4.4 条件数学期望与条件方差（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

§4.4条件数学期望与条件方差

一、条件数学期望

1、离散型r.v.的条件数学期望

设随机变量X与Y的联合分布律为

P{Xxi,Yyj}pij,i,j1,2,

X和Y的边缘分布律分别为

P{Xxi}pipij,i1,2,...

j1

P{Yyj}pjpij,j1,2,...

i1

若对固定的j,p.j>0,则称

p

＝ij

P{Xxi|Yyj},i1,2,...

p.j

为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;记为

X|Y=yjx1x2…xn…

/p

Pp1j/p.jp2j/p.j…pnj.j…

同理，对固定的i,pi.>0,称

p

＝ij

P{Yyj|Xxi},j1,2,...

pi.

为X＝xi的条件下，Y的条件分布律;

定义设随机变量X与Y的联合分布律为

＝

P{Xxi,Yyj}pij,i,j1,2,

p

＝ij

E(X|Yyj)xi,j1,2,

i1p.j

p

＝ij

E(Y|Xxi)yj,i1,2,

i1pi.

2、连续型r.v.的条件数学期望

定义设连续型随机变量(X,Y)，在Y=y发生条件下，

的概率密度p(x|y),若xp(x|y)dx,则称

X|YX|Y

E{X|Yy}xp(x|y)dx

X|Y

为X在Yy条件下的条件数学期望，简称条件期望。

同理：E{Y|Xx}yp(y|x)dy

Y|X

注1：E(Y|X=x)为关于x的函数，记为(x)

则E(Y|X)=(X)

定理1.X,Y为r.v.,EX,EY,Eg(Y)存在,则

（1）若aXb,aE(X|Yy)b

（）为常数，且存在，则

2C1,C2E(Xi|Yy)

E(C1X1C2X2|Yy)C1E(X1|Yy)C2E(X2|Yy)

（3）E[E(X|Y)]EX

Proof(1)(2)性质与普通数学期望证明是一样的

若（）为离散型，的概率为

(3)X,YYyjP(Yyj)p.j

pij

E(X|Yyi)xipijxiuj

i1i1p.j

所以E(X|Y)的分布律

E(X|Y)u1u2uj

Pp.1p.2p.j

pij

E[E(X|Y)]ujp.jxip.jEX

j1j1i1p.j

若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则

E[E(X|Y)][xp(xy)dx]p(y)dy

XYY

xp(xy)p(y)dxdy

XYY

EX

定理2.X,Y为r.v.,EX,EY,Eg(Y)存在,则

(1)X,Y独立,有E(Y|X)=EY;

(2)E(g(X)Y|X)=g(X)E(Y|X);

(3)E(c|X)=c;

(4)E[g(X)|X]=g(X);

(5)E{Y-E(Y|X)}2E{Y-g(X)}2;

22求

(X,Y)~N(1,2,1,2,)E(X|Yy),E(Y|Xx)

解：

11x12x1y2y22

p(x,y)exp{2[()2()]}

22(1)1122

2121

由于

1x12x1y2y22

2[()2()]

2(1)1122

1x1y22(y2)

2[()]2

2(1)1222

1

p(x|y)

X|Y2

211

1

exp[x1(y)]2,

22122

21(1)

11

E(X|Yy)1(y2),E(X|Y)1(Y2)

22

22

E(Y|Xx)2(x1),E(Y|X)2(X1).

11

二、条件方差

1、定义

E{[YE(Y|X)]2|X}存在,称之为随机变量X

条件下随机变量Y的条件方差，记为D(Y|X)

2、条件方差的性质

2

D(Y|X)E[Y2|X]E(Y|X)

22

D(X|Y)EX|YE(X|Y)}

定理1D(Y)ED(Y|X)DE(Y|X)

证明

22

ED(Y|