低频强电磁场仿真中时域积分方程方法的深度剖析与前沿应用

低频强电磁场仿真中时域积分方程方法

的深度剖析与前沿应用

一、引言

1.1研究背景与意义

在现代科技飞速发展的时代，电气化技术已广泛渗透到社会的各个领域，从日常的电子设备到

大型的电力系统，其重要性不言而喻。随着电气化技术的不断进步，电力设备的频率逐渐升

高，这使得电磁场的频率范围变得更广，尤其是低频强电磁场的研究与仿真，成为了电磁学领

域的关键热点。

在电力设备的设计与运行过程中，电磁场的分布和强度对设备的性能、安全性以及可靠性有着

至关重要的影响。例如，在变压器的设计中，准确掌握低频强电磁场的分布情况，能够优化绕

组的布局，降低能量损耗，提高变压器的效率；在高压输电线路的规划中，了解电磁场对周围

环境的影响，可以有效减少电磁辐射对人体健康和通信系统的干扰。因此，低频强电磁场的仿

真模拟为电力设备的设计、评估、优化提供了精确的参考数据，同时也为电力设备的故障检测

和维护提供了重要的帮助，具有极高的工程应用价值。

时域积分方程方法作为求解电磁场问题的一种重要数值方法，通过将麦克斯韦方程组转化为积

分形式，并在时域内进行离散化求解，能够得到电磁波的时变分布。该方法具有独特的优势，

在处理复杂的电磁场问题时，它能够有效处理不规则形状和复杂介质的电磁场仿真，直接求解

电磁场的时域响应，对于脉冲信号和瞬态响应的计算表现出显著的优势。此外，通过引入吸收

边界条件，时域积分方程方法还能有效地避免数值反射和数值色散的问题，为低频强电磁场的

仿真提供了一种强大的工具,

对时域积分方程方法在低频滉电磁场仿真中的深入研究与应用，不仅能够提高电力设备的设计

水平和运行可靠性，推动电气化技术的进一步发展，还能为电磁学领域的理论研究提供新的思

路和方法，具有重要的理论研究意义和实际应用价值。

1.2国内外研究现状

在低频强电磁场仿真领域，国内外学者开展了大量研究工作，取得了一系列成果。国外方面，

美国、欧洲等发达国家和地区在该领域起步较早，拥有先进的研究设备和雄厚的科研实力。例

如，美国的一些科研机构和高校，如麻省理工学院（MIT）、斯坦福大学等，在电力设备的电

磁场仿真研究中处于领先地位。他们利用先进的数值计算方法和高性能计算技术，对变压器、

电机等电力设备的低频强电磁场进行了深入研究，为设备的优化设计和性能提升提供了重要的

理论支持。

在时域积分方程方法的研究上，国外学者也取得了诸多成果。时域积分方程方法通过将麦克斯

韦方程组转化为积分形式，并在时域内进行离散化求解，能够有效处理复杂形状和介质的电磁

场问题，尤其在瞬态电磁场分析中具有独特优势。一些研究通过引入高阶基函数和自适应网格

剖分技术，提高了时域积分方程方法的计算精度和效率。同时，为了解决时域积分方程方法

在处理大规模问题时的计算量和存储量问题，国外学者提出了多种快速算法，如快速多极子方

法（FMM）、多层快速多极子算法（MLFMA）等，这些算法能够显著降低计算复杂度，使得

时域积分方程方法在实际工程中的应用更加广泛。

国内在低频强电磁场仿真及时域积分方程方法的研究方面也取得了长足的进步。众多高校和科

研机构，如清华大学、西安交通大学、中国科学院等，在该领域开展了深入研究。研究内容涵

盖了电力设备的电磁场特性分析、时域积分方程方法的理论研究与算法改进等多个方面。一些

学者针对时域积分方程方法中的数值稳定性问题，提出了基于数值滤波和时间步长自适应调整

的改进算法，有效提高了计算结果的稳定性。此外，国内学者还将时域积分方程方法与其他

数值方法相结合，如有限元法（FEM）、边界元法（BEM）等，充分发挥各种方法的优势，

提高了对复杂电磁场问题的求解能力。

尽管国内外在低频强电磁场仿真及时域积分方程方法的研究上取得了显著进展，但仍存在一些

不足和空白。在低频强电磁场的建模方面，对于复杂结构和多物理场耦合的情况，现有的模型

还不够完善，难以准确描述电磁场的分布和变化规律。在时域积分方程方法的计算效率和精度

方面，虽然已经提出了一些快速算法和改进措施，但在处理大规模、高精度的仿真问题时，仍

面临计算资源消耗大、计算时间长等挑战。此外，对于时域积分方程方法在实际工程应用中

的验证和优化，还需要进一步开展大量的实验研究，以提高仿真结果的可靠性和实用性。

1.3研究内容与方法

本研究聚焦于低频强电磁场仿真中的时域积分方程方法，致力于深入剖析该方法的原理、算法

及其在实际工程中的应用，具体研究内容如下：

•时域积分方程方法原理研究：系统地阐述时域积分方程方法的基本原理，深入分析其将麦

克斯韦方程组转化为积分形式的过程，以及在时域内进行离散化求解的机制。研究矢量磁

位与标量电位在时域积分方程中的作用，以及它们与电场、磁场之间的关系，为后续的算

法研究和应用分析奠定坚实的理论基础。

­时域积分方程算法研究：着重研究时域积分方程的时间步进算法（MOT）,针对该算法在

后期可能出现的稳定性问题，如数值振荡、误差积累等，进行深入分析并提出有效的改进

措施。引入高阶基函数和自适应网格剖分技术，提高算法的计算精度和效率。探索快速算

法，如快速多极子方法（FMM）、多层快速多极子算法（MLFMA）等，以降低计算复杂

度，解决大规模问题的计算量和存储量难题。

♦低频强电磁场仿真应用研究：将时域积分方程方法应月于低频强电磁场的仿真中，对电力

设备，如变压器、电机等进行电磁场分布和强度的仿真分析。通过仿真结果，评估设备的

性能、安全性和可靠性，为设备的优化设计提供有价值的参考依据。研究低频强电磁场对

周围环境的影响，如电磁辐射对人体健康和通信系统的干扰，提出相应的防护措施和解决

方案。

•与传统方法对比分析：将时域积分方程方法与传统的电磁场仿真方法，如有限元法

(FEM)、边界元法(BEM)等进行对比分析。从计算精度、计算效率、适用范围等多个

角度，详细探讨各种方法的优缺点，明确时域积分方程方法在低须强电磁场仿真中的优势

和适用场景，为工程实际选择合适的仿真方法提供科学的指导。

在研究方法上，本研究将综合运用多种手段，以确保研究的全面性和深入性：

•文献研究法：广泛收集和整理国内外关于低频强电磁场仿真及时域积分方程方法的相关文

献资料，全面了解该领域的研究现状、发展趋势以及存在的问题。通过对文献的深入分析

和总结，吸收前人的研究成果,为本文的研究提供坚实的理论基础和丰富的研究思路。

・软件仿真法：利用专业的电磁仿真软件，如Matlab、Comsol等，构建低频强电磁场的仿

真模型，运用时域积分方程方法进行数值计算和仿真分析。通过软件仿真，可以直观地观

察电磁场的分布和变化情况，验证理论研究的正确性，同时也能够快速地对不同的模型和

参数进行测试和优化，提高研究效率。

•案例分析法：选取实际的电力设备或电磁环境作为案例，运用时域积分方程方法进行仿真

分析，并将仿真结果与实际测量数据或实验结果进行对比验证。通过案例分析，不仅可以

进一步验证时域积分方程方法的有效性和可靠性，还能够深入了解该方法在实际应用中可

能遇到的问题和挑战，为方法的改进和完善提供实际依据。

二、时域积分方程方法的理论基础

2.1时域积分方程的推导

2.1.1矢量磁位与标量电位

在电磁学中，矢量磁位(\vec{A})和标量电位(\varphi)是两个极为重要的物理量，它们在

描述电磁场的特性和行为方面发挥着关键作用。矢量磁位是一个矢量场，其定义为：通过某一

曲面的磁通量等于矢量磁位沿该曲面边界的线积分，即\varPhi=\oint_{l}\vec{A}\cdotd'vec{l},

其中\varPhi表示磁通量，I为曲面的边界。矢量磁位的引入，使得磁场的计算变得更加简

便，通过\vec{B}=\nabla\times\vec{A},即可由矢量磁位求得磁感应强度\vec{B},有效简化了

复杂的矢量运算。

标量电位则是一个标量场，在静电场中，由于电场强度\vec{E}的旋度处处为0,即

\nabla\times\vec{E}=0,因此可以定义标量电位\varphi,使得\vec{E}=-\nabla\varphi。在恒定

