1.3古典概型（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第一章知识结构图

基本概念与运算

(随机试验,事件,样本空间)

频率与概率

统计定义古典定义公理化定义

条件概率全概率公式与贝叶斯公式

独立性

第三节古典概型（等可能概型）

一．古典型随机试验（等可能试验)

一般,如果随机试验E具有：

(1)有限性：它的样本空间的元素只有有限个.

(2)等可能性：在每次试验中,每个基本事件发生

的可能性相同.

则称随机试验E为古典型随机试验，也称等可能试验.

示例一个袋子中装有10个大

小、形状完全相同的球.将球

编号为1－10。把球搅匀，蒙

上眼睛，从中任取一球.85

1946

因为抽取时这些球是完全平等的，72310

故没有理由认为10个球中的某一

个会比另一个更容易取得.12345678910

即,10个球中的任一个被

取出的机会是相等的，10个球中的任一个被取

出的机会都是

均为1/10.1/10

所以称这类概率模型为古典概型.

在此示例中,若记A={摸到2号球}2

则P(A)=?显然：P(A)=1/10

若记B={摸到红球}123456

则P(B)=?显然：P(B)=6/10静态

这里实际上是从“比例”

转化为“概率”

动态

当要求“摸到红球”的概率时，

实际上只要找出它在静态时

85

相应的比例

.1946

72310

二．古典概型中事件概率的计算公式

定义：设E是古典随机试验，S是它的样本空间，

Se1,e2,,en,若事件A包含k个基本事件

即Aeieiei,(1i1i2ikn)

12k

kkA包含的基本事件总数

则称P(A)P(e)

ij

j1nS包含的基本事件总数

为事件A的概率。概率的古典定义

证明:由已知，在试验中每个基本事件发生的可能

性是相同的，即有：

P(e1)P(e2)P(en)

又由于基本事件是两两互不相容的，于是：

P(S)P(eee)

11n

P(e1)P(e2)P(en)

nP(ei)

而1

P(S)1P(ei),i1,2,n

又由已知，n

Aeieiei,(1i1i2ikn)

12k

1

则有：P(e)

in

P(A)P[eieiei]

12k

k

PePePePe

i1i2ikij

j1

111k

nnnn

包含的基本事件总数

A

S包含的基本事件总数

注▲此公式是法国数学家Laplace于1812年提出的.

▲在古典概型的计算中排列组合是必备的基础

知识.

例1．设有30件产品其中有4件是次品，现从中任取3件.

求：(1)恰有2件次品的概率;

(2)至少有一件次品的概率.

解：(1)．设A：任取3件恰有两件是次品

n:无论取出的是否是次品，它总是从30件

产品中取件，故它的样本空间总数是：3

3C30

k:恰有2件次品应从次品中取，剩下的另一件

正品应从件正品中取到。故有：21

26C4C26

kC2C1

从而：426156

P(A)30.038

nC304060

30件产品

(2)设B:任取3件至少有一件次品4件次品

至少有一件

3

次品的概率.

n:C30

k:次品至少有一件指的是1件，2件，3件次

品共三种情况，故有：

122130

C4C26C4C26C4C26

C1C2C2C1C3C0

从而k426426426

:P(B)3

nC30

1460

0.36

4060

例2.有0,1,2,,9十个数字，现从中任取

六个不同的数.

求：能排成一个六位数是偶数的概率.

解:设事件A：“排成的六位数是偶数”

由题意可知：它的样本空间元素是有限个，

并且每个基本事件发生的可能性也是相同的。

n:不论取出的六个数是否能排成偶数，它

总是从十个数中取出六个数，

故样本空间的总数应是：6排列数

P10()

k:要排成偶数则第六位只能是0,2,4,6,8；

要成为六位数，则第一位不能是0，

第一位只能取1,3,5,7,9或2,4,6,8；

要排成无重复数字的六位偶数，则首位与末位

有两种情况:

．若首位取则有114

(1)1,3,5,7,9:P5P5P8

．若首位数则有114

(2)2,4,6,8:P4P4P8

综合可得114114

(1),(2):kP5P5P8P4P4P8

kP1P1P4P1P1P441

从而:558448

P(A)60.46

nP1090

例3某公司的内部的电话号码由5个数字组成，每个

数字可能是从0-9这十个数字中的任一个。

求：电话号码由五个不同数字组成的概率。

解：设A：电话号码由五个不同数字组成

5

P从10个不同数字中

则：P(A)10=0.3024

105取5个的排列

C5

思考：P(A)10？允许重复的排列

105

错在何处？计算样本空间样本点总数和所求

事件所含样本点数计数方法不同

例4.盒中有6张面值相同的债券,其中有两张中奖债券，

现从中任取两次，每次取一张，考虑两种取法:

(1).有放回地取：第一次取出观察后放回盒中混

合均匀后再取第二次.放回抽样

(2).无放回地取：第一次取出后不放回盒中,第

二次从剩余的债券中再取一张.

