全国统考数学三习题集｜2022考研（命题趋势分析）

全国统考数学三习题集｜2022考研（命题趋势分析）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。）1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^2}=1$，则$f(0)$与$f'(0)$分别为（）A.$0$与$-1$B.$1$与$0$C.$0$与$1$D.$1$与$-1$2.已知函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f(x)$的渐近线个数为（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$3.设函数$g(x)$具有二阶连续导数，且$g(0)=0$，$g'(0)=1$，$g''(0)=-2$，则$\lim_{x\to0}\frac{x^2g(x)-g(x^2)}{x^3}$的值为（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$4.已知函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{xy}+\sin(x-y)=0$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$在$x=0$处的值为（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则方程$f'(x)=0$在$(a,b)$内至少有一个根的充分条件是（）A.$f(x)$在$[a,b]$上单调递增B.$f(x)$在$[a,b]$上单调递减C.$f(x)$在$(a,b)$内存在极值D.$f(x)$在$(a,b)$内存在拐点6.设函数$y=y(x)$由方程组$\begin{cases}x=t^2+1\\y=t^3+t\end{cases}$确定，则$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$的值为（）A.$\frac{3}{4}(t^2+1)$B.$\frac{3}{2}(t^2+1)$C.$\frac{3}{8}(t^2+1)$D.$\frac{3}{16}(t^2+1)$7.已知函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内连续，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=2$，则当$x\to0$时，$f(x)$是$x$的（）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但非等价无穷小D.低阶无穷小8.设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-3xy^2+x^3=0$确定，则曲线$y=y(x)$在点$(1,1)$处的切线斜率为（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$9.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a,b]$上的最大值（）A.在$x=a$处取得B.在$x=b$处取得C.在$(a,b)$内某点取得D.不存在10.已知函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{y}-x^2y=1$确定，则$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$在$x=0$处的值为（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡相应位置。）1.设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}\mathrm{d}t$，则$f'(x)$的值为________。2.设函数$y=y(x)$由方程$\ln(x+y)=x^2+y^2$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$的值为________。3.设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有连续导数，且$f(0)=0$，$f'(0)=1$，则$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-\sinx}{x^3}$的值为________。4.设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-3xy^2+x^3=0$确定，则曲线$y=y(x)$在点$(1,1)$处的法线方程为________。5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得________成立。6.已知函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{xy}+\sin(x-y)=0$确定，且$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$在$x=0$处存在，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x=0}$的值为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.C5.C6.A7.C8.C9.B10.A解析：2.由$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^2}=1$，得$\sinx-f(x)\simx^2$当$x\to0$。于是$f(x)=\sinx-x^2+o(x^2)$。因此$f(0)=\sin0-0^2+o(0^2)=0$。又$f'(x)=\cosx-2x+o(x)$，故$f'(0)=\cos0-2\cdot0+o(0)=1$。答案为C。3.函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的定义域为$(0,+\infty)$。当$x\to0^+$时，$f(x)\to-\infty$；当$x\to+\infty$时，$f(x)\to0$。因此$f(x)$有一条水平渐近线$y=0$。又$\lim_{x\to1}\frac{\lnx}{x}=\ln1=0$，故$x=1$不是垂直渐近线。因此$f(x)$有一条渐近线。答案为B。4.由洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{x^2g(x)-g(x^2)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2xg(x)+x^2g'(x)-2xg'(x^2)}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2g(x)+xg'(x)-2g'(x^2)}{3x}=\lim_{x\to0}\frac{2g'(x)+g'(x)+xg''(x)-4xg''(x^2)}{3}=\frac{2g'(0)+g'(0)+0-0}{3}=1$。答案为C。5.方程两边对$x$求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})+\cos(x-y)(1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=0$。当$x=0$时，$y=0$，代入得$\mathrm{e}^0(y+0\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})+\cos0(1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=0$，即$y+1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$，故$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x=0}=1$。答案为C。6.由罗尔定理，至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。答案为C。7.由参数方程求导公式，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3t^2+1}{2t}$，$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{(6t)(2t)-(3t^2+1)(2)}{(2t)^3}=\frac{12t^2-6t^2-2}{8t^3}=\frac{3}{4}(t^2+1)$。答案为A。8.由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=2$，得$f(x)=2x^2+o(x^2)$。因此$f(x)$与$x^2$同阶但非等价无穷小。答案为C。9.方程两边对$x$求导，得$6y^2y'-3xy'+3x^2=0$。当$x=1$，$y=1$时，$6-3y'+3=0$，故$y'=3$。因此切线斜率为$3$。答案为C。10.由$f'(x)>0$，得$f(x)$在$[a,b]$上单调递增，故最大值在$x=b$处取得。答案为B。11.方程两边对$x$求导，得$\mathrm{e}^yy'-2xy+x^2y'=0$。当$x=0$时，$y=0$，代入得$\mathrm{e}^0y'=0$，故$y'=0$。再对$x$求导，得$\mathrm{e}^y(y')^2+\mathrm{e}^yy''-2y-2xy'+2x^2y'+x^2y''=0$。当$x=0$时，$y=0$，代入得$\mathrm{e}^0(0)^2+\mathrm{e}^0y''-0+0+0+0=0$，故$y''=-1$。答案为A。二、填空题1.$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$。2.方程两边对$x$求导，得$\frac{1}{x+y}(1+y')=2x+2yy'$。解得$y'=-\frac{2x(x+y)}{1-2y(x+y)}$。3.由洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-\sinx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-\cosx}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f''(x)+\sinx}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{f''(x)+\sinx}{6x}=\frac{f''(0)+0}{0}=\frac{1}{6}$。4.方程两边对$x$求导，得$6y^2y'-3xy'+3x^2=0$。当$x=1$，$y=1$时，$6-3y'+3=0$，故$y'=3$。因此法线斜率为$-\frac{1}{3}$。法线方程为$y-1=-\frac{1}{3}(x-1)$，即$x+3y-4=0$。5.根据拉格朗日中值定理，至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$。6.方程两边对$x$求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})+\cos(x-y)(1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=0$。当$x=0$时，$y=0$，代入得$\mathrm{e}^0(y+0\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})+\cos0(1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=0$，即$y+1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$，故$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x=0}=1$。三、解答题1.证明：令$F(x)=xf(x)-\lnx$，则$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导。$F(0)=0$，$F(1)=1\cdotf(1)-\ln1=1$。由罗尔定理，至少存在一点$c\in(0,1)$，使得$F'(c)=0$。而$F'(x)=f(x)+xf'(x)-\frac{1}{x}$，故$f(c)+cf'(c)=1$。答案为证毕。2.解：$\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x=\int\frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x-\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x$。第一项为$\arctanx$。第二项令$x=\tant$，则$\mathrm{d}x=\sec^2t\mathrm{d}t$，$\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x=\int\frac{\sec^2t}{\sec^4t}\mathrm{d}t=\int\cos^2t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int(1+\cos2t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin2t=\frac{1}{2}\arctanx+\frac{x}{2(1+x^2)}$。因此原式$=\arctanx-\left(\frac{1}{2}\arctanx+\frac{x}{2(1+x^2)}\right)=\frac{1}{2}\arctanx-\frac{x}{2(1+x^2)}+C$。3.解：方程两边对$x$求导，得$\frac{1}{x+y}(1+y')=2x+2yy'$。解得$y'=-\frac{2x(x+y)}{1-2y(x+y)}$。再对$x$求导