵∠EOF=90∘，

∴∠OEF=∠OFE=45∘，

∴OF=OE=4−2m，

∵CD⊥OA，

∴∠OAB=∠CDA=45∘，

∴CD=AC=4−m，

∴四边形COFD面积=12(OF+CD)×OC

=12(4−2m+4−m)⋅m

=−32m2+4m11.（25-26·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象相交于点A和B(−4,−3)，点A的横坐标为（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当y1≤y（3）点C为x轴上一动点，连接AC,BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标．【答案】一次函数解析式为y1=x≤−4或0<x≤2点C坐标为(−6,0)或(2,0)【解析】（1）由待定系数法求解即可；（2）根据图象即可求得；（3）设y1=32x+3与x轴交于点D，得出D(−2,0)，设C(t,0)【解答】（1）解：一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象相交于点A和B(−4,−3)，点A的横坐标为2

∴将B(−4,−3)代入y2=mx，

则m=(−3)×(−4)=12，

∴反比例函数解析式为：y2=12x，

∴将xA=2代入y2=12x，

则yA=122（2）解：∵xA=2,xB=−4，

∴观察图象，当y1（3）解：设y1=32x+3与x轴交于点D，

当y=0时，32x+3=0

∴x=−2

∴D(−2,0)，

设C(t,0)，

∴CD=|t+2|

∵△ABC的面积为18，

∴S△ABC=S△CDA+S△CDB=12CDyA−yB

∴12.（24-25·四川中考）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养素如下：食品类别能量（单位：Kcal）蛋白质（单位：g）脂肪（单位：g）碳水化合物（单位：g）A240127.529.8B28013927.6（1）若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？（2）若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？【答案】选用A、B两种食品分别为3份和2份；应选用A、B两种食品分别为2份和4份；【解析】（1）先设选用A、B两种食品分别为x份和y份，结合选用A、B两种食品分别为x份和y份，列出方程组，进行计算，即可作答．（2）结合每份食品的质量为50g，每份午餐选用这两种食品共300g，则选用B种食品(6−a)份，再列出不等式，得a≤2，然后设能量为b，则b=−40a+1680，运用一次函数的性质进行作答即可．【解答】（1）解：设选用A、B两种食品分别为x份和y份，

∵这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，

∴240x+280y=128012x+13y=62 ，

∴x=3y=2 ，

∴选用A、（2）解：设选用A种食品a份，

依题意，300−50a50=6−a，

即选用B种食品(6−a)份，

则12a+13(6−a)≥76

12a+78−3a≥76，

解得a≤2，

设能量为b，

则b=240a+280(6−a)=−40a+1680

∵−40<0，

∴b随a的增大而减小，

∴当a=2时能量最低，

即6−2=4，

∴应选用A、B两种食品分别为2份和13.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(−1,3)和点(1,−1)．（1）求k，b的值；（2）当x≤2时，对于x的每一个值，函数y=−12x+n的值都小于y=kx+b的值且大于−4【答案】k=−2b=1−3<n<−2【解析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据解析式可判断出在y=−12x+n中，y随x增大而减小，那么当x≤2时，函数y=−12x+n的最小值一定要大于−4，据此可得不等式−1【解答】（1）解：把(−1,3)和(1,−1)代入到y=kx+b(k≠0)中得−k+b=3k+b=−1 ，

解得（2）解：由(1)得函数y=kx+b的解析式为y=−2x+1

∵在y=−12x+n中，−12<0，

∴在y=−12x+n中，y随x增大而减小，

∵当x≤2时，对于x的每一个值，函数y=−12x+n的值都大于−4，

∴当x=2时，y=−12x+n=−12×2+n>−4，

∴n>−3；

当−12x+n<−2x+1时，解得x<2−2n3，

14.（25-26·上海模拟）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kw/h，行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量ykw/h与行驶路程xkm之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的关系式；（2）已知这辆车的“满电量”为100kw/h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少？【答案】y与x之间的关系式为y=−0.2x+80；该车的剩余电量占“满电量”的32%．【解析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得当x=240时，y的值，再计算即可求解．【解答】（1）解：设y与x之间的关系式为y=kx+b，将0,80，150,50代入得80=b50=150k+b，

解得b=80k=−0.2，

∴y与x之间的关系式为（2）解：当x=240时，y=−0.2×240+80=32，32100×100%=32%，答：该车的剩余电量占“满电量”的32%．15.（24-25·四川模拟）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以a m/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：

