第3章近独立粒子的量子统计习题解答

第3章近独立粒子的量子统计(最该然统计理论H)

习题解答

3-1一系统由两个独立粒子组成,每个粒子可处于能量为0,£2七的任一状

态中，系统与大热源相平衡.试分别写出下列条件下系统的配分函数：

(1)粒子是可分辨的；

(2)粒子是不可分辨的Bose子；

(3)粒子是不可分辨的Fermi子.

【解】：(1)、粒子可分辨，系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统

能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：

用系统配分函数z=»-阳可得；

5

Z=e-X0f0)+e-M°+E)+0-?(E+0)+«/(£+©+e-p(2E^2E)+^-/?(2£+0)+凤0+2E)+〃(2E+E)+&-尸(2£+£)

=1+2"陡+3"2鹿+21佳+"邛七

(2)、粒子是不可分辨的Bose子，量子态上对粒子数没有限制。系统与大热源相

平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可

能的分布为：

用系统配分函数Z=-可得；Z=1+e~fiE+2e"2fiE+e~3fiE+e^fiE

8

(3)、粒子是小可分辨的Fermi子，每个量子态上最多容纳一个粒子。系统与大

热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的

各种可能的分布为：

用系统配分函数Z=即可得;

2="房+"2房+"3房

3-2试证明：对于理想Bose气体和理想Fermi气体有下列关系：

而对于光子气体有下列关系：PV=-U

3y

并分析两式不同的原因，其中，P、丫、U分别为气体的压强、体积和内能.

【解工（1）处在边长为L的立方体中的理想Bose气体和理想Fermi气体，粒子

的能量本征值为=3=，一（?^）2（〃：+〃：+〃;），〃〃七二0,±1,•••

*'：2m2mLy'"

22

可记为V=C,a=（z?+n-|-n

2m

所以尸=空_=£,即：pv=-u

-dv3VY3V3

（2）处在边长为L的立方体中的光子气体，光子的能量本征值为

2徜j_

品”：=Cp=C-j-（〃「+〃、2+%2尸，名,4,电=0,±1,±2,…

」2

可记为句=0丫3,V=Z?,a=2加c（〃「+凡」+生2/

所以尸=一£々牛=」-£〃声=」-U,即：PV」U

Tdv3VT3V3

两式不同的原因是：理想Bose气体和理想Fermi气体的粒子速度较低，属于非

相对论粒子，而光子速度很大，是相对论粒子。

3-3电子气体中电子的质量为m,Fermi能级为E（）.求绝对零度下电子气体

中电子的平均速度）和电子气体的压强.

【解】（1）、对自由电子，考虑到自旋后，在体积V内，动量大小在〃f〃+dp

范围内的量子态密度D（pMp=竽p2dp

利用p=mv,可得到速率在y->u+du范围内的量子态密度。（0拉=

考虑到T=0K时电子按速率的分布函数

/（v）=|U"以为T=0K时电子的费米速

0,v>vF

率，它与费米能级心的关系

由此可求得T=0K时电子的平均速率

［四）。（山"£’处）。（1皿

3

f/（v）D（v）t/v1小）。（1，）八,4

（2）、Ok时，电子按能级分布/（£）=.：'

°,£>E。

电子气的内能为：（/（（））=等（2〃严2A,=箓⑵?严总

而且簧G也＞』N=E。%2/罕r）\2/3哈2（3岛产

2/3

所以u(o)=叱或3/N

52m~V~

又因为Ok时F=U-TS=UndF=dU=TdS-PdV

所以Ok时电子气的压强为

T

3-4银的传导电子密度为5.9x1028/〃尸。试求OK时电子的最大能量、最大速

率和电子气体的压强.

【解】：0k时，电子按能级分布/（£）=＜；'£<E。

£>E。

（1）、电子的最大能量为费米能级£。

由筝⑵叫:3,2匮="2,3解得

7/nX2/3

方2(3/N

茄1V,

（2）、最大速率由4二g〃应得:2E6

匕“=--=1.4xl()m/5

m

（3）、电子气的内能为：u（o）=等⑵炉2r/2m=等⑵疗唱

2/3

而且答（2力

所以U®)="g3/N

—

又因为/=U-7S=U=>,/=QU=n/S-R/V所以Ok时电子气的压强为

22/310

尸=—?=—^^=2更邑（3万？N）2"v/1=-—（3^-）（^=2.1xlOPa

dVdV352tn752ni'77

3-5假设自由电子在二维平面上运动，密度为〃，试求0K时二维电子气体的

费米能量、内能和压强.

【解】：（1）、在面积为A=7?的二维平面上运动的电子，在面积A=Z/内，动量

范围

pxfpx+dpx,pyTpy+dpy的量子态数为

f2dxdydpxdpy_ZAdp/p,_ZApdpd）_2AmsdsdO

所以在£f£+赤的能量范围内的二维自由电子量子态数为

2Amdcd04RV〃

Ok时，电子按能级分布/（£）=

总电子数

N=1：）（a）Q（e）da=工

/rV

所以0K时二维电子气体的费米能量：^=--=—H

f4mlA4

（2）、Ok时二维电子气的内能为

U（0）='/（£）M（£）d£=£d£=9=；N?F

（3）、因为Ok