磁场中，虽然有源区不满足这一条件，但在电流密度\vec{J}=0的无源区，磁感应强度\vec{B}

也可以用标量场的梯度表示，即\vec{B}=-\nabla\varPsi,其中WarPsi称为标量磁位，单位为

A。然而，与静电场中的标量电位不同，恒定磁场中的标量磁位仅适用于无源区。

在时变电磁场中，矢量磁位和标量电位与电场强度\vec{E}和磁感应强度\vec{B}的关系遵循以

下方程：

\vec{B}=\nabla\times\vec{A}(1)

\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{\partialt}(2)

式(1)表明，磁感应强度\vec{B}可以通过对矢量磁位\vec{A}求旋度得到；式(2)则体现了

电场强度\vec{E}由标量电位Warphi的负梯度和矢量磁位Wec{A}对时间的偏导数共同决定。这

两个方程清晰地揭示了矢量磁位和标量电位与电磁场之间的紧密联系，为深入理解电磁场的性

质和行为提供了重要的理论依据。

2.1.2电磁场关于电流的表达式

根据麦克斯韦方程组，在无源区域中，电磁场与电流之间存在着密切的关系，其数学表达式

为：

\nabla\times\vec{H}=\vec{J}-i-\frac{\partial\vec{D}}{\partialt}(3)

\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partialt)(4)

\nabla\cdot\vec{D}=\rho(5)

\nabla\cdot\vec{B}=0(6)

其中，\vec{H}为磁场强度，Wec{D}为电位移矢量，\vec{J}为电流密度，\rh。为电荷密度。

式(3)描述了磁场强度的旋度与电流密度和电位移矢量对时间的偏导数之和相等，这意味着

电流和时变的电场都能够产生磁场；式(4)表明电场强度的旋度与磁感应强度对时间的偏导

数的负值相等，即变化的磁场会产生电场o式(5)和式(6)分别表示电位移矢量的散度等

于电荷密度以及磁感应强度的散度为0,体现了电荷与电场、磁场的源特性。

在均匀各向同性线性介质中，\vec{D}=\epsilon\vec{E},\vec{B}=\mu\vec{H},其中\epsilon为

介电常数，\mu为磁导率。将其代入上述麦克斯韦方程组，并结合矢量磁位和标量电位的定

义式(1)和式(2),经过一系列的数学推导，可以得到电磁场关于电流的表达式：

\vec{E}(\vec{r},t)=\frac{1}{4\pi\epsilon}\int_{V}\left[\frac{\vec{J}(\vec{r}',t-

\frac{R}{c})}{R}+\frac{\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{J}(\vec{r}',t-

\frac{R}{c})}{R}+\frac{\vec{R}(\vec{R}\cdot\vec{J}(\vec{r}：t-\frac{R}{c}))}{cRA{3}}\right]dV

⑺

\vec{H}(\vec{r},t)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\vec{J}(\vec{r}',t-\frac{R}{c})}{R}dV'

(8)

其中,Wec{r}为场点位置矢量,\vec{r}'为源点位置矢量，R=|\vec{r}-\vec{r},|.

c=\frac⑴{\sqrt{\mu\epsilon}}为电磁波在介质中的传播速度。

式(7)和式(8)直观地展示了电磁场与电流之间的定量关系，即空间中某点的电磁场强度

是由空间中所有电流源在该点产生的贡献叠加而成，并且考虑了电流的变化以及电磁波传播的

时间延迟效应。这些表达式为研究电磁场的产生和传播提供了重要的数学工具，在电磁学理

论和工程应用中具有广泛的应用。

2.1.3两种形式的时域积分方程

时域积分方程主要包括时域电场积分方程(TD-EFIE)和时域磁场积分方程(TD-MFIE),它

们是基于麦克斯韦方程组推导而来的，在求解电磁场问题中发挥着关键作用。

时域电场积分方程(TD-EFIE):

对于理想导体表面，根据电场的边界条件，导体表面的切向电场为0。基于此，利用矢量磁位

和标量电位与电场强度的关系，经过一系列复杂的数学推导，可得到时域电场积分方程。

首先，^\vec{E}="\nabla\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{\partialt}代入导体表面切向电场为0的

条件中，通过对空间和时间的积分运算，以及利用格林法数的性质，最终得到时域电场积分方

程的表达式为：

\hat{n}\times\vec{E}A{i}(\vec{r},t)=\hat{n}\times\left[\frac{\partial}{\partial

t}\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}',t-

t')\cdot\vec{J}(\vec{r}',f)dS4\nabla\int_{S}G(\vec{r},\vec{r}\t-f)\rho(\v6c{r}*t')dS'\right](9)

其中，\hat{n}为导体表面的单位法向量，\vec{E}A{i}(\vec{r},t)为入射电场，

\vec{G}(\vec{r},\vec{r}',t-1')为空间域的格林函数，G(\vec{r},Wec{r},,t-f)为标量格林函数，S

为导体表面,\vec{J}(\vec{r}',t')为导体表面的电流密度,\rho(\vec{面/为电荷密度。

该方程的物理意义在于，它描述了导体表面上的感应电流和电荷分布与入射电场之间的关系。

通过求解这个积分方程，可以得到导体表面的电流密度和电荷密度，进而计算出导体周围的电

磁场分布。

时域磁场积分方程(TD-MFIE):

同样基于麦克斯韦方程组和磁场的边界条件，对于理想导体表面，磁场强度的切向分量满足一

定的关系。经过类似的推导过程，可得到时域磁场积分方程。

利用\vec{B}=\nabla\times\vec{A}以及磁场的边界条件，通过积分变换和格林函数的运用，得

到时域磁场积分方程的表达式为：

\hat{n}\times\vec{H}A{i}(\vec{r},t)=\hat{n}\times\nabla\times\int_{S}\vec{G}(\vec{r},Wec{r}',t-

t')\cdot\vec{J}(\vec{r}',t')dS'(10)

其中各符号含义与式(9)类似。

时域磁场积分方程反映了导体表面的感应电流与入射磁场之间的联系。通过求解该方程，可以

获得导体表面的电流分布，从而进一步分析导体周围的磁场特性。

时域电场积分方程和时域磁场积分方程从不同角度描述了电磁场与导体表面电流、电荷之间的

关系，它们是时域积分方程方法求解电磁场问题的核心方程，为后续的数值计算和分析提供了

重要的理论基础。在实际应用中，根据具体问题的特点和需求，选择合适的时域积分方程进

行求解，能够有效地解决各种复杂的电磁场问题。

2.2表面电流的空时离散

2.2.1空间基函数

在时域积分方程方法中，空间基函数的选择对计算结果的准确性和计算效率有着至关重要的影

响。RWG(Rao-Wilton-Glisson)基函数是一种广泛应用于计算电磁学领域的空间基函数，

尤其在处理导体表面电流分布问题时表现出显著的优势。

RWG基函数定义在由三角形面片组成的网格上，每个基函数对应于两个相邻三角形面片的公

共边。其数学表达式为：

\vec{f}_{n}(\vec{r})=\begin{cases}\frac{l_{n}}{2A_{n}A{+}}\vec{\rho}_{n}A{+}(\vec{r}),&