不放回抽样

求：分别就两种抽样方式求取到的两张都是中奖

债券的概率？

解：显然，本题属古典概型。

(1).有放回地抽取设A：取到的两张都是中奖券

n:第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是

从6张中取一张，第二次再从盒中取，仍是

有6张券可供抽取，故有：

11种

P6P636()

k:中奖券有2张，第一次取有2张可供抽取,

第二次取仍有2张可供抽取，故有：

11种

P2P24()

k41

从而:P(A)0.111

n369

nn:

（2).不放回地抽取

1111

n:P6P530k:P2P12

k21

从而:P(A)0.067

n3015

注

▲若在此例中若将取法改为“一次抽取两张”，

其它条件不变则有:

2

C21

P(A)20.067

C615

▲“不放回地抽取两次，每次取一张”相当于

“一次抽取两张”。

故在许多问题中如果不是有放回地抽样,

就统称为“任意取出”多少个。

例5.某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知

这12次接待都是在周二和周四进行的。

问：是否可以推断接待时间是有规定的？

解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来

访者在一周的任一天去接待站是等可能的.

设A：12次接待来访者都在周二和周四

n:一周共有7天，12次来访者均可在七天中任

一天都可去接待站,相当于从七天中要接

待12次且可以重复日期，故有：

712(种)

k:因为12次接待来访者只能放在周二和周四

两天之中，故有：212

k212

从而：P(A)0.0000003（千万分之三）

n12

注7

由“实际推断原理”概：率很小的事件在一次试验

中实际上几乎是不发生的。

可推断到：“假设接待站接待时间是没有规定”

这一说法是不正确的。

因为千万分之三的小概率事件竟然

在假设条件下发生了。

故得出：接待站的接待时间是有规定的，

而不是每天都接待的。

例6有r个人，设每个人的生日是365天的任何

一天是等可能的。

试求：事件“至少有两人同生日”的概率。

解：令A={至少有两人同生日}

则A={r个人的生日都不同}

为求P(A)，先求P(A):

Pr

由题意：P(A)365

(365)r

Pr

则有:P(A)1P(A)1365

(365)r

美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实

验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛

场上，他随机地在某号看台上r召唤了个球迷，请

P36522

他们分别写下P自(己A)的生1日，结果r竟发现其中有两人

同生日。(365)

用上面例6的公式可以计算此事出现的概率为：

P(A)10.5240.476

22个球迷中至少有两人

同生日的概率为0.476.

这个概率不算小，但它的出现不值得奇怪.

计算后发现，这个概率随着球迷人数的增

加而迅速地增加，如下页表所示：

统计表

所有这些概率都是在假

人数至少有两人同定一个人的生日在365

生日的概率天的任何一天是等可能

200.411的前提下计算出来的。

210.444据不完全统计,有关的实

220.476际概率比表中给出的还

230.507要大。

240.538

300.706一般当人数超过23时，

400.891可以说至少有两人同生

500.970日是可靠的。

600.994

例对问

7配题

某人将三封写好的信随机装入三个

写好地址的信封中。

问：没有一封信装对地址的概率是多少？

解：设Ai={第i封信装入第i个信封}

i=1,2,3

A={没有一封信装对地址}

则：A={至少有一封信装对地址}

直接计算P(A)不易,则可先来计算P(A)

因为：

AA1A2A3

AA1A2A3应用加法公式

P(A)P(A1A2A3)

P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2)

P(A1A3)P(A2A3)P(A1A2A3)

其中2!1

P(A1)P(A2)P(A3)

3!3

11

P(AA)P(AA)P(AA)

1213233!6

11

P(A1A2A3)A{第i封信装入

3!6i

代入计算P(A)的公式中：第i个信封}

P(A)P(A1A2A3)

2!11

33

3!3!3!推广到n封信，用类似的方法

112可得:

1把封信随机地装入个写好地

2!3!3nn

址的信封中,没有一封信配对的

于是得：概率为:

111

P(A)1P(A)1(1(1)n1)

1112!3!n!

111

2!3!3(1)n

2!3!n!

归纳

1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.

“等可能性”是一种假设，在实际应用中,应该根据实

际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点

是等可能的。

在许多场合，由对称性和均衡性，一般就可以认为基

本事件是等可能的，并在此基础上计算事件的概率。

2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意

不要重复计数，也不要遗漏.

例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子

中“至少有两只配成一双”（事件A）的概

率