2024考研数学二押题卷｜含答案详解

2024考研数学二押题卷｜含答案详解一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.已知函数$f(x)=\int_0^xe^{t^2}\sint\,dt$，则$f'(x)$在$x=0$处的值为（）。A.$1$B.$0$C.$-1$D.$e$解析：根据微积分基本定理，$f'(x)=e^{x^2}\sinx$。当$x=0$时，$f'(0)=e^0\cdot\sin0=0$。故正确答案为$\textbf{B}$。2.设函数$g(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x^2}=2$，则$\lim_{x\to0}\frac{\sinx\cdotg(x)}{x^3}$等于（）。A.$1$B.$2$C.$4$D.$0$解析：由$\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x^2}=2$可知，$g(x)\sim2x^2$（当$x\to0$）。于是，$$\lim_{x\to0}\frac{\sinx\cdotg(x)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx\cdot2x^2}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2\sinx}{x}=2.$$故正确答案为$\textbf{B}$。3.已知函数$h(x)=x^3-ax^2+bx$在$x=1$处取得极值，且$h'(1)=0$，则$a+b$的值为（）。A.$3$B.$4$C.$5$D.$6$解析：$h'(x)=3x^2-2ax+b$。由$h'(1)=0$得$3-2a+b=0$，即$b=2a-3$。又$h(x)$在$x=1$处取得极值，故$h''(1)=6-2a=0$，解得$a=3$，进而$b=2\cdot3-3=3$。所以$a+b=6$。故正确答案为$\textbf{D}$。4.若函数$\varphi(x)=\frac{a^x-1}{x}$（$a>0$，$a\neq1$）在$x\to0$时极限存在且为$1$，则$a$的值为（）。A.$1$B.$2$C.$e$D.$e^2$解析：由洛必达法则，$$\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{a^x\lna}{1}=\lna.$$若该极限为$1$，则$\lna=1$，即$a=e$。故正确答案为$\textbf{C}$。5.设函数$f(x)=\ln(1+x)-x$，则当$x\to0$时，$f(x)$是$x$的（）。A.高阶无穷小B.同阶无穷小，但不等价C.等价无穷小D.低阶无穷小解析：由泰勒展开，$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，故$f(x)=\ln(1+x)-x=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。因此，$f(x)$是$x$的高阶无穷小。故正确答案为$\textbf{A}$。6.已知函数$y=x^2\lnx$，则$y'$在$x=1$处的值为（）。A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$解析：$y'=2x\lnx+x$。当$x=1$时，$y'=2\cdot1\cdot\ln1+1=1$。故正确答案为$\textbf{B}$。7.设函数$F(x)=\int_0^x(t^2-1)\,dt$，则$F'(x)$等于（）。A.$x^2-1$B.$2x$C.$x^2$D.$0$解析：由微积分基本定理，$F'(x)=x^2-1$。故正确答案为$\textbf{A}$。8.若函数$y=e^x\cosx$的$n$阶导数$y^{(n)}(0)=2^n$，则$n$的值为（）。A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$解析：$y'=e^x(\cosx-\sinx)$，$y''=e^x(-2\sinx)$，$y'''=e^x(-2\cosx+2\sinx)$，$y^{(4)}=e^x(4\sinx)$。计算$y^{(n)}(0)$的值，发现当$n=2$时，$y''(0)=e^0\cdot(-2\cdot0)=0$，不符合题意；当$n=3$时，$y'''(0)=e^0\cdot(-2\cdot1+2\cdot0)=-2$，不符合题意；当$n=4$时，$y^{(4)}(0)=e^0\cdot(4\cdot0)=0$，不符合题意；当$n=5$时，$y^{(5)}(0)=e^0\cdot(4\cdot1)=4$，符合题意。故正确答案为$\textbf{D}$。9.设函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，则$\lim_{x\to0}xf'(x)$等于（）。A.$1$B.$0$C.$-1$D.不存在解析：$f'(x)=\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}$。由洛必达法则，$$\lim_{x\to0}xf'(x)=\lim_{x\to0}\frac{x\cosx-\sinx}{x}=\lim_{x\to0}(\cosx-\frac{\sinx}{x})=1-1=0.$$故正确答案为$\textbf{B}$。10.已知函数$g(x)=\int_1^x\frac{t^2}{1+t^2}\,dt$，则$g'(x)$等于（）。A.$\frac{x^2}{1+x^2}$B.$\frac{1}{1+x^2}$C.$x^2$D.$0$解析：由微积分基本定理，$g'(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$。故正确答案为$\textbf{A}$。二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）1.若函数$f(x)=\frac{1}{x}\ln(1+x)$，则$\lim_{x\to0}f(x)$等于________。参考答案：$1$解析：由洛必达法则，$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.$$故$\lim_{x\to0}f(x)=1$。2.设函数$y=x^2e^x$，则$y''(0)$等于________。参考答案：$2$解析：$y'=2xe^x+x^2e^x$，$y''=2e^x+4xe^x+x^2e^x$。当$x=0$时，$y''(0)=2e^0=2$。3.若函数$h(x)=\int_0^x(t^2-1)\,dt$，则$h(2)$等于________。参考答案：$-\frac{14}{3}$解析：$h(2)=\int_0^2(t^2-1)\,dt=\left[\frac{t^3}{3}-t\right]_0^2=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}$。4.