\vec{r}\lnT_{n}A{+}\\-\frac{l_{n}}{2A_{n}A{-}}\vec{\rho}_{n}A{-}(\vec{r}),&\vec{r}\lnTJn}A{-}\\

0,&\text{其他}\end{cases}(11)

其中，L{n}为两个相邻三角形面片T_{nF{+}和T_{nF{-}的公共边长度，A_{n}A{+}和A_{n「{-}

分别为三角形面片T_{nr{+}和T_{n}A{・}的面积,\vec{\rho}_{n}A{+}(\vec{r})^

\vec{\rho}_{n}A{-}(\vec{r})是从公共边中点指向三角形面片内点的矢量。

RWG基函数具有以下特点：

•良好的矢量特性：能够准确地描述导体表面电流的矢量分布，其方向与三角形面片的公共

边方向相关，这使得它在处理电磁问题时能够更好地反映电流的物理特性。

•满足电流连续性条件：从电流连续性方程的角度来看，RWG基函数的散度特性使得在相

邻三角形面片上的电荷量等值反号，保证了整个导体表面电流的连续性，这对于准确模拟

电磁场的分布至关重要。

•灵活性与适应性：适用于各种复杂形状的导体表面，通过对导体表面进行三角形网格剖

分，可以方便地应用RWG基函数进行数值计算。无论是简单的几何形状还是复杂的工程

结构，都能通过合理的网格划分和基函数选择来实现精确的建模。

由于这些特点，RWG基函数在低频强电磁场仿真中得到了广泛的应用。例如，在变压器绕组

的电磁场分析中，绕组的形状通常较为复杂，使用RWG基函数可以对绕组表面的电流分布进

行精确的模拟，从而准确计算出绕组周围的电磁场分布，为变压器的优化设计提供重要的依

据。在电机的电磁性能分析中，RWG基函数也能够有效地处理电机定子和转子表面的复杂电

流分布，帮助工程师深入了解电机的电磁特性，提高电机的设计性能。

2.2.2时间基函数

时间基函数在时域积分方程方法中起着关键作用，它用于对时间变量进行离散化，从而将连续

的时间域问题转化为离散的时间步长问题进行求解。不同的时间基函数对计算结果的精度、稳

定性和计算效率有着不同程度的影响。

三角型时间基函数是一种常用的时间基函数，其定义为：

\phi_{n}(t)=\begin{cases}\frac{t-t_{n-1}}{\Deltat},&t_{n-1}\leqt\ltt_{n}\\\frac{t_{n+1}-

t}{\Deltat},&t_{n}\leqt\ltt_(n+1}\\0,&\text{Mffe}\end{cases)(12)

其中，t」n}为离散的时间点，'Deltat=t」n+1}为时间步长。

三角型时间基函数具有以下优点：

•线性插值特性：能够对时间变量进行线性插值，在每个时间步长内，通过线性变化来近似

描述物理量随时间的变化，这种简单而有效的方式在许多情况下能够提供较为准确的结

果。

•计算简便：其数学形式相对简单，在数值计算过程中，涉及到的积分和运算较为容易实

现，这有助于提高计算效率，降低计算成本。

然而，三角型时间基函数也存在一定的局限性。由于其线性插值的特性，在描述一些快速变化

的物理现象时，可能无法准确捕捉到物理量的瞬态变化细节，从而导致计算结果的精度受到一

定影响。例如，在分析脉冲信号激励下的电磁场响应时，如果脉冲信号的上升沿和下降沿非

常陡峭，三角型时间基函数可能无法精确地模拟电磁场在这些瞬间的快速变化，使得计算结果

与实际情况存在一定偏差。

在实际应用中，时间基函数的选择需要综合考虑多种因素。对于一些变化较为缓慢、对计算精

度要求不是特别高的问题，三角型时间基函数通常能够满足需求，并且由于其计算简便的特

点，可以大大提高计算效率。而对于那些变化快速、对精度要求苛刻的问题，则需要选择更

复杂、精度更高的时间基函数，如高阶多项式时间基函数或自适应时间基函数等。这些高阶

或自适应时间基函数能够更好地拟合物理量的复杂变化，提高计算精度，但相应地，它们的计

算复杂度也会增加，对计算资源的要求更高。

2.3时间步进法的构造

时间步进法(MethodofMomentsinTime,MOT),也称为时域矩量法，是一种求解时域积

分方程的常用数值方法，在处理电磁散射和辐射等问题时具有独特的优势.其基本原理基于

对时间和空间的离散化，将连续的电磁场问题转化为离散的时间步长和空间单元上的数值求

解。

在时间步进法中，首先对时间进行离散化处理，将连续的时间轴划分为一系列离散的时间点

t_n,其中n=0,1,2,\cdots,时间步长为'Deltat=t_{n+1}-t_{n}。在每个时间步长内，通

过对空间进行离散化，将求解区域划分为多个小的空间单元，如三角形面片或四面体单元

等。对于每个空间单元，选择合适的空间基函数来近似表示该单元上的物理量，如电流密

度、电场强度等。常见的空间基函数有RWG基函数，它能够准确地描述导体表面电流的分

布特性。

以时域电场积分方程(TD-EFIE)为例，时间步进法的构造过程如下：将导体表面的电流密

度

将导体表面的电流密度\vec{J}(\vec{r},t)用空间基函数\vec{f}_n(\vec{r})和时间基函数\phi_m⑴

展开，gp\vec{J}(\vec{r},t)\approx\sum_{n}\sum_{m}l_{nm}\vec{f}_n{\vec{r})\phi_m(t),其中