（1）a=

12

，b=

30

（2）请分别求出y1，y2与（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？【答案】12，30，；或.【解析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；（2）由(1)可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可；（3）由题意可得或，分别计算即可．【解答】（1）解：，.故答案为，30；（2）由(1)可得与函数图象的交点坐标为，设，y2=k2x+20，

将20,30分别代入可得30=20k1+10，30=20k2+20,

解得k1（3）由题意可得y1−y2=5或y2−y1=5，当y1−y2=5时，x+10−12x+20=5，

解得x=30，

当y16.（24-25·河北模拟）如图，在直角坐标系中，点A2,m在直线y=2x−52上，过点A的直线交y轴于点B0,3（1）求m的值和直线AB的函数表达式．（2）若点Pt,y1在线段AB上，点Qt−1,y【答案】，；【解析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线AB的函数解析式为y=kx+b，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；（2）由(1)及题意易得y1=−34t+3【解答】（1）解：把点代入，得．设直线的函数表达式为，把点，代入得，解得，∴直线AB的函数表达式为y=−34x+3．（2）解：∵点Pt,y1在线段AB上，点Qt−1,y2在直线y=2x−52上，∴y1=−34t+30≤t≤2，y2=2t−1−5217.（24-25·新疆模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．【答案】y=12n≥1【解析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当x=0时，求出y即可求解．（2）根据题意x+n>12x+1【解答】（1）解：将(4,3)，(−2,0)代入函数解析式得，3=4k+b0=−2k+b，解得k=12b=1，

∴函数的解析式为：y=12x+1，

当x=0时，得y=1，（2）由题意得，x+n>12x+1，即x>2−2n，

又由x>0，得2−2n≤0，

解得n≥1，

∴n的取值范围为n≥1．18.（24-25·新疆模拟）某同学设计了一个动画，有两道光线l1:y=x−3m+15，l2:y=−2x+3m−9，其中m（1）当光线l1经过点−2,4时，求出m的值，并指出点−2,4是否在光线l（2）若光线l1与l2的交点落在第一象限内，两光线可以聚焦使灯板发光．求此时整数【答案】m=3；点−2,4在光线l25或6，共2个【解析】（1）待定系数法求出m的值，再求出x=−2时的函数值，进行判断即可；（2）联立解析式，求出交点坐标，根据交点在第一象限，求出m的取值范围，即可得解．【解答】（1）解：把x=−2，y=4代入l1得，4=−2−3m+15，解得m=3；

∴l2的表达式为y2=−2x，当x=−2时，y=4，

∴（2）解：联立解析式得y=x−3m+15y=−2x+3m−9，解得x=2m−8y=7−m，∴光线l1与l2的交点坐标为2m−8,7−m，

∵交点在第一象限，

∴2m−8>07−m>0，解得4<m<7，

∴整数m的值为5或619.（24-25·天津中考）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：小华离开家的时间/min161850小华离家的距离/km0.10.60.61.8

②填空：小华从公园返回家的速度为_____0.12_______kmmin；

③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x（2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1【答案】①0.1,0.6,1.8②0.12③y=12<x<24【解析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可；

②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可；

③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可；（2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集．【解答】（1）解：①小华去书店的速度为0.6÷6=0.1km/min，

1分钟时小华离家的距离为0.1km；

由图可知18分钟时，小华离家的距离为0.6km；

50分钟时，小华离家的距离为1.8km；

故答案为：0.1,0.6,1.8；

②小华返回家的速度为1.8÷(70−55)=0.12km/min

故答案为：0.12；

③由①得小华去书店的速度为0.1km/min，

∴当0≤x≤6时，y=0.1x；

由图可知，当6<x≤18时，y=0.6；

当18<x≤30时，假设直线解析式为y=kx+b，

将(18,0.6),(30,1.8)代入解析式得0.6=18k+b1.8=30⋅k+b ，

解得k=0.1b=−1.2 

∴y=0.1x−1.2；（2）解：如图所示，y2为妈妈的图形，

根据题意可知，小华妈妈的速度为0.05km/min，

所以其直线解析式为y2=0.05x，

当y1=y2时，

令0.05x=0.6，

解得x=12，经验证6<12<18，符合题意；

令0.05x=0.1x−1.2，

解得x=24，经验证18<24<30，符合题意；

结合图形，当y20.（25-26·甘肃模拟）如图，点A在x轴上，点B和点C都在y轴上．

（1）直线AC的表达式是_______y=−x−3_______________（2）在直线AC上且位于y轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是____y<−3______（3）当x的取值范围是___x<−3_______时，直线AC在直线AB的上方（4）直线AC向右平移____2__个单位后经过点B【答案】y=−x−3y<−3x<−32【解析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）根据图象即可求解；（3）根据图象即可求解；（4）假设直线AC向右平移n个单位后经过点B，得出平移后解析式为y=−(x−n)−3，将(0,−1)代入即可求解；【解答】（1）解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，

