2.2 离散型随机变量（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

§2.2离散型随机变量

一、离散随机变量的概念

定义若随机变量X的可能取值是有限个或

可列个,则称X为离散型随机变量.

若P(Xxk)pk,k1,2,

或Xx1x2xk

Pp1p2pk

xxx

或X~12k

p1p2pk

称上述公式为r.v.X的概率分布或分布律.

分布律的特征性质

非负性

qpk0,k1,2,

q规范性

pk1

k1

用这两条性质判断

一个函数是否是

概率分布

例1.在3件正品2件次品组成的产品中，任取2

件，求取到次品数X的概率分布。

解：r.v.X所有可能取值为0，1，2

因为{X0}表示“所取2件全为正品”，所以

C2

3

P{X0}20.3

C5

2

11

C2

C3C2

同理P{X2}20.1

P{X1}20.6

C5

C5

X012

P0.30.60.1

例2.(几何分布)对某一目标射击，直到击中为止，

设每次射击命中率为p,则求射击次数的分布律。

解记1-p=qX=射击次数；

P(X=k)=P(前k-1次未击中，第k次击中)

qk1p,k1,2,

X12…k…

Ppqp…qk1p…

二、常见离散r.v.的分布

(1)退化分布

若随机变量X取常数C的概率为1，

P（X=C）=1

这时称X服从退化分布或单点分布。

(2)0–1分布B(1,p)

X010<p<1

P1-pp

或P(Xx)px(1p)1x,x0,1

称此随机变量r.v.X的分布服从参数为p

的0–1分布或两点分布或贝努里分布，记

为X~B(1,p).

应用凡试验只有两个结果,常用0–1

场合分布描述,如产品是否合格、人

口性别统计、系统是否正常、电力消耗

是否超标等等.

(3)二项分布B(n,p)

n重Bernoulli试验中,X是事件A在n次试

验中发生的次数,P(A)=p,若

kknk

b(k;n,p)P(Xk)Cnp(1p),k0,1,,n

则称X服从参数为n,p的二项分布，记作

X~B(n,p).

下面讨论二项分布的特征性质。

（1）记ì

ï1第i次试验中A发生

Xi=í

ï

îï0第i次试验中A不发生

Xi~B(1,p)

n

XXi~B(n,p)

i1

（2）0–1分布是n=1的二项分布；

(3)X~B(n,p)的充分必要条件为：

X可表示为n个独立同服从0-1分布的

随机变量之和.

设1

二项分布的取值情况X~B(8,3)

k1k18k

b(k;8,1/3)P(Xk)C8(3)(13),k0,1,,8

012345678

.039.156.273.273.179.068.017.0024.0000

由图表可见,当k2或3时，

P分布取得最大值

b(2;8,1/3)b(3;8,1/3)0.273

0.273•

此时的k称为最可能成功次数

•••••••••

x

012345678

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

2468

设X~B(20,0.2)

01234567891011~20

.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.001

P由图表可见,当k4时，

0.22•分布取得最大值

b(4;20,0.2)0.22

•••••••••••••••••••••

x

01234567891020

0.2

0.15

0.1

0.05

5101520

二项分布中最可能出现次数的定义与推导

若P(Xk)P(Xj),jX可取的一切值

则称k为最可能出现的次数

kknk

记pkP(Xk)Cnp(1p),k0,1,,n

p(1p)k

k11

pkp(nk1)

p(1p)(k1)

k1

pk1p(nk)

(n1)p1k(n1)p

当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与

(n+1)p–1处的概率取得最大值

当(n+1)p整数时,在k=[(n+1)p]

处的概率取得最大值

对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不

对称分布

固定p,随着n的增大，其取值的分布

趋于对称

例2独立射击5000次,命中率为0.001,

求(1)最可能命中次数及相应的概率；

(2)命中次数不少于1次的概率.

解(1)k=[(n+1)p]

=[(5000+1)0.001]=5

554995

b(5;5000,0.001)C5000(0.001)(0.999)

0.1756

(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)

P(X1)1P(X1)1P(X0)

005000

1C5000(0.001)(0.999)

0.9934.

本例小概率事件虽不易发生，但重

启示复次数多了，就成大概率事件.