L{nm}为展开系数。

将上述展开式代入时域电场积分方程中，得到关于展开系数L{nm}的线性方程组。在每个时

间步长t_n,通过求解该线性方程组，可以得到当前时间步长下的电流密度分布。然后，利用

得到的电流密度分布，通过电磁场关于电流的表达式，计算出该时间步长下的电场强度和磁场

强度分布。

按照时间步长依次推进，不断更新电流密度和电磁场分布，从而得到整个时间历程内的电磁场

变化情况。

时间步进法在时域积分方程求解中具有以下优势：

•直接求解时域响应：能够直接计算出电磁场在时间域内的瞬态响应，对于分析脉冲信号激

励下的电磁问题，如超宽带雷达信号的散射和辐射等，具有重要的应用价值。例如，在超

宽带雷达目标探测中，时间步进法可以精确地模拟目标对超宽带脉冲信号的散射特性，帮

助研究人员更好地理解目标的电磁特性，提高雷达目标识别的准确性。

•减少未知数数量：只需要对目标表面进行剖分，相比二一些体积离散的方法，如有限元

法，大大减少了求解的未知数数量.从而降低了计算量和存储需求。这使得时间步进法在

处理大型复杂目标的电磁问题时具有更高的计算效率.例如,在分析大型电力变压器的电

磁场分布时，变压器的结构复杂，体积庞大，使用时间步进法只需要对变压器的绕组和铁

芯等关键部件的表面进行剖分，即可有效地计算出其电磁场分布，而不需要对整个变压器

的体积进行离散，大大减少了计算资源的消耗。

•自动满足远场边界条件：在积分方程的建立过程中，自动满足了远场边界条件，无需像有

限差分法等方法那样额外处理远场边界条件，简化了计算过程。这使得时间步进法在处理

辐射问题时更加方便和准确。例如，在天线辐射问题的分析中，时间步进法可以直接计算

出天线在远场的辐射特性，而不需要对远场边界进行特殊的处理，提高了计算的精度和可

靠性。

然而，时间步进法也存在一些局限性：

•数值稳定性问题：在计算后期，由于数值误差的积累和数值色散等原因，可能会出现数值

不稳定的现象，导致计算结果出现振荡或发散。例如，在长时间的电磁散射模拟中，随着

时间步长的不断推进，数值误差逐渐积累，可能会使得计算得到的电磁场分布出现不合理

的振荡，影响计算结果的准确性。

•计算效率问题：对于大规模问题，尽管时间步进法减少了未知数数量，但由于其需要在每

个时间步长内求解线性方程组，计算量仍然较大，计算时间较长。特别是当目标结构复

杂、剖分单元数量较多时，计算效率会显著降低。例如，在分析复杂的电力系统中多个设

备之间的电磁耦合问题时，由于涉及的设备众多，结构复杂，剖分单元数量巨大，时间步

进法的计算时间会变得很长，难以满足实际工程的快速计算需求。

•对复杂介质的处理能力有限：在处理具有复杂介质特性的问题时，如各向异性介质、色散

介质等，时间步进法的处理相对复杂，需要对介质特性进行特殊的处理和建模，增加了计

算的难度和复杂性。例如，在分析含有各向异性磁性材料的电机电磁场时，需要考虑材料

的各向异性特性对电磁场的影响，这使得时间步进法的计算过程变得更加复杂，需要采用

特殊的算法和模型来处理这种复杂的介质特性。

三、时域积分方程方法的特性分析

3.1稳定性分析

3.1.1连续时域电场积分方程的稳定性

连续时域电场积分方程(TD-EFIE)的稳定性是确保数值计算结果可靠性的关键因素，其稳定

性受到多种因素的综合影响。

从数学理论角度来看，离散误差是影响稳定性的重要因素之一。在将连续的时域电场积分方程

进行离散化处理时，由于采用的离散方法和基函数的近似性，不可避免地会引入离散误差。

例如，在空间离散过程中，使用的RWG基函数虽然能够较好地描述导体表面电流分布，但对

于一些复杂形状的导体，其近似程度仍存在一定的局限性o这种离散误差会随着时间步长的

推进逐渐积累，当积累到一定程度时，就可能导致计算结果出现振荡甚至发散，从而破坏计算

的稳定性。

时间步长的选择对稳定性也有着至关重要的影响。时间步长过大，会使得在每个时间步内对

物理量的变化描述过于粗糙，无法准确捕捉到电磁场的快速变化，进而导致数值解的不稳

定。相反，时间步长过小，虽然可以提高计算精度，但会显著增加计算量和计算时间，并且

在实际计算中，过小的时间布长可能会受到计算机舍入误差的影响，同样不利于计算的稳定

性o因此，选择合适的时间步长是保证连续时域电场积分方程稳定性的关键。在实际应用

中，通常需要根据具体问题的特点和计算精度要求，通过理论分析或数值实验来确定最优的时

间步长。

此外，计算区域的边界条件对稳定性也有一定的作用。边界条件的处理不当，可能会导致数

值反射或数值色散等问题，从而影响计算结果的稳定性。例如，在处理开放区域的电磁场问

题时，如果边界条件设置不合理，会使得电磁波在边界处发生不合理的反射，这些反射波会与

原波相互干涉，导致计算结果出现异常振荡。因此，合理设置边界条件，如采用吸收边界条

件来模拟无限大空间，能够有效地减少数值反射，提高计算的稳定性。

3.1.2时间步进法与Petrov-Galerkin方法

时间步进法（MOT）和Petrov-Galerkin方法是时域积分方程求解中常用的两种方法，它们

在稳定性方面存在着显著的差异。

时间步进法，如前文所述，是一种基于时间递推的方法，它通过在每个时间步长内求解线性方

程组来更新电磁场的分布。在稳定性方面，时间步进法存在一定的局限性。随着时间步长的

不断推进，数值误差容易逐渐积累，导致计算结果在后期出现不稳定的现象，如数值振荡或发

散。这是因为时间步进法在离散化过程中，对时间和空间的近似处理会引入误差，这些误差

在后续的计算中不断传递和积累，最终影响计算结果的稳定性。例如，在长时间的电磁散射

模拟中，时间步进法可能会因为误差积累而使得计算得到的散射场出现不合理的振荡，与实际

物理情况不符。

Petrov-Galerkin方法是一种基于变分原理的数值方法，它通过在函数空间中选取一组基函

数,将偏微分方程的解表示为这些基函数的加权和，然后利用Galerkin条件和Petrov条件进

行离散化处理。在稳定性方面，Petrov-Galerkin方法具有一定的优势。该方法通过引入

Petrov条件，能够更好地控制解的稳定性和精度。与时间步进法相比，Petrov-Galerkin方

法在处理复杂问题时，能够更有效地抑制数值误差的积累，从而提高计算结果的稳定性。例

如，在求解具有间断解的偏微分方程时，Petrov-Galerkn方法能够通过合理选择基函数和测

试函数，准确地捕捉到解的间断特性，避免因间断引起的数值振荡，保证计算结果的稳定

性。

