2022考研西安交通大学信号与系统期中试卷（附解析版）

2022考研西安交通大学信号与系统期中试卷（附解析版）一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.已知信号$f(t)=\cos(2\pit+\frac{\pi}{4})$，其傅里叶变换$F(\omega)$在$\omega=\pi$处的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.12.若信号$x(t)$的拉普拉斯变换为$X(s)=\frac{1}{s(s+1)}$，则$x(t)$的时域表达式为（）A.$1-e^{-t}$B.$e^{-t}-1$C.$\frac{1}{2}(1-e^{-t})$D.$\frac{1}{2}(e^{-t}-1)$3.已知离散时间信号$x[n]=\{1,2,3,4\}$，其Z变换$X(z)$的收敛域为$|z|>2$，则$x[n]$的阶跃响应$h[n]$的Z变换$H(z)$为（）A.$\frac{1}{z-1}$B.$\frac{z}{z-1}$C.$\frac{1}{z+1}$D.$\frac{z}{z+1}$4.已知连续时间系统的微分方程为$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)$，该系统的特征方程为（）A.$s^2+3s+2=0$B.$s^2-3s+2=0$C.$s^2+2s+3=0$D.$s^2-2s+3=0$5.若信号$f(t)$的傅里叶变换为$F(\omega)$，则$f(2t)$的傅里叶变换为（）A.$\frac{1}{2}F(\frac{\omega}{2})$B.$2F(2\omega)$C.$\frac{1}{2}F(\frac{\omega}{2})$D.$F(2\omega)$6.已知离散时间系统的差分方程为$y[n]-\frac{3}{4}y[n-1]+\frac{1}{8}y[n-2]=f[n]$，该系统的系统函数$H(z)$为（）A.$\frac{1}{1-\frac{3}{4}z^{-1}+\frac{1}{8}z^{-2}}$B.$\frac{1}{1+\frac{3}{4}z^{-1}-\frac{1}{8}z^{-2}}$C.$\frac{1}{1-\frac{3}{4}z^{-1}-\frac{1}{8}z^{-2}}$D.$\frac{1}{1+\frac{3}{4}z^{-1}+\frac{1}{8}z^{-2}}$7.已知信号$f(t)=u(t)\cdot\sin(t)$，其中$u(t)$为阶跃函数，则$f(t)$的傅里叶变换为（）A.$\pi[\delta(\omega+1)-\delta(\omega-1)]$B.$\frac{\pi}{2i}[\delta(\omega+1)-\delta(\omega-1)]$C.$j\sin(\omega)$D.$j\cos(\omega)$8.已知信号$x[n]=\{1,-1,2,-2\}$，其DFT（离散傅里叶变换）的频域表达式为$X[k]$，则$X[0]$的值为（）A.2B.0C.1D.-19.已知连续时间系统的传递函数为$H(s)=\frac{s+1}{s^2+2s+2}$，该系统的单位冲激响应$h(t)$为（）A.$e^{-t}\cos(t)$B.$e^{-t}\sin(t)$C.$e^{-t}(\cos(t)+\sin(t))$D.$e^{-t}(\cos(t)-\sin(t))$10.已知信号$f(t)$的带宽为$B$Hz，根据奈奎斯特采样定理，其最低采样频率为（）A.$B$HzB.$2B$HzC.$B/2$HzD.$4B$Hz二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.若信号$f(t)$的傅里叶变换为$F(\omega)$，则$f(t)\cos(\omega_0t)$的傅里叶变换为__________。2.已知离散时间系统的差分方程为$y[n]-5y[n-1]+6y[n-2]=f[n]$，该系统的特征根为__________。3.已知信号$f(t)=e^{-2t}u(t)$，其拉普拉斯变换$F(s)$为__________。4.已知信号$x[n]=\{1,2,3,4\}$，其DFT（离散傅里叶变换）的频域表达式为$X[k]$，则$X[1]$的值为__________。5.已知连续时间系统的传递函数为$H(s)=\frac{s}{s^2+s+1}$，该系统的单位阶跃响应$g(t)$为__________。6.已知信号$f(t)$的带宽为$100$Hz，根据奈奎斯特采样定理，其最低采样频率为__________Hz。三、解答题（共6题，共70分）1.（10分）已知信号$f(t)=\sin(2\pit)+\cos(4\pit)$，求其傅里叶变换$F(\omega)$。2.（10分）已知离散时间系统的差分方程为$y[n]-3y[n-1]+2y[n-2]=f[n]$，其中$f[n]=u[n]$，求系统的零态响应$y[n]$。3.（10分）已知信号$f(t)=e^{-at}u(t)$，求其拉普拉斯变换$F(s)$，并注明收敛域。4.（10分）已知离散时间系统的系统函数为$H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}$，求系统的单位阶跃响应$h[n]$。5.（10分）已知信号$f(t)=u(t)\cdote^{-t}\sin(t)$，求其傅里叶变换$F(\omega)$。6.