设函数$g(x)=\frac{\sinx}{x}$，则$g'(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处的值为________。参考答案：$-\frac{4}{\pi^2}$解析：$g'(x)=\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}$。当$x=\frac{\pi}{2}$时，$$g'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\frac{\pi}{2}\cdot0-1}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}=-\frac{4}{\pi^2}.$$5.若函数$f(x)=\ln(1+x)-x$，则当$x\to0$时，$f(x)$是$x$的________无穷小。参考答案：二阶解析：由泰勒展开，$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，故$f(x)=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。因此，$f(x)$是$x$的二阶无穷小。6.设函数$y=x^2\lnx$，则$y'$在$x=1$处的值为________。参考答案：$1$解析：$y'=2x\lnx+x$。当$x=1$时，$y'=2\cdot1\cdot\ln1+1=1$。三、解答题（共6小题，共70分）1.（10分）设函数$f(x)=\int_0^xe^{t^2}\sint\,dt$，求$f'(x)$，并计算$f'(0)$。解答：由微积分基本定理，$f'(x)=e^{x^2}\sinx$。当$x=0$时，$f'(0)=e^0\cdot\sin0=0$。评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$f'(0)$正确，$5$分。2.（10分）设函数$g(x)=\frac{x^2}{1+x}$，求$g'(x)$，并计算$g'(1)$。解答：$g'(x)=\frac{2x(1+x)-x^2}{(1+x)^2}=\frac{2x+x^2}{(1+x)^2}=\frac{x(2+x)}{(1+x)^2}$。当$x=1$时，$g'(1)=\frac{1\cdot(2+1)}{(1+1)^2}=\frac{3}{4}$。评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$g'(1)$正确，$5$分。3.（10分）设函数$h(x)=\int_1^x\frac{t^2}{1+t^2}\,dt$，求$h'(x)$，并计算$h'(2)$。解答：由微积分基本定理，$h'(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$。当$x=2$时，$h'(2)=\frac{4}{5}$。评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$h'(2)$正确，$5$分。4.（10分）设函数$y=x^2e^x$，求$y''(x)$，并计算$y''(0)$。解答：$y'=2xe^x+x^2e^x$，$y''=2e^x+4xe^x+x^2e^x$。当$x=0$时，$y''(0)=2e^0=2$。评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$y''(0)$正确，$5$分。5.（10分）设函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，求$f'(x)$，并计算$f'(0)$。解答：$f'(x)=\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}$。由洛必达法则，$$\lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{x\to0}\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx-x\sinx-\cosx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-x\sinx}{2x}=0.$$评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$f'(0)$正确，$5$分。6.（10分）设函数$g(x)=\int_0^x\frac{t^2}{1+t^2}\,dt$，求$g'(x)$，并计算$g'(1)$。解答：由微积分基本定理，$g'(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$。当$x=1$时，$g'(1)=\frac{1}{2}$。评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$g'(1)$正确，$5$分。四、综合应用题（共4小题，共40分）1.（10分）设函数$f(x)=\int_0^xe^{t^2}\sint\,dt$，求$f'(x)$，并计算$f'(0)$。解答：由微积分基本定理，$f'(x)=e^{x^2}\sinx$。当$x=0$时，$f'(0)=e^0\cdot\sin0=0$。评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$f'(0)$正确，$5$分。2.（10分）设函数$g(x)=\frac{x^2}{1+x}$，求$g'(x)$，并计算$g'(1)$。解答：$g'(x)=\frac{2x(1+x)-x^2}{(1+x)^2}=\frac{2x+x^2}{(1+x)^2}=\frac{x(2+x)}{(1+x)^2}$。当$x=1$时，$g'(1)=\frac{1\cdot(2+1)}{(1+1)^2}=\frac{3}{4}$。评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$g'(1)$正确，$5$分。3.（10分）设函数$h(x)=\int_1^x\frac{t^2}{1+t^2}\,dt$，求$h'(x)$，并计算$h'(2)$。解答：由微积分基本定理，$h'(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$。当$x=2$时，$h'(2)=\frac{4}{5}$。评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$h'(2)$正确，$5$分。4.（10分）设函数$y=x^2e^x$，求$y''(x)$，并计算$y''(0)$。解答：$y'=2xe^x+x^2e^x$，$y''=2e^x+4xe^x+x^2e^x$。当$x=0$时，$y''(0)=2e^0=2$。评分标准：-求导公式正确，$5$分；-计算$y''(0)$正确，$5$分。五、标准答案及解析一、单项选择题1.$\textbf{B}$2.$\textbf{B}$3.$\textbf{D}$4.$\textbf{C}$5.$\textbf{A}$