时间步进法在处理简单问题时，具有计算简单、直观的优点，但在稳定性方面相对较弱；而

Petrov-Galerkin方法虽然计算相对复杂，但在处理复杂问题时，能够更好地保证计算结果的

稳定性和精度。在实际应用中，需要根据具体问题的特点和要求，选择合适的方法来确保计

算的稳定性和准确性。

3.1.3初始条件问题

初始条件在时域积分方程的求解中扮演着至关重要的角色，对计算结果的稳定性有着显著的影

响。

在时域积分方程的求解过程中，初始条件的选取直接决定了计算的起始状态。如果初始条件

设置不合理，例如初始电流密度或电场强度的取值与实际物理情况相差较大，那么在后续的计

算过程中，即使采用了稳定的算法，也可能会因为初始误差的影响而导致计算结果出现偏差，

甚至失去稳定性。例如，在分析脉冲信号激励下的电磁场响应时，如果初始电场强度的取值

与脉冲信号的初始状态不匹配，那么在计算过程中，可能会出现电场强度的突变，导致计算结

果出现异常振荡，无法准确反映电磁场的真实变化情况。

为了解决初始条件问题，通常需要根据具体的物理问题和已知信息，合理地确定初始条件。

在一些情况下，可以通过理论分析或实验测量来获取准确的初始值。例如，在分析天线的辐

射特性时，可以根据天线的结构和馈电条件，通过理论计算得到初始电流分布。在其他情况

下，如果无法直接获取准确的初始值，可以采用一些近似方法来设置初始条件，如假设初始电

流密度或电场强度为零，或者采用简单的函数形式来近似初始值。

除了合理确定初始条件的取值外，还可以采用一些数值方法来处理初始条件对稳定性的影

响o例如，在计算的初始阶段，可以采用较小的时间步长，以减小初始误差的传播和积累。

随着计算的进行，逐渐调整时间步长，以提高计算效率。此外，还可以对初始条件进行预处

理，如对初始值进行平滑处理，以减少初始值的突变对计算结果的影响。

3.1.4内谐振现象

内谐振现象是在利用时域积分方程方法计算导体散射问题时可能出现的一种特殊现象，对计算

结果有着显著的影响。

当入射波频率等于闭合导体处在与其外体形相同空腔的谐振频率时，就会发生内谐振现象。

此时，导体表面的电流由感应电流和谐振电流两部分组成。谐振电流不产生散射场，只有感

应电流才产生散射场。如果直接用电场积分方程去求解导体表面电流，由于谐振电流的存

在，将不能得到稳定的电流分布，因而无法求出正确的散射场o例如，在分析金属腔体的电

磁散射问题时，当入射波频率与腔体的谐振频率一致时，腔内会形成驻波，导致导体表面电流

分布异常复杂，传统的时域积分方程方法难以准确求解。

为了解决内谐振问题，研究人员提出了多种方法。一种常见的方法是采用混合场积分方程

(CFIE)。与电场积分方程(EFIE)和磁场积分方程(MFIE)不同，CFIE不会产生内谐振

现象。CFIE通过将电场积分方程和磁场积分方程进行适当的组合，利用两者的优点，有效地

避免了内谐振问题的出现。在离散化后，CFIE的矩阵条件数最小，迭代求解法的收敛速度最

快，能够更准确地计算导体表面的电流分布和散射场。

另一种方法是采用基于奇异值分解(SVD)的方法。通过对阻抗矩阵进行奇异值分解，可以

识别出与谐振模式相关的奇异值和奇异向量。然后，通过对这些奇异值和奇异向量进行处

理，如去除或修正与谐振模式相关的分量，从而有效地消除谐振电流的影响，得到稳定的电流

分布和准确的散射场。

还可以通过改进算法的数值稳定性来减轻内谐振现象的影响。例如，采用高阶基函数和更精

确的离散化方法，提高算法对复杂电流分布的描述能力，从而在一定程度上减少内谐振对计算

结果的干扰。

3.2计算效率分析

3.2.1计算复杂度

时域积分方程方法的计算复杂度是评估其计算效率的重要指标，它主要取决于矩阵填充和矩阵

求解两个关键过程O

在矩阵填充过程中，需要计算时域积分方程中各个积分项的值，这涉及到对空间和时间的双重

积分运算。对于一个具有N个离散单元的问题，计算每个矩阵元素都需要进行多次积分计

算，其计算复杂度通常为O(NY)。这是因为在计算每个矩阵元素时，需要考虑所有离散单元

之间的相互作用，随着离散单元数量的增加，计算量会呈平方级增长。例如，在分析一个复

杂形状的导体的电磁场分布时，若将导体表面离散为大量的三角形面片，那么在计算每个面片

与其他面片之间的相互作用时，计算量将随着面片数量的增加而急剧增加。

在矩阵求解过程中，常用的方法如高斯消去法、迭代法等，其计算复杂度也不容忽视。以直

接求解方法高斯消去法为例，对于一个NxN的矩阵，其计算复杂度为0的人3)。这是因为高

斯消去法需要进行多次矩阵的初等变换和回代求解，随着矩阵规模的增大，计算量会迅速增

长。迭代法如共钝梯度法(CG)、广义最小残差法(GMRES)等，至然在杲些情况下计算

复杂度相对较低，但仍然与矩阵的条件数和迭代次数密切相关。当矩阵条件数较大时，迭代

法的收敛速度会变慢，需要进行更多次的迭代才能达到收敛，从而增加了计算时间和计算复杂

度。

与其他数值计算方法相比，时域积分方程方法在计算复杂度方面具有一定的特点。有限元法

(FEM)是另一种常用的电遨场数值计算方法，它的计算复杂度通常也与离散单元的数量有

关。对于三维问题，有限元法的矩阵规模通常比时域积分方程方法更大，因为有限元法需要

对整个求解区域进行离散，而时域积分方程方法只需要对目标表面进行离散。因此，在处理

大型问题时，有限元法的计算复杂度可能更高。例如，在分析一个大型电力变压器的电磁场

分布时，有限元法需要对变压器的铁芯、绕组以及周围的空间进行全面离散，导致矩阵规模巨

大，计算复杂度高；而时域积分方程方法只需对变压器的绕组和铁芯表面进行离散，矩阵规模

相对较小。

然而，时域积分方程方法在处理某些问题时也存在计算复杂度较高的情况。当目标结构复杂

或需要考虑的物理因素较多时，时域积分方程方法的矩阵填充和求解过程会变得更加复杂，计

算量会显著增加。例如，在分析含有复杂介质和多物理场耦合的电磁问题时，时域积分方程

方法需要考虑介质的特性和多物理场之间的相互作用，这会导致积分项的计算更加复杂，矩阵

规模增大，从而增加计算复杂度。

3.2.2对时间步长和空间离散步长的敏感性

时间步长和空间离散步长的选择对时域积分方程方法的计算效率有着至关重要的影响，通过实

验和理论分析可以深入探究这种影响的规律。

从理论分析的角度来看，时间步长\Deltat和空间离散步长'Deltax需要满足一定的稳定性条

件，以确保数值计算的准确性和稳定性。tKtgCourant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件，时