由此可见日常生活中“提高警惕,防火

防盗”的重要性.

由于时间无限,自然界发生地震、海

啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的

事，不用奇怪，不用惊慌.

同样,人生中发生车祸、失恋、患绝

症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常

现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而

跳楼自杀.

(4)Poisson分布

k

若P(Xk)e,k0,1,2,

k!

其中0是常数，则称X服从参数为

的Poisson分布.记作X~()或P()

泊松,法国数学家，1781年

6月21日生于法国卢瓦雷省皮

蒂维耶，1840年4月25日卒于

法国索镇。

泊松在青年时期曾学过医学，后因喜好数学，

于1798年入巴黎综合工科学校深造。毕业时，因

研究论文优秀而被指定为讲师，1806年任该校教

授，1809年任巴黎理学院力学教授，1812年当选

为巴黎科学院院士。

泊松的科学生捱开始于研究微分方程及其在

摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是

应用数学方法研究各类物理问题，并由此得到数

学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热

物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论

都有重要贡献。他一生共发表300多篇论著。

问题如何计算P(X2500)?

定理1.Poisson定理

设npn0,则对固定的k

k

kknk

limCnpn(1pn)e

nk!

k0,1,2,

Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n较大，

p较小,而np适中,则可以用近似公式

k

Ckpk(1p)nke,k0,1,2,

nk!

记np

证nn

kknk

Cnpn(1pn)

knk

n(n1)(nk1)

n1n

k!nn

nnk

k()

nn

1k1nnn

111

nnk!n

k

ek0,1,2,

k!

例3某地方有2500人参加某种物品保险，每人年

初向保险公司交保费12元，若在这一年内该物品损坏,

则可从保险公司领取2000元。该物品损坏的Pr为

0.002，求保险公司获利不少于20000元的概率。

解：用X表示“投保人中物品损坏数”，则显

然

X~B(2500,0.002)

事件“保险公司获利不少于20000元”

{2500122000X20000}{X5}

故所求Pr为

5

k

P{X5}0.002k0.9982500k

C2500

k0

55k

e5

k0k!

0.616

利用Poisson定理再求例2(2)

解令X表示命中次数,则

X~B(5000,0.001)

令np5

P(X1)1e50.9933.

此结果与用二项分布算得的结果

0.9934仅相差万分之一.

例4某厂产品不合格率为0.03,现将产品

装箱,若要以不小于90%的概率保证每箱

中至少有100个合格品,则每箱至少应装

多少个产品？

解设每箱至少应装100+n个,每箱的不

合格品个数为X,则X~B(100+n,0.03)

n

由题意P(Xn)b(k;100n,0.03)0.9

k0

(100+n)0.03=3+0.03n3取=3

应用Poisson定理

nn3k3k

b(k;100n,0.03)e31e30.9

k0k0k!kn1k!

3k

e30.1查Poission分布表,=3

kn1k!

得n+1=6,n=5

故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.

在实际计算中,当n20,p0.05时,可用上

述公式近似计算;而当n100,np10时,

精度更好

按二项分布按Poisson

公式

n=10n=20n=40n=100

k=np=1

p=0.1p=0.05p=0.025p=0.01

00.3490.3580.3690.3660.368

10.3050.3770.3720.3700.368

20.1940.1890.1860.1850.184

30.0570.0600.0600.0610.061

40.0110.0130.0140.0150.015

在某个时段内：

①大卖场的顾客数；

应②市级医院急诊病人数；

③某地区拨错号的电话呼唤次数；

用④某地区发生的交通事故的次数.

场⑤放射性物质发出的粒子数；

合⑥一匹布上的疵点个数；

⑦一个容器中的细菌数；

⑧一本书一页中的印刷错误数；

都可以看作是源源不断出现的随机

质点流,若它们满足一定的条件,则称为

Poisson流,在长为t的时间内出现的质

点数Xt~P(t)

例5设一只昆虫所生虫卵数为随机变

量X,已知X~P()，且每个虫卵发育

成幼虫的概率为p.

设各个虫卵是否能发育成幼虫是

相互独立的.

求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫

数Y的概率分布.