把(−3,0),(0,−3)代入得−3=b0=−3k+b ，

解得k=−1b=−3 ，

∴直线（2）解：根据图象可得，在直线AC上且位于y轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是y<−3；（3）解：根据图象可得，当直线AC在直线AB的上方时，x<−3；（4）解：∵直线AC的表达式是y=−x−3，

假设直线AC向右平移n个单位后经过点B，

则平移后解析式为y=−(x−n)−3，

将(0,−1)代入得−1=−(0−n)−3，

解得：n=2，

故直线AC向右平移2个单位后经过点B．21.（24-25·新疆模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，A−2,2，B6,6，连接AB．

（1）求AB所在直线的表达式；（2）从点C3,0处发射激光CP．①当激光CP⊥x轴时，CP与AB交于点Q，求线段CQ的长度；

②已知CP所在直线的表达式为y=mx+nm≠0，请直接写出激光CP与线段QB（不含端点）有交点时【答案】y=1①CQ=92【解析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）由题意可得点Q的横坐标为3，然后将x=3代入AB所在直线的表达式可求得点C的纵坐标即可；②先根据CP所在直线过C、B两点可求得一个临界点m，在根据当CP⊥x轴时，CP与AB交于点Q，即m可取无限大，据此即可解答．【解答】（1）解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b，则有：2=−2k+b6=6k+b，解得：k=12b=3，

∴设直线（2）解：①如图：

∵点C3,0处发射激光CP，CP⊥x轴，CP与AB交于点Q，

∴点Q的横坐标为3，

将x=3代入AB所在直线的表达式可得：y=12×3+3=92,

∴Q3,92,

∴线段CQ的长度为92．

②∵CP所在直线的表达式为y=mx+nm≠0，C3,0

∴0=3m+n，即n=−3m

∵Q3,92，B6,6，

∴当CP所在直线过B6,6时，6=6m−3m，解得：m=2，

22.（24-25·河北模拟）(10分)如图，直线l1:y=kx−4(k为常数，k>0)与y轴交于点A，直线l2:y=−12x+k与y轴交于点B，两直线交于点C（1）若点B坐标为(0,2)，求k的值和点C坐标；（2）规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当k为整数时，求C为整点时的坐标；（3）设在直线x=1上，且落在△ABC内部（不含边界）整点的个数为m，直接写出m的值．【答案】k=2；C(2,2)m=3或m=4【解析】（1）把点B坐标(0,2)代入l2:y=−12x+k（2）联立y=kx−4y=−12x+k ，求出C1+72k+1,（3）先求出直线x=1与直线l1和l2的两个交点间距离为72【解答】（1）解：把点B坐标(0,2)代入l2:y=−12x+k，得k=2，

∴l1:y=2x−4，l2:y=−12x+2，

联立（2）解：联立y=kx−4y=−12x+k ，

解得：x=k+4k+12=1+72k+1y=2k2−42k+1 ，

∴C1+72k+1,2k（3）解：把x=1代入l1:y=kx−4得：y=k−4，

把x=1代入l2:y=−12x+k得：y=−12+k，

∵−12+k−k+4=72，

∴直线x=1与直线l1和l2的两个交点间距离为72，且3<72<4，

当直线x=1与直线l23.（23-24·重庆模拟）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点D为BC中点，点P从点D出发，沿D→C→A方向以每秒1cm的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，线段CP的长度为ycm．

（1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当CP的长度与AD的长度相等时x的值．【答案】y=3−x,(0≤x≤3)图象见解析，当0≤x≤3时，y随x的增大而减小，当3<x≤8时，y随x的增大而增大（答案不唯一）x=7【解析】（1）分点P在DC上和CA上分别讨论即可；（2）列表、描点、连线，画出函数图象，从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可；（3）根据函数图象，利用关系y=AD，由图象找出x的对应值即可．【解答】（1）解：∵AB=AC，点D为BC中点，