间步长和空间离散步长之间存在如下关系：\Deltat\leqslant\frac{\Deltax}{c},其中c为电磁

波在介质中的传播速度。如果时间步长过大，超过了CFL条件的限制，数值解可能会出现不

稳定的情况，导致计算结果发散。这是因为过大的时间步长会使得在每个时间步内对物理量

的变化描述过于粗糙，无法准确捕捉到电磁场的快速变化，从而破坏了数值计算的稳定性。

相反，如果时间步长过小，虽然可以提高计算精度，但会显著增加计算量和计算时间，降低计

算效率。例如，在分析一钳央速变化的脉冲信号激励下的电磁场响应时，若时间步长选择过

大，可能无法准确捕捉到脉冲信号的上升沿和下降沿的变化，导致计算结果出现较大误差；而

若时间步长选择过小，虽然可以精确地描述脉冲信号的变化，但需要进行更多的时间步计算，

使得计算时间大幅增加。

空间离散步长对计算效率也有重要影响。较小的空间离散步长可以提高计算精度，因为它能

够更精确地描述目标的几何形状和电磁场的变化细节。然而，过小的空间离散步长会导致离

散单元数量急剧增加，从而增加矩阵的规模和计算量。以分析一个复杂形状的导体的电磁场

分布为例，若采用较小的空间离散步长对导体表面进行覆散，会得到大量的离散单元，这将使

得矩阵填充和求解过程的计算量大幅增加，计算时间变长。另一方面，过大的空间离散步长

则会导致对目标几何形状和电磁场变化的描述不准确，降低计算精度。例如，在模拟一个具

有精细结构的天线时，如果空间离散步长过大，可能无法准确描述天线的细节结构，从而导致

计算得到的天线辐射特性与实际情况存在较大偏差。

为了更直观地了解时间步长和空间离散步长对计算效率的影响，通过实验进行验证。在实验

中，设置不同的时间步长和空间离散步长组合，对同一电磁问题进行计算，并记录计算时间和

计算结果的误差。实验结果表明，当时间步长逐渐增大时，计算时间会明显减少，但计算结

果的误差也会随之增大；当空间离散步长逐渐减小时，计算精度会提高，但计算时间会显著增

加。通过对实验数据的分析，可以得到在保证一定计算精度的前提下，时间步长和空间离散

步长的最优取值范围，从而提高计算效率。

四、高阶时域积分算法的选用与优化

4.1高阶算法的原理与优势

高阶时域积分算法是在传统时域积分算法基础上发展而来的一种先进数值计算方法，其核心原

理在于通过采用高阶基函数和高精度的离散化方法，对电磁场的时空分布进行更为精确的描

述。在空间离散方面，高阶算法摒弃了传统算法中简单的低阶基函数，转而采用高阶多项式基

函数。这些高阶基函数具有更强的逼近能力，能够更准确地模拟复杂的电磁场分布。以三角形

面片上的高阶矢量基函数为例，它可以通过多个多项式项的组合，不仅能够描述电流密度在三

角形面片上的线性变化，还能捕捉到其非线性变化特征，从而大大提高了对复杂电流分布的模

拟精度。

在时间离散上，高阶时域积分算法同样采用了高阶的时间基函数，如高阶多项式时间基函数或

自适应时间基函数。这些高阶时间基函数能够更精确地拟合物理量随时间的变化规律，尤其

是在处理快速变化的瞬态信号时，表现出明显的优势。例如，对于脉冲信号的上升沿和下降

沿等快速变化的部分，高阶时间基函数可以通过其灵活的多项式组合，准确地捕捉到信号的瞬

态特性，而传统的低阶时间基函数则可能会因为拟合能力不足而导致计算结果出现较大误

差。

高阶时域积分算法在提高计算精度和效率方面具有显著的优势。在计算精度上，由于采用了

高阶基函数和高精度的离散化方法，高阶算法能够更准确地逼近电磁场的真实分布，从而有效

减少了计算误差。与传统算法相比，高阶算法在处理复杂几何形状和介质特性时，能够更好

地捕捉到电磁场的细微变化，提高了计算结果的准确性。例如，在分析含有复杂结构的天线

的辐射特性时，高阶时域积分算法可以精确地计算出天线表面电流的分布，进而准确地预测天

线的辐射方向图和辐射效率，为天线的优化设计提供了可靠的依据。

在计算效率方面，尽管高阶算法在基函数的计算和矩阵运算上相对复杂，但通过合理的算法优

化和快速算法的结合，高阶算法可以在保证精度的前提下，显著提高计算效率。高阶算法可

以利用快速多极子方法(FMM)或多层快速多极子算法(MLFMA)等快速算法，有效地减少

矩阵填充和求解过程中的计算量。这些快速算法通过将计算区域划分为多个子区域，并利用

多极子展开等技术，快速计算子区域之间的相互作用，从而大大降低了计算复杂度，提高了计

算速度。此外，高阶算法还可以通过自适应网格剖分技术，根据电磁场的变化情况自动调整

网格密度，在电磁场变化剧烈的区域采用更精细的网格，而在变化平缓的区域采用较粗的网

格，这样既保证了计算精度，又减少了不必要的计算量，进一步提高了计算效率。

4.2常用高阶算法介绍

4.2.1高阶几何建模

高阶几何建模是提升低频强电磁场仿真精度的关键技术，它通过更为精细和复杂的几何描述方

法，能够更准确地模拟实际物理模型的几何形状，从而显著提高仿真结果的准确性。

在低频强电磁场仿真中，传统的几何建模方法，如简单的多边形建模，往往只能对目标物体的

几何形状进行粗略的近似。对于一些具有复杂曲面或精细结构的物体，如变压器的铁芯、电

机的绕组等，简单的多边形建模无法准确地描述其几何特征，导致在仿真过程中，电磁场的计

算结果与实际情况存在较大偏差。例如，在变压器铁芯的建模中，若采用简单的多边形近

似，会忽略铁芯表面的细微曲率变化，使得计算得到的磁场分布与实际铁芯中的磁场分布不一

致，进而影响对变压器性能的准确评估。

高阶几何建模则采用了更高级的数学方法，如非均匀有理B样条(NURBS)曲面、细分曲面

等。NURBS曲面通过控制点和权重的设置，可以精确地定义各种复杂的曲面形状。在描述

变压器绕组的复杂形状时，NURBS曲面能够准确地拟合绕组的曲线和曲面，使得建模结果更

加接近实际绕组的几何形态。通过调整控制点的位置和权重，可以灵活地改变曲面的形状，

从而实现对不同结构绕组的精确建模。

细分曲面建模则是通过对初始网格进行不断细分，逐步增加模型的细节和精度。在电机的几

何建模中，对于电机的定子和转子等部件，利用细分曲面建模可以从一个简单的初始网格开

始，通过多次细分操作，在需要的部位添加更多的细节，准确地模拟出电机部件的复杂几何形

状。这种方法能够有效地捕捉到电机部件表面的细微特征，如通风槽、齿槽等，为准确计算

电机内部的电磁场分布提供了更精确的几何模型。

高阶几何建模对仿真结果的影响是多方面的。在精度方面，由于能够更准确地描述物体的几

何形状，高阶几何建模可以使电磁场的计算更加精确。在分析天线的辐射特性时，准确的几

何建模能够更精确地计算天线表面的电流分布，进而得到更准确的辐射方向图和辐射效率，为

天线的优化设计提供可靠依据。在效率方面，虽然高阶几何建模在建模过程中可能需要更多

的计算资源和时间，但从整体仿真过程来看，由于其能够提供更准确的几何模型，减少了因几

何近似导致的误差，从而在一定程度上提高了仿真的效率。例如，在对大型电力设备进行电

磁场仿真时，采用高阶几何建模虽然在前期建模时花费较多时间，但在后续的电磁场计算中，

由于模型的准确性，计算结果更加可靠，减少了因模型不准确而需要进行的多次重复计算，提

高了整体仿真效率。

4.2.2高阶基函数

高阶基函数在时域积分方程方法中起着至关重要的作用，它能够显著提高计算精度，更准确地

逼近电磁场的真实分布。常用的高阶基函数包括高阶多项式基函数、层次化基函数等，它们

各自具有独特的特点和性能。

高阶多项式基函数是一种常见的高阶基函数，它通过增加多项式的阶数来提高对物理量分布的

逼近能力。以三角形面片上的高阶多项式基函数为例，与一阶的RWG基函数相比，高阶多

项式基函数可以通过多个多项式项的组合，不仅能够描述电流密度在三角形面片上的线性变

化，还能捕捉到其非线性变化特征o在处理复杂的电磁场问题时，如分析含有多个导体部件

且电流分布复杂的电磁系统，高阶多项式基函数能够更准确地模拟电流密度在不同导体表面的

分布情况，从而提高计算精度。然而，高阶多项式基函数也存在一些局限性。随着多项式阶

数的增加，计算复杂度会显著提高，矩阵条件数也会变差，这可能导致计算效率降低和数值稳

定性下降。在求解大型电磁问题时，高阶多项式基函数的计算量会大幅增加，对计算资源的

需求也会显著提高。

层次化基函数是另一种重要的高阶基函数，它具有层次化的结构，能够自适应地根据电磁场的

变化情况调整基函数的展开。层次化基函数通常由多个层次组成，每个层次包含不同尺度的

基函数。在电磁场变化平缓的区域，使用较低层次的基函数进行展开，以减少计算量；而在

电磁场变化剧烈的区域，自动引入较高层次的基函数，以提高对电磁场变化的描述能力。在

分析具有局部强场区域的电磁问题时，如分析高功率微波器件中的电磁场分布，层次化基函数

能够在强场区域自动增加基函数的阶数，准确地捕捉到电磁场的快速变化，同时在其他区域保

持较低的计算复杂度，从而在保证计算精度的前提下，提高计算效率。与高阶多项式基函数

相比，层次化基函数在计算效率和数值稳定性方面具有一定的优势。由于其能够自适应地调

整基函数的展开，避免了在整个计算区域都使用高阶基区数带来的计算复杂度增加和数值稳定

性问题。然而，层次化基函数的构造相对复杂，需要更多的先验知识和计算资源来确定基函

数的层次结构和展开方式。

4.3算法优化策略

4.3.1奇异性积分处理

在时域积分方程方法中，奇异性积分的处理是一个关键且具有挑战性的问题，它对算法的稳定

性和准确性有着至关重要的影响。当积分核在积分区域内出现奇点时，就会产生奇异性积

分。在计算导体表面的电磁场积分时，由于源点和场点可能重合，导致积分核中出现分母为零

的情况，从而形成奇异性积分。这种奇异性会使得数值积分变得异常困难，若处理不当，会

引入较大的误差，严重影响计算结果的准确性。此外，奇异性积分还可能导致算法的数值稳

定性问题，使得计算过程中出现数值振荡或发散，无法得到可靠的计算结果。

为了解决奇异性积分问题，研究人员提出了多种有效的处理方法。一种常用的方法是解析处

理法，该方法通过对积分核进行数学变换，将奇异性积分转化为可解析求解的形式。对于一

些具有特定形式的奇异性积分，可以利用特殊函数的性质，如贝塞尔函数、勒让德函数等，将

积分核进行变换，从而实现解析求解。这种方法能够精确地处理奇异性积分，避免了数值计

算带来的误差，但它对积分核的形式要求较高，只适用于一些特定类型的奇异性积分。

正则化方法也是处理奇异性积分的重要手段。通过引入正则化因子，对积分核进行修正，使

得奇异性积分转化为非奇异积分，从而便于数值计算。常见的正则化方法包括Tikhonov正则

化、Levenberg-Marquardt正贝IJ化等。以Tikhonov正则化为例，它通过在积分方程中添加

一个与解的范数相关的正则化项，改变了积分方程的结构，使得积分核的奇异性得到缓解。

这种方法在实际应用中具有较好的效果，能够有效地处理多种类型的奇异性积分，但正则化因

子的选择对计算结果有较大影响，需要通过数值实验或理论分析来确定合适的取值。

自适应积分方法则是根据积分区域内的奇异性程度，自动调整积分策略。该方法通过对积分

区域进行细分，在奇异性较遗的区域采用更精细的积分网格，而在奇异性较弱的区域采用较粗

的网格，从而在保证计算精度的前提下，提高计算效率。在计算包含奇异性积分的电磁场问

题时，自适应积分方法可以通过检测积分核的奇异性程度，自动将积分区域划分为不同的子区

域，并为每个子区域选择合适的积分方法和积分步长。这种方法能够灵活地处理各种复杂的

奇异性积分情况，提高了算法的适应性和鲁棒性。

4.3.2加速算法与并行计算

加速算法和并行计算在时域积分方程方法中具有重要的应用价值，能够显著提高计算效率，解

决大规模电磁问题计算资源消耗大的难题。

快速多极子方法(FMM)是一种广泛应用的加速算法，其核心原理是利用多极子展开技术，

将计算区域划分为多个层次的子区域。在每个子区域内，通过多极子展开将源点的作用等效

为一个多极子，从而快速计算子区域之间的相互作用。在低频强电磁场仿真中，对于大型电

力设备的电磁场计算，FMM可以将设备表面的离散单元划分为多个子区域，每个子区域内的

单元可以用一个等效的多极子来表示。通过计算这些多极子之间的相互作用，可以快速得到

整个设备表面的电磁场分布，大大减少了计算量。FMM的计算复杂度从传统方法的O(NY)

