10.1 相关与回归分析概述（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

“悟道诗---严加安”

随机非随意，概率破玄机；

无序隐有序，统计解迷离．

第十章

回归分析

第一节相关与回归分析概述

一、相关关系

二、相关关系的度量与可视化

三、什么是回归分析

四、小结

一、相关关系

函数关系：例如SVT

人的身高和体重

父亲的身高和成年儿子的身高

相关关系：例如

粮食的施肥量和产量

商品的广告费和销售额

XY

二、相关关系的度量与可视化

1.相关系数

随机变量X和Y的相关系数定义如下：

cov(X,Y)

R(X,Y)

D(X)D(Y)

其中cov(X,Y)是X和Y的协方差，D(X),D(Y)

分别为X和Y的方差.

二、相关关系的度量与可视化

1.相关系数

在实际问题中，基于X和Y的n对观测数据

(xi,yi),i1,2,,n,可以利用下式计算X和Y

的相关系数：

n

(xix)(yiy)

ri1

nn

22

(xix)(yiy)

i1i1

称r为变量X和Y的样本相关系数.

二、相关关系的度量与可视化

1.相关系数

样本相关系数r度量了变量X和Y的线性相关性

的强弱，满足1r1.对于固定的样本容量n

1）r1YabX;

2）r越接近于1时，X和Y的线性相关性越强;

3）r越接近于0时，X和Y的线性相关性越弱.

二、相关关系的度量与可视化

1.相关系数

二、相关关系的度量与可视化

2.散点图

二、相关关系的度量与可视化

3.相关系数矩阵图

设有m个变量X1,X2,,Xm，对它们进行n次

独立的观测，观测数据矩阵记为

x11x12x1m

xxx

X21222m

xn1xn2xnm

定义X1,X2,,Xm的相关系数矩阵如下：

3.相关系数矩阵图

1r12r1m

r1r

R212m

rm1rm21

其中n

(xkixi)(xkjxj)

rk1

ijnn

22

(xkixi)(xkjxj)

k1k1

rrr

ij为变量Xi和Xj的相关系数，满足ijji.

1n1n

这里xixki,xjxkj,(i,j1,2,,m).

nk1nk1

例10.1.1在有氧锻炼中，人的耗氧能力Y是衡量身

体状况的重要指标，它可能与以下因素有关：年龄

X1(岁)，体重X2(kg)，1500米跑所用的时间X3(min),

静止时心速X4(次/min)，跑步后心速X5(次/min).对

24名40至57岁的志愿者进行了测试，结果如下表所

列．试根据这些数据分析耗氧能力Y与诸因素之间

的相关性．

例10.1.1数据表：

序号yx1x2x3x4x5

144.64489.56.8262178

245.34075.16.0462185

354.34485.85.1945156

459.64268.24.940166

549.938895.5355178

…

2345.45276.35.7848164

2454.75070.95.3548146

解经计算得Y,X1,X2,,X5的相关系数矩阵如下：

1.00000.32010.07770.86450.51300.4573

0.32011.00000.18090.18450.10920.3757

0.07770.18091.00000.11210.05200.1410

R

0.86450.18450.11211.00000.61320.4383

0.51300.10920.05200.61321.00000.3303

0.45730.37570.14100.43830.33031.0000

为了直观，绘制相关系数矩阵图，图中用椭圆色

块直观地表示变量间的线性相关程度的大小.

相关系数矩阵图

第i行，第j列的椭圆色块用来表示第i个变量和第

j个变量的相关性，其短半轴和长半轴满足

短半轴长半轴

1|rij|

注：椭圆越扁，变量间相关系数的绝对值越接近

于1，椭圆越圆，变量间相关系数的绝对值越接近

于0．若椭圆的长轴方向是从左下到右上，则变量

间为正相关，反之为负相关．

三、什么是回归分析

回归分析是对变量的相关关系进行建模的数学工

具.回归分析的内容包括：

1）从一组样本数据出发，确定因变量和自变量之间的数

学关系式，即经验回归方程；

2）对经验回归