∴AD⊥BC，DC=12BC=3cm，

∵点P以每秒1cm的速度沿D→C→A匀速运动到点A，运动时间为x秒，

∴点P运动的路程为xcm，

①当点P在DC上，即当0≤x≤3时，

∵DP=xcm

∴y=DC−DP=3−x，

②当点P在CA上时，即当3<x≤8时，

∵DC+CP=xcm，

∴y=CP=x−DC=x−3，

∴y与x的函数关系式为：（2）列表如下：x038y305

函数图象如下：

该函数的性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而减小，当3<x≤8时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；（3）由(1)可知在Rt△ACD中，AD=AC2−CD2=52−32=4cm，

∴直线y=4时，与图象交点的横坐标就是要求的x的值，

观察图象，当y=AD=4时，24.（23-24·云南模拟）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x−1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x−1的零点．（1）求一次函数y=2x−3的零点；（2）若二次函数y=x2+bx+32b的零点为x1，x2，A，B两点的坐标依次（3）直线y=−2x+b的零点为1，且与抛物线y=kx2−(3k+3)x+2k+4(k≠0)交于C、D两点，若m+1≤1k≤m+2时，线段【答案】32b=3±13m=−4或m=3【解析】（1）直接根据函数零点的定义解答即可；（2）利用函数零点的定义求得x1，x2，再根据AB=2利用两点间距离公式代入即可求得（3）先利用零点定义求得b，联立直线y=−2x+b与抛物线y=kx2−(3k+3)x+2k+4求得交点坐标，再结合线段CD【解答】（1）解：对于一次函数y=2x−3，

令y=0，则2x−3=0，解得x=32，

∴一次函数y=2x−3的零点是（2）当y=0，则0=x2+bx+32b，

解方程得：x=−b±b2−6b2

∵AB=2（3）∵直线y=−2x+b的零点为1，

∴x=1,y=0，

∴b=2．

联立直线与抛物线解析式，消去y，得：−2x+b=kx2−(3k+3)x+2k+4，

整理得：kx2−(3k+1)x+2k+2=0，

Δ=[−(3k+1)]2−4k(2k+2)=k2−2k+1=(k−1)2≥0

设方程的解为x3,x4则：Cx3,y3,Dx4,y4

∴x3+x4=3k+1kx3x4=2k+2k ，

∴CD2=x3−x42+y3−y42=x3−x42+2x3−x42

25.（24-25·安徽中考）已知一次函数y=ax−ba≠0,b≠0的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象相交于点M(1,6)，N−3,n,与x轴交于点C，连接（1）求k，b，n的值；（2）求△OMN的面积．【答案】k=6,b=−4,n=−28【解析】（1）把M(1,6)代入y=kx求出k，把N(−3,n)代入y=6x求出n=−2，再把M(1,6)和（2）根据直线解析式求出点C的坐标得到OC长，依据S△OMN【解答】（1）解：∵把M(1,6)代入y=kx得k=1×6=6，

∴y=6x，

把N(−3,n)代入得n=6−3=−2，

∴点B的坐标为N(−3,−2)，

把M(1,6)和N(−3,−2)代入y=ax−b得：

a−b=6−3a−b=−2 ，

（2）解：令y=0时，则0=2x+4，

解得x=−2，

∴点C的坐标为(−2,0)，

∴S△MON=S△MOC+26.（23-24·江苏中考）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元．

（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元．（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲km、y乙km分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x(h)之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：

①甲车的速度是__80______km/h．

②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值___1.5或【答案】购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和200元当该公司购买A型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元①80；②1.5或4.5或6.5【解析】（1）根据题意列方程组求解即可；（2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可；（3）①求出解析式代入计算即可；②求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可．【解答】（1）设：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元

由题意得a+2b=7502a+3b=1300 

解得a=350b=200 

答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要（2）设购买B型芯片m颗，则购买A型芯片(8000−m)颗，所需资金为w元

由题意得：w=350(8000−m)+200m=−150m+2800000

∵k=−150<0

∴w随m的增大而减小

∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，

∴8000−m≥3m解得m≤2000

∵m取正整数

∴当m=2000时，w取最小值，w最少=−150×2000+2800000=2500000（元）

此时8000−m=6000

答：当该公司购买A型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是（3）①设y乙的解析式为y乙=k2x+b

