6.2 直方图与样本分布函数（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

6.2直方图与样本分布函数

一、直方图

实际统计工作中首先涉及到的是一系列数据，数

据的变异性系统地表现了数据的分布。常常在工厂、

学校等部门表现为图表。下面讨论直方图。

例1：观察新生女婴儿的体重X，统计数据如下：

2880,2440,2700,3500,3500

3600,3080,3860,3200，3100

3180,3200,3300,3020,3040

3420,2900,3440,3000,2620

考察数据的分布？

解对数据进行分组,列表,统计.

分组12345

组限[2400，[2700，[3000，[3300，[3600，

2700）3000）3300）3600）3900）

组中值25502850315034503750

组频数23852

组频率1015402510

累积10256590100

频率

y频率直方图

100

40

20

24002700300033003600x

累积频率直方图

100

40

20

1、频率直方图反映了r.v.X的密度函数的形状。

2、累积频率直方图反映了r.v.X的分布函数的

形状。

实例年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量

的数据画出了频率直方图。

从直方图，

我们可以初

步看出，年

降雨量近似

服从正态分

布。

从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似

服从正态分布。

下面是我们用某大学大学生的身高的

数据画出的频率直方图。

红线是拟

合的正态

密度曲线

人的身高高低不等，但中等身材的占大多

数，特高和特矮的只是少数，而且较高和

较矮的人数大致相近，这从一个方面反映

了服从正态分布的随机变量的特点。

除了我们在前面遇到过的年降雨量和

身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，

如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作

物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，

射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等

等，都服从或近似服从正态分布.

二、样本分布函数

定义：设总体的简单随机样本

X(X1,X2,,Xn)

的观察值为x(x1,x2,,xn)从小到大排序为

x(1)x(2)x(n)

0,xx(1)

1/n,x(1)xx(2)

F(x)

n

k/n,x(k)xx(k1)

称Fn(x)为样本分

布函数或总体的

经验分布函数。1,xx(n)

注1：Fn(x)为分布函数，因为满足分布函数的三条

特征性质。

注2：Fn(x)实际上是累积频率直方图曲线。

小于等于

注3：Fn(x)#{X1,X2,,Xnx}/n

1n

Fn(x)I{Xix}

ni1

I{Xix}i.i.d.F(x),由大数定律知：

1nP

Fn(x)I{Xix}F(x)

ni1

进一步有

limP{sup|Fn(x)F(x)|}1,0

nxR

P{limsup|Fn(x)F(x)|0}1

nxR

格列纹科定理

三、顺序统计量

定义：设总体的简单随机样本

X(X1,X2,,Xn)

从小到大排序为

X1,X2,,XnX(1)X(2)X(n)

称为顺序统计量O.S.

X(1),X(2),,X(n)

最小顺序统计量

X(1)min{X1,,Xn}

X(n)max{X1,,Xn}最大顺序统计量

RX(n)X(1)极差

，

例6－3X(1),X(2),X(n)是总体X的样本

（X1,X2,…,Xn）相对应的顺序统计量,

总体X的分布函数为F(x).试求X(1)及X(n)

的分布函数.

解X(1)的分布函数

F(x)PXx1PXx

X(1)(1)(1)

1PminX1,X2,Xnx

1PX1xPX2xPXnx

1[1F(x)]n

X(n)的分布函数

F(x)PXxPmaxX,X,,Xx

X(n)(n)12n

PX1x,X2x,,Xnx

PX1xPX2xPXnx

(F(x))n

PX(1)X(2)X(n)1

性质1.

{Xi}i.i.d.withc.d.f.F(x),p.d.f.p(x),则

Y(X(1),X(2),,X(n))p.d.f.为

pY(y1,y2,,yn)

n!p(y1)p(y2)p(yn)I(y1yn)

性质2.在性质1的条件下,X(k)的分布密度函数为

n!

p(x)F(x)k1[1F(x)]nkp(x)

k(k1)!(nk)!

k-11n-k

xxx

n1

p1(x)n[1F(x)]p(x)

n1

pn(x)n[F(x)]p(x)

性质3在性质1的条件下,(X(i),X(j))(ij)

的分布密度函数为

n!

p(x,y)F(x)i1[F(y)F(x)]ji1

ij(i1)!(ji1)!(nj)!

{1F(y)}njp(x)p(y)I{xy}

n2

p1n(x,y)n(n1)[F(y)