降低到O(NlogN),其中N为离散单元的数量。这使得FMM在处理大规模问题时，能够显著

提高计算效率，减少计算时间。

多层快速多极子算法(MLFMA)是在FMM基础上发展而来的一种更高效的加速算法。它通

过引入多层结构，进一步优化了多极子展开的过程。MLFMA将计算区域划分为多个层次的

树状结构，每个层次的子区域都进行多极子展开。在高层子区域中，采用较大的多极子展开

阶数，以减少计算量；在底层子区域中，采用较小的多极子展开阶数，以提高计算精度。这

种分层结构使得MLFMA在计算效率上比FMM有了进一步的提升。在分析复杂的电力系统

中多个设备之间的电磁耦合问题时，MLFMA可以通过多层结构快速计算不同设备之间的电磁

相互作用，计算复杂度进一步降低，能够更高效地处理大规模、复杂的电磁问题。

并行计算技术通过将计算任务分配到多个处理器或计算节点上同时进行计算，充分利用多核处

理器的计算资源，从而提高计算效率。在时域积分方程方法中，并行计算可以应用于矩阵填

充、矩阵求解等关键计算环节。基于MPI(MessagePassingInterface)的并行计算框架，

可以将矩阵填充过程中的积分计算任务分配到多个计算节点上，每个节点独立计算一部分积

分，然后通过消息传递将讨算结果汇总。这样可以大大缩短矩阵填充的时间，提高整体计算

效率。在矩阵求解过程中，也可以采用并行的迭代算法，如并行共筑梯度法(PCG),将迭

代计算任务分配到多个处理器上，加速矩阵求解的过程。并行计算技术能够充分发挥现代计

算机多核处理器的优势，与加速算法相结合，可以显著提高时域积分方程方法在处理大规模电

磁问题时的计算效率，为低频强电磁场的仿真研究提供更强大的计算支持。

五、低频强电磁场仿真案例分析

5.1脉冲电源的电磁辐射仿真

脉冲电源作为一种能够产生高电压、大电流脉冲的装置，在现代科技领域中有着广泛的应用，

如雷达系统、粒子加速器、电磁脉冲武器等。然而，脉冲电源在工作过程中会产生强烈的电磁

辐射，这不仅可能对周围的电子设备造成干扰，影响其正常运行，还可能对人体健康产生潜在

威胁。因此，准确地对脉冲电源的电磁辐射进行仿真分析，对于评估其电磁兼容性和采取有效

的防护措施具有重要意义。

利用时域积分方程方法对脉冲电源进行电磁辐射仿真时，首先需要对脉冲电源的结构和工作原

理进行深入分析，建立准确的物理模型o脉冲电源通常由充电电路、储能元件、开关电路和

负载等部分组成。在建立模型时，需要考虑各个部分的几何形状、材料特性以及它们之间的

电磁耦合关系。对于充电电路中的电感和电容，需要准确描述其电感值、电容值以及寄生参

数；对于开关电路中的开关元件，需要考虑其导通和关断特性对电磁辐射的影响；对于负载，

需要根据实际情况确定其阻抗特性。

以一个典型的脉冲电源为例，其充电电路采用变压器和整流器将市电转换为直流高压，为储能

电容充电。储能电容通过开关电路与负载相连，当开关闭合时，储能电容向负载放电，产生

高电压脉冲。在建立该脉冲电源的物理模型时，将变压器视为多个绕组和铁芯组成的电磁元

件，利用时域积分方程方法计算其在工作过程中产生的电磁场分布。对于储能电容和开关电

路，根据其几何形状和材料特性，建立相应的电磁模型，考虑它们之间的电磁耦合以及与周围

环境的相互作用。

在建立物理模型后，采用合适的空间和时间离散方法对模型进行离散化处理。空间离散选用

RWG基函数对导体表面进行剖分，将脉冲电源的各个部件表面划分为多个三角形面户，通过

RWG基函数来近似描述每个面片上的电流分布。时间震散采用三角型时间基函数，将时间轴

划分为多个离散的时间步长，在每个时间步长内对电磁辐射进行计算。

通过求解时域积分方程，得到脉冲电源在不同时刻的电流分布和电磁辐射场分布。从仿真结

果可以看出，脉冲电源在工作过程中，电流主要集中在开关电路和负载附近，这些区域的电磁

辐射强度较大。在开关闭合的瞬间，电流迅速上升，产生强烈的电磁辐射脉冲，其频谱覆盖

范围较宽，包含了丰富的高频成分。随着时间的推移，电流逐渐衰减，电磁辐射强度也随之

减弱。

对仿真结果进行深入分析，研究脉冲电源的电磁辐射特性。通过分析电磁辐射场的时域波

形，可以了解电磁辐射的脉冲宽度、峰值幅度等参数。在本案例中，电磁辐射脉冲的宽度约

为几十纳秒，峰值幅度可达数千伏每米。通过频谱分析，可以得到电磁辐射的频率特性，确

定其主要的辐射频率范围。在本案例中，电磁辐射的主要频率范围在几百兆赫兹到数吉赫兹

之间，这与脉冲电源的工作频率和电路特性密切相关。

还可以分析电磁辐射场的空间分布特性，研究电磁辐射在不同方向上的强度变化。在本案例

中，电磁辐射在脉冲电源的抽向方向上强度较大，而在垂直于轴向的方向上强度相对较小。

这是由于脉冲电源的结构和电流分布特点决定的，电流在轴向方向上的流动产生了较强的电磁

辐射。

5.2低频电磁辐射下炮体的表面电流仿真

在军事领域，火炮作为重要的武器装备，其在低频电磁辐射环境下的性能和电磁兼容性备受关

注。低频电磁辐射可能来自周围的电子设备、通信系统或电磁干扰源，这些辐射会在炮体表面

产生感应电流，进而影响火炮的正常工作，甚至对其内部的电子元件造成损坏。因此，对低频

电磁辐射下炮体表面电流进行仿真分析，对于评估火炮的电磁环境适应性和采取有效的防护措

施具有重要意义。

利用时域积分方程方法对低频电磁辐射下炮体表面电流进行仿真时，首先需要建立精确的炮体

模型。炮体通常由金属材料制成，其结构复杂，包括炮管、炮身、炮塔等多个部分。在建立

模型时，需要考虑炮体的几何形状、尺寸参数以及材料的电磁特性。对于炮管，其细长的形

状和高电导率的金属材料特性对电磁辐射的响应具有特殊性，需要精确描述其几何尺寸和材料

参数。对于炮身和炮塔，其复杂的结构和曲面形状增加了建模的难度，需要采用合适的几何

建模方法，如高阶几何建模，以准确描述其几何特征。

以某型号火炮为例，其炮管长度为5米，内径为0.1米，外径为0.12米，采用高强度合金钢

材料，电导率为1.1\times1(r7S/m。炮身和炮塔由多种金属部件组成，形状复杂，包含大量

的曲面和不规则结构。在建立该炮体的模型时，利用三维建模软件，如SolidWorks,精确绘

制炮体的几何形状。然后，将模型导入电磁仿真软件中，如FEKO,进行电磁特性的设置和

分析。

在建立炮体模型后，采用合适的空间和时间离散方法对模型进行离散化处理。空间离散选用