将点(0,60)，(7,480)代入y乙=k2x+b

得b=607k2+b=480 

解得k2=60b=60 

所以，y乙的解析式为y乙=60x+60，

当x=3时，y乙=60x+60=60×3+60=240

所以，甲车的速度为240÷3=80km/h

②y甲的解析式为y甲=k1x

将点(3,240)代入y甲=k1x

得240=3k1，解得k1=80

所以y甲的解析式为y甲=80x

当函数y27.（24-25·江西中考）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关

实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）

实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的

密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．

总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力=G重力；

当小铝块浸入液面后，F拉力=G重力−F浮力．

【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N)，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N)，则乙液体中小铝块浸入的深度为ncm，直接写出m，n【答案】弹簧测力计A的示数为2.8，弹簧测力计B的示数为2.5；F拉力m=0.6，n=1.6．【解析】（1）直接根据图②作答即可；（2）设当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=k1x+b（3）由题意可知小铝块重为4N，将x=8代入F拉力=−0.3x+5.8得F拉力=3.4，将F拉力=G重力−F浮力变形即可求出m=0.6，求出当6≤x≤10【解答】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8，弹簧测力计B的示数为2.5；（2）解：设当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=k1x+b1，

由图可知F拉力=k1x+b1经过(6,4)，(10,2.8)

分别将(6,4)（3）解：由题意可知小铝重为4N，

将x=8代入F拉力=−0.3x+5.8得F拉力=3.4，

则F浮力=G重力−F拉力=4−3.4=0.6(N)，即m=0.6；

则使乙液体中的小铝块所受的浮力为0.6N，

∴F拉力=G重力−F浮力=4−0.6=3.4(N)，

设当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=k2x+b2，

由图可知F拉力=k2x+b2经过(6,4)，(10,2.5)

28.（24-25·广东中考）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元③购买5个篮球与购买6个足球花费相同（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；（2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？【答案】每个篮球60元，每个足球50元当购买篮球4个的时候，所花费用最少【解析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；（2）设篮球有m个，购买的总费用是w元，根据题意，列出不等式求出m的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可．【解答】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得：

5x=6y2y−x=40 或x+y+30=1402y−x=40 或x+y+30=1405x=6y ，（三个方程组任选一个即可）

解得：x=60y=50（2）设篮球有m个，则足球有(10−m)个

2m≥10−m，

解得：m≥103，

设购买的总费用是w元，

w=60m+50(10−m)=10m+500，

∵10>0，

∴w随着m的减小而减小；

∵m≥103且m为整数，

∴当m最小值为4时，w最小值为540元；

答：当购买篮球429.（22-23·新疆中考）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：A超市B超市优惠方案所有商品按八折出售购物金额每满100元返30元（1）当购物金额为80元时，选择超市____A__（填“A”或“B”）更省钱；

当购物金额为130元时，选择超市_B_____（填“A”或“B”）更省钱；（2）若购物金额为x(0<x<200)元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%（注：优惠率=购物金额−实付金额购物金额×100%【答案】A, ByA=0.8x(0≤x≤200)，yB=x(0≤x<100)x−30(100≤x<200) ，当0≤x<100或150<x<200不一定，理由见解析【解析】（1）根据题意，分别计算购物金额为80和130元时，两家超市的费用，比较即可求解；（2）根据题意列出函数关系，根据当100≤x<200时，0.8x<x−30，得出150<x<200时选择A超市更省钱，结合题意，即可求解；（3）根据题意以及(2)的结论，举出反例即可求解．【解答】（1）解：购物金额为80元时，A超市费用为80×0.8=64（元）

B超市费用为80元，

∵64<80，

∴当购物金额为80元时，选择超市A更省钱；

购物金额为130元时，A超市费用为130×0.8=104（元）

B超市费用为130−30=100元

∵100<104，

∴当购物金额为130元时，选择超市B更省钱；

故答案为：A, B．（2）解：依题意，yA=0.8x(0<x≤200)，

yB=x(0<x<100)x−30(100≤x<200) 

当0<x<100时，B超市没有优惠，故选择A超市更省钱，

当100≤x<200时，0.8x<x−30

解得：x>150

∴当150<x<200时，选择A超市更省钱，

综上所述，0<x<100或150<x<200时选择A超市更省钱，

当100≤x<150时，选择B超市更省钱，

当x=150时，两家一样，

综上所述，当0<x<100或150<x<200（3）在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，

例如：当B超市购物100元，返30元，相当于打7折，即优惠率为100−70100×100%=30%，

当B超市购物120元，返30元，则优惠率为120−90120×100%=25%，

30.（23-24·江苏模拟）方格纸中的数学——运算线

【加法线】如图1，作7+4的加法线，先在横线上找到第一个加数7并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数4并作竖线的垂线，两条垂线相交于点A，过点A沿小方格对角线作直线l，l与横线相交于点B，则点B在横线上所表示的数为11，则l为7+4的11号加法线．11号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为11．（1）在图②中画出3+6的9号加法线；