解昆虫X个虫卵Y个幼虫

k

已知P(Xk)e,k0,1,2,

k!

mmkm

P(YmXk)Ckp(1p),m0,1,2,,k

(Ym)(Xk),m0,1,2,

km

(Xk)(Xl),kl

由全概率公式

P(Ym)P(Xk)P(YmXk)

km

k

mmkm

eCkp(1p)

kmk!

mkm

(p)

e(1p)km

m!km(km)!

令kmsms

(p)

e(1p)s

m!s0s!

mm

(p)(p)

ee(1p)ep,m0,1,2,

m!m!

故Y~P(p)

(5)超几何分布

从装有a个白球，b个红球的袋中不放回地

任取n个球,以X表示其中恰有k个白球，则

knkn

P{Xk}CaCb/Cab,k0,1,,n

称X服从超几何分布

a

当ab,p时，

ab

knk

CC

对每个有abkknk

nnCabp(1p)

Cab

结论

超几何分布的极限分布是二项分布

二项分布的极限分布是Poisson分布

6、几何分布G(p)

事件A发生的概率为p的Bernoulli试验序列中,X

表示事件A首次发生所需的试验中的次数，则

P(Xk)(1p)k1p,k1,2,

称X服从参数为p几何分布G(p)。

几何分布的特征性质：X为取整数的r.v.,则X服从

参数为p几何分布G(p)的充分必要条件为：无记忆

性，即

P{Xmn|Xm}P{Xn},m,n1,2,

(7)Pascal分布PA(r,p)（Pascal分布,

负二项分布）

事件A发生的概率为p的Bernoulli试验序列中,

X表示r个事件A发生所需的试验的次数，则

r1krr

P(Xk)Ck1(1p)p,kr1,r2,

说明(1)r=1,则PA(r,p)=G(p);

(2)Xi表示第i个A发生所需的试验的次数

Xi~G(p),i1,2,r

r

XXi~NB(r,p)

i1

帕斯卡

BlaisePascal

1623-1662

法国数学家

物理学家

思想家

帕斯卡简介

帕斯卡四岁丧母,在父亲精心培养

下,16岁时发现帕斯卡六边形定理,写

成《圆锥曲线论》,由此定理导出400余

条推论,这是古希腊阿波罗尼奥斯以来

圆锥曲线论的最大进步.

1642年发明世界上第一台机械加法

计算机——帕斯卡计算器.

1647年他发现了流体静力学的

帕斯卡原理.

1654年研究二项系数性质,写出

《论算术三角形》一文,还深入讨论

不可分原理,这实际上相当于已知道

an1

na

xdx

0n1

他应用此方法解决了摆线问题.

1658年完成了《摆线论》,这给

G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微

积分的建立.

三十岁时他曾研究过赌博问题,

对早期概率论的发展颇有影响.

在离散型随机变量的分布中有个以

帕斯卡名字命名的分布，它应用于重

复独立试验中，事件发生第r次的场

合.而有名的负二项分布正是其名字命

名的，几何分布是特例.

帕斯卡还写过不少文学著作.

1654年他进入修道院,献身于哲

学和宗教.

问题

自动生产线调整以后出

现废品的概率为p,当生产

过程中出现废品时立即重新

进行调整,求在两次调整之

间的合格产品数的分布.

问

题

已知运载火箭在飞行中进入其仪

器舱的宇宙粒子数服从参数为2的泊

松分布.而进入仪器舱的粒子随机落

到仪器重要部位的概率为0.1,求落到

仪器重要部位的粒子数的概率分布.

附例设同类型设备90台，每台工作相互独立，

每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常

情况下，一台设备发生故障可由一个人独立

维修，每人同时也只能维修一台设备.

(1)问至少要配备多少维修工人，才能保证当设

备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?

(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负

责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？

解(1)设需要配备N个维修工人,设X为90台

设备中发生故障的台数，则X~B(90,0.01)

90

kkNk

P(XN)C90(0.01)(0.99)

kN1

令900.010.9

90k

0.9

则P(XN)e0.9

kN1k!

kk

0.90.9

e0.9e0.9

kN1k!k91k!

k

0.9

e0.90.01

kN1k!

N=4

(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能