RWG基函数对炮体表面进行剖分，将炮体表面划分为大量的三角形面片，通过RWG基函数

来近似描述每个面片上的电流分布。在剖分过程中，根据炮体结构的复杂程度和电磁辐射的

变化情况，合理调整面片的大小和密度。在炮管等电磁辐射变化较为均匀的区域，可以采用

较大的面片进行剖分，以减少计算量；在炮身和炮塔的复杂结构部位，如转角、缝隙等，采用

较小的面片进行精细剖分，以提高计算精度。时间离散采用三角型时间基函数，将时间轴划

分为多个离散的时间步长，在每个时间步长内对炮体表面电流进行计算。时间步长的选择需

要综合考虑电磁辐射的频率和变化速度，以及计算精度和计算效率的要求。对于低频电磁辐

射，时间步长可以适当增大，以提高计算效率；但对于变化较快的电磁辐射，需要减小时间步

长，以保证计算精度。

通过求解时域积分方程，得到炮体在低频电磁辐射下不同时刻的表面电流分布。从仿真结果

可以看出，炮体表面电流主要集中在炮管、炮身与炮塔的连接处以及一些突出的结构部位。

在炮管表面，电流沿轴向分布，且在靠近炮口的位置电流密度较大。这是因为炮口处的电磁

辐射较为强烈，且炮管的几何形状和材料特性使得电流在该位置更容易集中o在炮身与炮塔

的连接处，由于结构的不连续性和电磁耦合效应，电流密度也相对较大。这些位置的电流集

中可能会导致局部发热、电磁干扰等问题，对炮体的性能和可靠性产生不利影响。

对仿真结果进行深入分析，研究炮体表面电流的分布规律和变化趋势。通过分析不同时刻的

表面电流分布，可以了解电流随时间的变化情况。在低频电磁辐射的初始阶段，炮体表面电

流迅速上升，达到一个峰值后逐渐衰减。这是因为在电磁辐射的作用下，炮体表面的感应电

流需要一定的时间来建立和稳定。通过改变电磁辐射的频率和强度，观察炮体表面电流的变

化。随着电磁辐射频率的增加，炮体表面电流的分布更加不均匀，高频成分在局部区域的电

流密度显著增大。这是因为高频电磁辐射更容易在炮体表面产生趋肤效应，使得电流集中在

表面薄层内。当电磁辐射强度增大时，炮体表面电流的整体幅值也随之增大，且电流集中的

区域范围也有所扩大O

根据仿真结果，提出相应的电磁防护措施。对于电流集中的部位，可以采用电磁屏蔽材料进

行覆盖，减少电磁辐射的影响。在炮管表面和炮身与炮塔的连接处，可以敷设一层高导磁率

的电磁屏蔽材料，如铁锲合金，以降低电流密度，减少电磁干扰。还可以通过优化炮体的结

构设计，减少结构的不连续性和电磁耦合，从而降低表面电流的分布。在炮身与炮塔的连接

处，可以采用平滑过渡的结沟设计，减少电流的集中。

5.3强电磁辐射下机箱的电磁环境仿真

在现代电子设备中，机箱作为电子设备的重要组成部分，不仅为内部电子元件提供物理保护，

还对电磁环境起着关键的屏蔽和隔离作用。然而，在强电磁辐射环境下，机箱的电磁屏蔽性能

面临严峻挑战，内部电子元件可能受到电磁干扰，导致设备性能下降甚至故障。因此，对强电

磁辐射下机箱的电磁环境进行仿真分析，对于优化机箱设计、提高电子设备的电磁兼容性具有

重要意义。

利用时域积分方程方法对强电磁辐射下机箱的电磁环境进行仿真时，首先需要建立精确的机箱

模型。机箱通常由金属材料制成，其结构复杂，包含各种形状的腔体、孔洞和缝隙。在建立

模型时，需要考虑机箱的几何形状、尺寸参数、材料的电磁特性以及内部电子元件的布局。

对于机箱的金属外壳，需要准确描述其材料的电导率、磁导率等参数，这些参数会影响电磁波

在机箱表面的反射和透射。对于机箱上的孔洞和缝隙，如通风孔、接插件孔等，其大小、形

状和位置对电磁辐射的泄漏有重要影响，需要在模型中进行精确的表示。

以某电子设备机箱为例，其外形尺寸为长300mm、宽200mm、高162mm,采用2A12铝合

金材料，电导率为3.5\times1(T7S/m。机箱面板设置三个供电及通信用接插件，箱体内安装

PCB,其工作主频为0.9GHz。在建立该机箱的模型时，利用三维建模软件，如

SolidWorks,精确绘制机箱的几何形状，包括箱体、孔洞、缝隙以及内部PCB的位置和形

状。然后，将模型导入电磁仿真软件中，如HFSS,进行电磁特性的设置和分析。

在建立机箱模型后，采用合适的空间和时间离散方法对模型进行离散化处理。空间离散选用

RWG基函数对机箱表面进行剖分，将机箱表面划分为大量的三角形面片，通过RWG基函数

来近似描述每个面片上的电流分布。在剖分过程中，根据机箱结构的复杂程度和电磁辐射的

变化情况，合理调整面片的大小和密度。在机箱的边角、孔洞和缝隙等电磁辐射变化较为剧

烈的区域，采用较小的面片进行精细剖分，以提高计算精度；在机箱表面相对平坦的区域，可

以采用较大的面片进行剖分，以减少计算量o时间离散采用三角型时间基函数，将时间轴划

分为多个离散的时间步长，在每个时间步长内对机箱的电磁环境进行计算。时间步长的选择

需要综合考虑电磁辐射的频率和变化速度，以及计算精度和计算效率的要求。对于高频强电

磁辐射，时间步长需要较小，以准确捕捉电磁辐射的快速变化；对于低频电磁辐射，E寸间步长

可以适当增大，以提高计算效率。

通过求解时域积分方程，得到机箱在强电磁辐射下不同时刻的电场强度、磁场强度和电流分

布。从仿真结果可以看出，在强电磁辐射的作用下，机箱表面会产生感应电流，这些感应电

流会在机箱内部形成电磁场，对内部电子元件产生干扰。在机箱的孔洞和缝隙处，由于电磁

辐射的泄漏，电场强度和磁场强度明显增强，这些区域是电磁干扰的主要来源。在接插件孔

周围，电场强度和磁场强度比机箱其他部位高出数倍，可能会对接插件连接的电子元件造成严

重干扰。

对仿真结果进行深入分析，研究强电磁辐射下机箱的电磁环境特性。通过分析电场强度和磁

场强度的分布，可以确定电磁干扰的主要区域和传播路径。在本案例中，电磁干扰主要通过

机箱的孔洞和缝隙传播到内部，影响内部电子元件的正常工作。通过频谱分析，可以得到电

磁辐射的频率特性，确定其主要的辐射频率范围。在本案例中，电磁辐射的主要频率范围在

0.8GHz-1.0GHz之间，与机箱内PCB的工作主频相近，容易产生谐振，加剧电磁干扰。

根据仿真结果，提出优化机箱设计的建议。为了减少电磁辐射的泄漏，可以在机箱的孔洞和

缝隙处添加电磁密封衬垫，提高机箱的屏蔽效能。在接插件孔周围，可以安装金属屏蔽罩，

并与机箱外壳良好接地，减少电磁干扰的传播。还可以通过优化机箱的结构设计，减少机箱

内部的电磁反射和散射，降低电磁干扰的强度。在机箱内部，可以添加金