【减法线】（2）类比画加法线的方法，在图2中画出8−3的5号减法线．

【换个角度看】（3）①已知两个数x、y，判断x+y的11号加法线与x−y的5号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）；

②若0所表示的点为坐标原点，以横线为x轴，竖线为y轴．则x+y的11号加法线与x−y的5号减法线所表示的函数表达式分别是_______．

【乘法线】（4）如图④，若0所表示的点为坐标原点，以横线为x轴，竖线为y轴，x与乘数2的积的乘法线m称为2号乘法线．求2号乘法线m的函数表达式；

【应用】（5）某校数学社团男同学比女同学多8人，且男同学人数是女同学人数的3倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数．（6）k号乘法线(k为常数，k≠0)上任一点的函数值与y1差的2号减法线和x+y2的3号加法线．当x<2时，y【答案】见解析见解析①互相垂直；②y=−x+11，y=x−5y=2x男同学人数是12人k≥−1【解析】（1）根据新定义，类比画出3+6的9号加法线；（2）根据新定义，类比画出8−3的5号加法线；（3）①观察图象即可求解；

②根据题意写出解析式，即可求解；（4）依题意，x与乘数2的积的乘法线m称为2号乘法线，即y=2x；（5）设男同学的人数为x人，女同学的人数为y人，分别画出13号乘法线与y−x的8（6）根据题意得y1=kx+2,y2=−x+3【解答】（1）解：在图②中画出3+6的9号加法线，如图所示，

作3+6的加法线，先在横线上找到第一个加数3并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数6并作竖线的垂线，两条垂线相交于点A，过点A沿小方格对角线作直线l，l与横线相交于点B，则点B在横线上所表示的数为9，则l为3+6的9号加法线．

（2）作8−3的减法线，先在横线上找到第一个被减数8并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个减数3并作竖线的垂线，两条垂线相交于点A，过点A沿小方格对角线作直线l，l与横线相交于点B，则点B在横线上所表示的数为5，则l为8−3的5号减法线．