（20分）已知连续时间系统的微分方程为$y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f(t)$，其中$f(t)=e^{-2t}u(t)$，求系统的零输入响应$y_{zi}(t)$和零态响应$y_{zs}(t)$。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：$\cos(2\pit+\frac{\pi}{4})$的傅里叶变换为$\frac{1}{2}[\delta(\omega-2\pi)+\delta(\omega+2\pi)]$，在$\omega=\pi$处为0。2.A解析：$X(s)=\frac{1}{s(s+1)}$的部分分式展开为$X(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}$，对应时域信号$1-e^{-t}$。3.B解析：$X(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}$，收敛域$|z|>0.5$，阶跃响应$h[n]=\sum_{k=0}^{\infty}0.5^k=\frac{z}{z-0.5}$，单位阶跃响应为$\frac{z}{z-1}$。4.A解析：特征方程为$s^2+3s+2=0$，对应微分方程$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)$。5.A解析：$f(2t)$的傅里叶变换为$\frac{1}{2}F(\frac{\omega}{2})$，根据时展频缩性质。6.A解析：差分方程的特征方程为$r^2-\frac{3}{4}r+\frac{1}{8}=0$，解得$r=\frac{1}{2},\frac{1}{4}$，系统函数$H(z)=\frac{1}{1-\frac{3}{4}z^{-1}+\frac{1}{8}z^{-2}}$。7.B解析：$f(t)=u(t)\sin(t)$的傅里叶变换为$\frac{\pi}{2i}[\delta(\omega+1)-\delta(\omega-1)]$，根据时域乘积性质。8.A解析：$x[n]=\{1,-1,2,-2\}$的DFT$X[k]=\sum_{n=0}^{3}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{4}nk}$，计算得$X[0]=2$。9.A解析：$H(s)=\frac{s+1}{s^2+2s+2}$，极点为$s=-1\pmj1$，单位冲激响应$h(t)=e^{-t}\cos(t)$。10.B解析：根据奈奎斯特采样定理，最低采样频率为$2B$Hz。二、填空题1.$F(\omega-\omega_0)+F(\omega+\omega_0)$解析：根据频移性质，$f(t)\cos(\omega_0t)$的傅里叶变换为$F(\omega-\omega_0)+F(\omega+\omega_0)$。2.$r_1=2,r_2=3$解析：差分方程的特征方程为$r^2-5r+6=0$，解得$r=2,3$。3.$\frac{1}{s+2}$解析：$f(t)=e^{-2t}u(t)$的拉普拉斯变换为$\frac{1}{s+2}$，收敛域$\text{Re}(s)>-2$。4.10解析：$x[n]=\{1,2,3,4\}$的DFT$X[k]=\sum_{n=0}^{3}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{4}nk}$，计算得$X[1]=10$。5.$1-e^{-t}+te^{-t}$解析：$H(s)=\frac{s}{s^2+s+1}$，单位阶跃响应$g(t)=1-e^{-t}+te^{-t}$。6.200解析：根据奈奎斯特采样定理，最低采样频率为$2B=200$Hz。三、解答题1.解：$f(t)=\sin(2\pit)+\cos(4\pit)$的傅里叶变换为：$F(\omega)=\frac{\pi}{i}[\delta(\omega-2\pi)-\delta(\omega+2\pi)]+\frac{\pi}{2}[\delta(\omega-4\pi)+\delta(\omega+4\pi)]$。2.解：差分方程的特征方程为$r^2-3r+2=0$，解得$r=1,2$，齐次解为$y_h[n]=C_1+C_2(2^n)$。非齐次解为$y_p[n]=A$，代入$f[n]=u[n]$得$A=1$。零态响应$y[n]=C_1+C_2(2^n)+1$，初始条件$y[-1]=0,y[-2]=0$，解得$C_1=-2,C_2=1$。所以$y[n]=-2+(2^n)+1=2^n-1$。3.解：$f(t)=e^{-at}u(t)$的拉普拉斯变换为：$F(s)=\int_0^{\infty}e^{-at}e^{-st}dt=\frac{1}{s+a}$，收敛域$\text{Re}(s)>-a$。4.解：系统函数$H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}$，单位阶跃响应$h[n]=\sum_{k=0}^{\infty}0.5^k=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}$，对应时域信号$h[n]=0.5^n$。5.解：$f(t)=u(t)e^{-t}\sin(t)$的傅里叶变换为：$F(\omega)=\frac{1}{(s+a)^2+b^2}=\frac{1}{(s+1)^2+1}$，对应时域信号$e^{-t}\sin(t)$。6.解：零输入响应$y_{zi}(t)$：特征方程$r^2+4r+4=0$，解得$r=-2$，$y_{zi}(t)=(C_1+C_2t)e^{-2t