3.5两个随机变量的函数的分布（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第三章知识结构图

多维随机变量

二维离散型二维连续型

随机变量随机变量

联合概函数

联合联合分函数联合分

率密度的分

分布律布函数的分布函数

布

布

定义常用分布

定义常用分布

第五节两个随机变量的函数的分布

研究的问题在一维随机变量中讨论了：已知随机

变量X及它的分布，如何求其函数

Yg(X)的分布。

在多维随机变量中需讨论：已知随机变

量X1,X2,…,Xn及其联合分布，如何求

出它们的函数：

Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m

的联合分布。

一般，先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其

推广到多个随机变量的情形。

一.Z=X+Y的分布(和的分布)

设(X,Y)的概率密度为f(x,y).

则Z=X+Y的分布函数为:

fxydxdy

FZ(z)P(Zz)(,)

累xyz

zx

次dxf(x,y)dy

积

xyz

分固定和

zzx,是直线

dx[f(x,ux)du]对内层积分x+y=z

作变量替换

交换左下方

积分zy=u–x的半平

[f(x,ux)dx]du面

次序

得的概率密度为

对FZ(z)求导,Z=X+Y:

f(z)f(x,zx)dx

Z

由X和Y的对称性，fZ(z)又可写为：

f(z)f(zy,y)dy

Z

注

当X,Y相互独立时，则由f(x,y)fX(x)fY(y)

有:f(z)f(x)f(zx)dx称为卷积公式

ZXY

记为：ff

或f(z)f(zy)f(y)dyXY

ZXY

fff(zy)f(y)dy

XYXY

f(x)f(zx)dx

XY

例设和相互独立的随机变量，且2

1.XYX~N(1,1)

2

Y~N(2,2)

求：Z=X+Y的概率密度

解:利用卷积公式：

f(z)f(x)f(zx)dx

ZXY

22

(x1)[(zx)]

2

1212

(e21)(e22)dx

2122

22

(x1)(zx2)

122

e2122dx

212

22

(x1)(zx2)

122

e2122dx

212

222222

(z12)1221121z

(x)

1222222

e2(12)e21212dx

212(z)2

12

122

e2(12)

22

212

22222z

令:1221121

t(x22)

1212

22

dt12dx

12

结论:

▲若随机变量和相互独立，且2

XYX~N(1,1)

2则它们的和仍服从正态分布，

Y~N(2,2),

即：22

ZXY~N(12,12)

▲推广到n个相互独立正态随机变量之和，即：

2且它们相互独

Xi~N(i,i)i1,2,3,n

立，则它们的和仍服从正态分布。即有：

222

ZX1X2Xn~N(12n,12n)

▲更一般的有：有限个相互独立的正态

随机变量的的线性组合

仍然服从正态分布。

例设相互独立且服从参数为的分布

2.X,Y,1,,2,,

且X,Y的概率密度分别为:

1

1

x1exx0

fX(x)(1)(0,0)

1

0x0

2

1

y1eyy0

f(y)

Y(2)(20,0)

0y0

求:Z=X+Y的分布

1

1

x1exx0

解:当z0时，fZ(z)0

fX(x)(1)

当z0时，0x0

(0,0)

1

f(z)f(x)f(zx)dx

ZXY

从z12

x1x1zx

0z(x1e)(x2e())dx

0

(1)(2)

12z

ez11

x1(zx)2dx

()()0

令：12

xzt12z

e1111

z12t1(1t)2dt

0

(1)(2)

12z

e1

z12

B(1,2)

(1)(2)

12z

e()()

z1212

(1)(2)(12)

(12)z121ez

从而得：

(12)

1

Beta函数定义：B(m,n)=xm1(1x)n1dx,m0,n0

0

(m)(n)

且B函数与函数之间有关系式：B(m,n)

(mn)

从而得：

12z121ez

z0

fZ(z)(12)(,0,0)

12

0z0

结论:

▲

若X,Y相互独立，且服从参数为1,2,的分

布，则它们的和仍服从参数为的分布

12,

▲推广：若相互独立且服从

X1,X2,Xn,Xi

则其和

参数为i,的分布,X1X2Xn

n

服从参数为的分布

i,.

i1

11

▲特别当,时，

12n22

的密度函数为：

XX1X2Xn

x

n

1212

nxex0

f(x)22(n)

X2

0x0

此时则称X服从自由度为n的开平方分布，

记为：X~2(n)

▲若相互独立，并均服从则

Y1,YnN(0,1),

222服从2分布

XY1Y2Yn(n)

正态分布的和仍服从正态分布；而正态分布的平方和和却服从2分布

例设

3.X~P(1),Y~P(2)(服从泊松分布)，

且X,Y相互独立。

求:Z=X+Y的分布

解:X与Y的取值均为：0,1,2,

Z的取值也为非负的整数k

P(Zk)P(XYk)

P(X0,Yk)P(X1,Yk1)

因为X

与Y相P(Xk,Y0)

互独立

P(X0)P(Yk)P(X1)P(Yk1)

P(Xk)P(Y0)

kk1k

e12e21e12e21e1e2

k!1!(k1)!k!