（3）①如图所示，

x+y的11号加法线与x−y的5号减法线的位置关系是互相垂直，

根据网格的特点可得两直线经过正方形的对角线，

∴x+y的11号加法线与x−y的5号减法线的位置关系是互相垂直

②∵x+y=11则y=−x+11，x−y=5，则y=x−5，

故答案为：y=−x+11，y=x−5．（4）依题意，x与乘数2的积的乘法线m称为2号乘法线，即y=2x，

∴2号乘法线m的函数表达式为y=2x；（5）设男同学的人数为x人，女同学的人数为y人，

依题意，y=x−8，y=13x

即画出13号乘法线与y−x的8号减法线，如图所示，

交点对应的横坐标为x=12，

∴男同学人数是（6）如图所示，

2号减法线的解析式为y=x+2，3号加法线的解析式为y=−x+3

∵k号乘法线(k为常数，k≠0)上任一点的函数值与y1的2号减法线和x+y2的3号加法线．

设k号乘法线的解析式为y=kx，

∴y1=kx+2,y2=−x+3，则y1过定点(0,2)，

如图所示，

∵当x<2时，y2>y1．

当x=2时，y2=1，

将

2026年中考第二轮复习解答题专题6.一次函数及应用本课时是中考解答题必考中档核心题型，以一次函数的图象与性质为基础，融合待定系数法、方程不等式、实际建模、几何面积、函数最值等考点，是衔接代数与几何、理论与应用的关键板块，也是二轮复习必须满分突破的重点内容。一、题型特点一、题型特点1.考点固定，结构清晰：核心考查待定系数法求解析式、函数图象性质、自变量取值范围、实际问题建模、与反比例函数/几何图形综合、方案最值，设问多为2-3小问，梯度明显、逻辑连贯。2.数形结合，应用性强：以行程、购物优惠、工程、温度变化、芯片采购等生活情境为载体，侧重考查从图象提取信息、将实际问题转化为函数模型的能力。3.综合交汇，难度分层：基础设问为求解析式、点坐标；中档为图象分析、取值范围；难题为方案最值、几何面积、参数范围，步骤分明确，规范书写至关重要。4.方法统一，易掌握：解题流程高度固定，是中考“稳分、送分”的核心题型，熟练方法后不易失分。二、二、答题要点1.待定系数法求解析式：设y=kx+b(k≠2.图象信息提取：抓起点、拐点、交点，明确横纵坐标实际意义，判断增减性与倾斜程度。3.实际建模三步走：审题找等量关系→设变量列函数式→结合自变量实际意义（非负、整数）确定范围。4.方案最值求解：根据k的正负判断增减性，结合自变量范围求最值。5.几何综合处理：求面积用“割补法”，交点问题联立解析式，参数范围结合图象判断。三三、避坑指南1.忽略k≠2.增减性混淆：未根据k正负判断y随x的变化趋势，导致最值错误。3.自变量范围漏限：实际问题未考虑人数、数量为正整数，取值范围出错。4.联立计算失误：与反比例函数综合时，解方程组符号错误。5.面积计算错误：割补法找错底和高，遗漏绝对值。6.书写不规范：未写“解”“设”，作答不完整，丢失步骤分。本课时以解析式为基础、图象为工具、应用为核心，复习时强化待定系数法、数形结合、建模思想，规范解题步骤，即可稳稳拿下全部分数。四四、真题练习1.（24-25·江苏模拟）已知y是关于x的正比例函数，当x=−2时，y=3．（1）求y关于x的函数表达式；（2）若点(a,−3)是该函数图象上的一点，求a的值．【答案】y=−32【解析】（1）设正比例函数的解析式为：y=kx，将点A(−2,3)代入解析式即可求解；（2）将(a,−3)代入(1)中解析式，即可求解．【解答】（1）解：设正比例函数的解析式为：y=kx，

将点A(−2,3)代入解析式可得：3=−2k，

解得：k=−32，

∴正比例函数的解析式为：（2）把B(a,−3)代入y=−32x得：

−3=−32a，

2.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x+m和函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A．（1）当m=4时，求点A的坐标；（2）当x<2时，对于x的每一个值，函数y=2x+m的值都大于函数y=mx(m≠0)的值，直接写出m的取值范围．【答案】(2,8)2<m≤4【解析】（1）由m=4，此得y=2x+4和y=4x．可联立这两个函数方程求解．（2）当x<2时，y=2x+m的值都大于y=mx的值，意味着在x<2时，直线y=2x+m在直线y=mx的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为2时的情况，再结合函数的性质来确定m的取值范围．【解答】（1）解：当m=4时，函数y=2x+4，y=4x．

联立方程组y=2x+4y=4x ，

解得x=2y=8 ，

∴点（2）解：联立y=2x+my=mx ，

∴2x+m=mx，

解得x=mm−2（m≠2）．

当x<2时，y=2x+m的值都大于y=mx的值，且当x=2时，若两函数值相等，则

2×2+m=2m，

解得m=4．

又∵当x<2时，y=mx(m≠0)在y=2x+m的下方，

∴m要大于2，

∴2<m≤43.（24-25·江苏模拟）【知识回顾】

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象记作直线l，l与x轴的夹角为α．

（1）若α=30∘，则（2）当k>0时，求证：tanα=k．

【知识应用】

电影《蛟龙行动》中有这样一段情节：

静止潜伏于水下的我方潜艇A利用被动声呐发现敌方潜艇B正沿某固定直线航向以每分钟710海里的速度潜航进入我国海域．午夜2点整，潜艇A测得潜艇B在其北偏东69∘方向，2点05分，测得潜艇B在其北偏东60∘方向，经过解算，潜艇B将在2点10分航行至潜艇A的北偏东56∘方向．请利用以上信息，以我方潜艇A为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇B的航线图象的函数表达式．［参考数据：【答案】33见解析【解析】（1）在l任取一点A，设AB=a，求出A点坐标，进而求解即可；（2）k>0时，在直线l上取点P(x,kx)，过点P作PH⊥x轴于点H，则OH=|x|，PH=k|x|，在Rt△POH中，求tanα即可得证；【解答】（1）如图，在l上任取一点A，过A作AB⊥x轴于点B，

设AB=a，

∵α=30∘，

∴OB=3a，

∴A3a,a，

将点A代入y=kx得，a=3ak，

（2）证明：在y=kx上任取一点P，过点P做PH⊥x轴．如图，

设P(x,kx)，

∵k>0，

∴OH=|x|，PH=k|x|．

∴在Rt△OPH中，tanα=PHOH=k|x||x|4.（22-23·湖北中考）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100∘C的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s时间t/s010203040油温y1030507090

（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：​∘C）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是___（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．【答案】一次y=2t+10当加热110s时，油沸腾了，推算沸点的温度为230【解析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可．（2）运用待定系数法求解即可；（3）把t=110代入函数关系式，求出函数值即可．【解答】（1）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加10s，油的温度就升高20​∘C，

