2022高等代数习题集（查漏补缺专用）

2022高等代数习题集（查漏补缺专用）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶方阵，若存在非零向量x使得Ax=0，则下列命题中错误的是（）A.A的行列式|A|=0B.A的秩r(A)<nC.A存在特征值0D.A的任意一个子式都不等于02.设V为实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}为V的一个基，若α=2β₁-β₂+β₃，则α在基B下的坐标为（）A.(2,-1,1)B.(1,-1,2)C.(2,1,-1)D.(-1,2,1)3.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，则下列运算中错误的是（）A.(AB)ᵀ=AᵀBᵀB.|AB|=|A||B|C.(AB)⁻¹=A⁻¹B⁻¹D.(A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ4.设W为线性空间V的一个子空间，α₁,α₂,...,αₖ为W的一个基，若α_{k+1}∈W且α_{k+1}不能由α₁,α₂,...,αₖ线性表示，则α₁,α₂,...,αₖ,α_{k+1}（）A.一定线性无关B.一定线性相关C.可能线性无关，也可能线性相关D.无法判断是否线性相关5.设A为n阶实对称矩阵，且A²=A，则下列命题中正确的是（）A.A的特征值只能为0或1B.A的特征值只能为1C.A的特征值只能为0D.A的特征值可以为任意实数6.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，若r(A)=r(AB)，则下列命题中正确的是（）A.r(A)=r(B)B.A与B等价C.A与B相似D.A与B合同7.设V为实数域R上的四维线性空间，W为V的一个三维子空间，B={β₁,β₂,β₃}为W的一个基，α₁,α₂,α₃,α₄为V的一个基，且α₁,α₂,α₃线性无关，α₄可以由α₁,α₂,α₃线性表示，则α₁,α₂,α₃,α₄在基B下的坐标为（）A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)B.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0)C.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,0)D.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)8.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，若AB=0，则下列命题中正确的是（）A.r(A)+r(B)=nB.A或B的秩小于nC.A和B中至少有一个秩为0D.A和B中至少有一个可逆9.设A为n阶矩阵，且A²=A，则下列命题中正确的是（）A.A的特征值只能为0或1B.A的特征值只能为1C.A的特征值只能为0D.A的特征值可以为任意实数10.设V为实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}为V的一个基，α=β₁+β₂+β₃，则α在基B下的坐标为（）A.(1,1,1)B.(1,0,0)C.(0,1,0)D.(0,0,1)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|3A|的值为________。2.设V为实数域R上的四维线性空间，W为V的一个三维子空间，B={β₁,β₂,β₃}为W的一个基，α₁,α₂,α₃,α₄为V的一个基，且α₁,α₂,α₃线性无关，α₄可以由α₁,α₂,α₃线性表示，则α₁,α₂,α₃,α₄的秩为________。3.设A为n阶矩阵，且A²=A，则A的特征值只能是________。4.设V为实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}为V的一个基，α=2β₁-β₂+β₃，则α在基B下的坐标为________。5.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，若AB=0，则r(A)+r(B)________n。6.设W为线性空间V的一个子空间，α₁,α₂,...,αₖ为W的一个基，若α_{k+1}∈W且α_{k+1}不能由α₁,α₂,...,αₖ线性表示，则α₁,α₂,...,αₖ,α_{k+1}的秩为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）设A为三阶矩阵，且A²=A，证明A的特征值只能为0或1。2.