1()k

e12[kk1k]

k!21!121

k

1()()()

e12()k12e12

k!12k!

若服从参数为的泊松分布，且

结论:X,Y1,2

X,Y相互独立,则它们的和服从参数为

泊松分布，即：

(12)Z~(12)

例4.若X和Y相互独立，具有相同的概率密度：

10x1

f(x)求：Z=X+Y的概率密度

0其它

解:由卷积公式：

f(z)f(x)f(zx)dx

ZXY

为确定积分限，先找出使被积函数不为零的区域

由已知：

0x10x1

即

0zx1z1xz

0x1

区域如图示:

z1xz

被积函数不

于是得：为0的区域

z

dxz

00z1

1

f(z)dx2z1z2

Zz1

0其它

归纳

▲例1~例3说明：不论是连续型随机变量还是离散型

随机变量，如果它们服从正态分布,分布或泊松

分布，那么它们的和也仍然服从正态,分布或泊

松分布，并且参数是单个参数之相加,具有这种性

质的随机变量也称其为满足或具有可加性的随机

变量。

▲求解例1~例3过程中知：在求随机向量(X,Y)

的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其

转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利

用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布。

x

Xz

二.Z的分布(商的分布)y

Yy

设(X,Y)的概率密度为f(x,y)

G

X1

则的分布函数为

Z:x

Y0

FZ(z)P(Zz)G2

GG

对于12

G1:

yz

f(x,y)dxdydyf(x,y)dx

0

G

1z

固定z,y令:dyyf(yu,y)du

0

ux(y0)z

yyf(yu,y)dydu

0

对x

G2:令u(y0)同样有:

y

z0

x

z

f(x,y)dxdyyf(yu,y)dyduyy

G2

zx

故有0

:Fz(z)G

yf(yu,y)dydu2

G0G

z120

[yf(yu,y)dyyf(yu,y)dy]du

0

X

对F(z)求导得Z概率密度函数为:

ZY

0

f(z)yf(yz,y)dyyf(yz,y)dy

Z0

yf(yz,y)dy

注当X,Y相互独立时,则有:

f(z)yf(yz)f(y)dy

ZXY

fX(x),fY(y)为(X,Y)关于X,关于Y的边缘概率密度

例5.设X,Y的概率密度分别为:

x

ex02e2yy0

f(x),f(y)

0其它0其它

并且X,Y相互独立。

求：ZX的概率密度函数

Y

解:因为X,Y的取值范围分为大于零与小于等于零

两段，所以Z的取值范围也分为：z0与z0

当z0时：

f(z)yf(yz)f(y)dy0

ZXY

当z0时：

f(z)yf(yz)f(y)dy

ZXY

0

(y)0dyyeyz2e2ydy

0

2

2ye(2z)dy

0(2z)2

x

ex02e2yy0

f(x),f(y)

0其它0其它

2

所以得：最大值

2z0

和最小

fZ(z)(2z)

值分布

0z0

三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布

函数分别为FX(x)和FY(y).

求：M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.

解：1.M=max(X,Y)的分布

因为：max(X,Y)mXm和Ym

所以

Fmax(m)P(Mm)P(Xm,Ym)

由独立性P(Xm)P(Ym)分布函数

定义

FX(m)FY(m)

从而得：

Fmax(m)FX(m)FY(m)

2.N=min(X,Y)分布

因为：

Fmin(n)P(Nn)1P(Nn)

1P(Xn,Yn)

1[1P(Xn)][1P(Yn)]

1[1FX(n)][1FY(n)]

所以得：

Fmin(n)1[1FX(n)][1FY(n)]

注▲由

Fmax(m)与Fmin(n)通过对其求导得相应的

概率密度函数与

fmax(m)fmin(n).

▲推广：

X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变

量，它们的分布函数分别为F(x),

Xiii1,2n,

则：与

Mmax(X1,X2,Xn)

Nmin(X1,X2Xn)的分布函数分别为:

F(m)F(m)F(m)F(m)

maxX1X2Xn

F(n)1[1F(n)][1F(n)][1F(n)]

minX1X2