（2）设这个一次函数的解析式为y=kt+b(k≠0)，

∵当t=0时，y=10；当t=10时，y=30，

∴10=b30=10k+b ，

解得k=2b=10 ，

∴y（3）当t=110时，y=2×110+10=230

答：当加热110s时，油沸腾了，推算沸点的温度为230∘C．5.（24-25·辽宁模拟）综合与实践

某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．

【背景调查】

图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

【收集数据】

小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为ymm，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度x16.519.823.126.429.7凳面的宽度y115.5132148.5165181.5

【分析数据】

如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．

【建立模型】

请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】在同一条直线上，函数解析式为：y=5x+3336mm【解析】（1）用待定系数法求解即可；（2）将y=213代入函数解析式，解方程即可．【解答】（1），

解：设函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，

∵当x=16.5,y=115.5，x=23.1,y=148.5，

∴16.5k+b=115.523.1k+b=148.5 ，

解得：k=5b=33 ，

∴函数解析式为：y=5x+33，

经检验其余点均在直线y=5x+33上，（2）解：把y=213代入y=5x+33得：

5x+33=213，

解得：x=36，

∴当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm．6.（22-23·浙江中考）【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8

任务1

分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．

【建立模型】

小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2

利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．

任务3

(1)计算任务2得到的函数解析式的w值．

(2)请确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小．

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．

任务4

请你简要写出时间刻度的设计方案．【答案】任务1：见解析；任务2:h=−0.1t+30；任务3：(1)0.05，(2)h=−0.102t+30；任务4：见解析【解析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；

任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；

任务3：(1)先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；

(2)设h=kt+30，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；

任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．【解答】解：任务1：变化量分别为，29−30=−1cm；28.1−29=−0.9cm；

27−28.1=−1.1cm；25.8−27=−1.2cm；

任务2：设h=kt+b，

∵t=0时，h=30，t=10时，h=29；

∴b=30，10k+b=29 

∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=−0.1t+30．

任务3：(1)当t=0时，h=−0.1t+30=30，

当t=10时，h=−0.1t+30=29，

当t=20时，h=−0.1t+30=28，

当t=30时，h=−0.1t+30=27，

当t=40时，h=−0.1t+30=26，

∴w=(30−30)2+(29−29)2+(28−28.1)2+(27−27)2+(26−25.8)2

=0.05．

(2)设h=kt+30，则

w=(30−30)2+(10k+30−29)2+(20k+30−28.1)2+(30k+30−27)2+(40k+30−25.8)27.（25-26·湖南模拟）如图，一次函数y=x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数y=kx(k≠0,x<0)的图象于点B(−1,a)．将一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度，所得的图象交x轴于点C．

（1）求反比例函数y=k（2）当△ABC的面积为3时，求m的值．【答案】y=−3m=2【解析】（1）由题意得：点B(−1,a)在一次函数y=x+4的图象上，可求出B(−1,3)，即可求解；（2）对于一次函数y=x+4，令y=0求出A(−4,0)；一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度后的解析式为：y=x+4−m；求出C(m−4,0)，即可求解；【解答】（1）解：由题意得：点B(−1,a)在一次函数y=x+4的图象上，

∴a=−1+4=3，

∴B(−1,3)；

∵B(−1,3)在反比例函数y=kx(k≠0,x<0)的图象上，

∴k=−1×3=−3，

∴（2）解：对于一次函数y=x+4，令y=0，则x=−4；

∴A(−4,0)；

一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度后的解析式为：y=x+4−m；

对于一次函数y=x+4−m，令y=0，则x=m−4；

∴C(m−4,0)；

∴S△ABC=12×m×3=38.（25-26·山东模拟）如图，一次函数y=2x+b的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点为A2,6．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=mx的图象相交于点B,C，求【答案】y=2x+2；y=42【解析】（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案；（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线BC解析式为y=2x−10，则可求出B(−1,−12),C(6,2)，过点A作AT∥y轴交直线BC于T，则T(2,−6)，再根据S△ABC【解答】（1）解：∵一次函数y=2x+b的图象经过A2,6，

∴6=2×2+b，

∴b=2，

∴一次函数解析式为y=2x+2；

∵反比例函数y=mx的图象经过A2,6，

∴6=m2，

∴m=12（2）解：∵将一次函数y=2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=12x的图象相交于点B,C，

∴直线BC