（10分）设V为实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}为V的一个基，α=β₁+β₂+β₃，β=β₁-β₂+β₃，γ=β₁+2β₂-β₃，求α,β,γ在基B下的坐标。3.（10分）设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，若AB=0，证明r(A)+r(B)≤n。4.（10分）设W为线性空间V的一个子空间，α₁,α₂,...,αₖ为W的一个基，若α_{k+1}∈W且α_{k+1}不能由α₁,α₂,...,αₖ线性表示，证明α₁,α₂,...,αₖ,α_{k+1}线性无关。5.（15分）设A为三阶矩阵，且A²=A，B为三阶矩阵，且B²=B，若AB=0，证明A和B中至少有一个可逆。6.（15分）设V为实数域R上的四维线性空间，W为V的一个三维子空间，B={β₁,β₂,β₃}为W的一个基，α₁,α₂,α₃,α₄为V的一个基，且α₁,α₂,α₃线性无关，α₄可以由α₁,α₂,α₃线性表示，求α₁,α₂,α₃,α₄在基B下的坐标。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：若存在非零向量x使得Ax=0，则A的行列式|A|=0，故A的秩r(A)<n，且A存在特征值0。但A的任意一个子式不一定不等于0，例如A为如下矩阵：A=⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦此时|A|=0，但A的一个二阶子式不为0。2.A解析：α=2β₁-β₂+β₃，故α在基B下的坐标为(2,-1,1)。3.C解析：(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹，故C错误。4.A解析：α_{k+1}∈W且α_{k+1}不能由α₁,α₂,...,αₖ线性表示，说明α_{k+1}不在W的子空间span{α₁,α₂,...,αₖ}中，故α₁,α₂,...,αₖ,α_{k+1}线性无关。5.A解析：A为实对称矩阵，且A²=A，故A的特征值只能为0或1。6.B解析：r(A)=r(AB)说明A与B等价，即存在可逆矩阵P和Q使得AP=QB。7.A解析：α₁,α₂,α₃线性无关，α₄可以由α₁,α₂,α₃线性表示，故α₁,α₂,α₃,α₄的秩为3。在基B下，α₁,α₂,α₃的坐标为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，α₄的坐标为(0,0,0)。8.B解析：AB=0，则r(A)+r(B)≤n。若A或B的秩小于n，则r(A)+r(B)≤n成立。9.A解析：同第5题解析。10.A解析：α=β₁+β₂+β₃，故α在基B下的坐标为(1,1,1)。二、填空题1.18解析：|3A|=3ⁿ|A|=3³|A|=18。2.3解析：α₁,α₂,α₃线性无关，α₄可以由α₁,α₂,α₃线性表示，故α₁,α₂,α₃,α₄的秩为3。3.0或1解析：同第5题解析。4.(2,-1,1)解析：同第2题解析。5.≤解析：同第8题解析。6.k+1解析：同第4题解析。三、解答题1.证明：设λ为A的特征值，α为A的特征向量，即Aα=λα。则A²α=A(λα)=λAα=λ²α。又A²=A，故λ²α=λα，即(λ²-λ)α=0。由于α≠0，故λ²-λ=0，即λ=0或λ=1。故A的特征值只能为0或1。2.解：α=β₁+β₂+β₃，β=β₁-β₂+β₃，γ=β₁+2β₂-β₃。故α,β,γ在基B下的坐标分别为(1,1,1),(1,-1,1),(1,2,-1)。3.证明：由秩-零化度定理，r(A)+n-r(A)=n，即r(A)+n-r(A,0)=n，其中0为n×1零向量。由AB=0，故r(A)+r(B)≤n。4.证明：假设α₁,α₂,...,αₖ,α_{k+1}线性相关，则存在不全为0的系数c₁,c₂,...,cₖ,c_{k+1}使得c₁α₁+c₂α₂+...+cₖαₖ+c_{k+1}α_{k+1}=0。若c_{k+1}=0，则c₁α₁+c₂α₂+...+cₖαₖ=0，与α₁,α₂,...,αₖ线性无关矛盾。故c_{k+1}≠0，故α_{k+1}可以由α₁,α₂,...,αₖ线性表示，与已知矛盾。故α₁,α₂,...,αₖ,α_{k+1}线性无关。5.证明：若A和B都不可逆，则r(A)<n且r(B)<n，故r(A)+r(B)<2n。但AB=0，故r(A)+r(B)≤n，矛盾。故A和B中至少有一个可逆。6.解：α₁,α₂,α₃线性无关，α₄可以由α₁,α₂,α₃线性表示，设α₄=a₁α₁+a₂α₂+a₃α₃。在基B下，α₁,α₂,α₃的坐标为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，α₄的坐标为(a₁,a₂,a₃)。将α₁,α₂,α₃,