2025年高考数学必刷题分类：第20讲、三次函数的图象和性质

第20讲三次函数的图象和性质

知识梳理

1、基本性质

设三次函数为：./'⑴=五+川+仁犬+八〃、bc、deR且〃工0),其基本性质

有：

性质1：①定义域为R.②值域为R,函数在整个定义域上没有最大值、最小值.③

由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来

解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数=+〃/+◎.+dgwO)

其导函数为二次函数:f(x)=3ax2+2bx+c(a工0),

判别式为：△二4"一12"=4(方2—3知)，设/'")=0的两根为再、与，结合函数草图易

得：

(1)若从-3ac«0,则“0=0恰有一个实根；

(2)若〃_3奴>0,旦/(玉)./(勺)>0,则『3=0恰有一个实根;

(3)若从一3改>0,且/(%)/。2)=。，则/。)=0有两个不相等的实根；

(4)若_—3oc>0,且则/(x)=0有三个不相等的实根.

说明:⑴(2)/(x)=0含有一个实根的充要条件是曲线y=/(x)与由轴只相交一次,即

/*)在R上为单调函数(或两极值同号)，所以加—3〃c40(或从—且

/(x,)-/(x2)>0);

(5)/(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线)，=/(x)与x轴有两个公共点且其中之

一为切点，所以从-%c>0,且/&)/々)=0;

(6)/(幻=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线)，=/(x)与大轴有三个公共点，即

/(幻有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以从-3次>0且/a)・/(w)<o.

性质3：对称性

(1)三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；,/(--))；

3a3a

(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函

数.

2、常用技巧

(1)其导函数为广(Q=3以2+2/M+C=()对称轴为X=_2,所以对称中心的横坐标

3。

也就是导函数的对称轴，可见，y=f(x)图象的时称中心在导函数)，=_f(x)的对称轴上，

且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；

(2)y=/(x)是可导函数，若)，=/(幻的图象关于点(,〃,〃)对称，则)，=/'(x)图象关于

直线x=m

对称.

(3)若),=/(x)图象关于直线％=对称，则y=J")图象关于点(〃i,0)对称.

(4)已知三次函数/(x)=o?+法2+以+〃的对称中心横坐标为％,若存在两

个极值点N，则有/(内)一/(超)2=2/1%).

x}-x223

必考题型全归纳

题型一：三次函数的零点问题

例1.(2024.全国•高三专题练习)函数/(x)=V+or+2存在3个零点，则。的取值范围是

()

A.(-co,-2)B.(YO,-3)C.(—4,—1)D.(-3,0)

【答案】B

y

【解析】f(x)=x+ax+2f贝1)/'(幻=3/+。，

若要存在3个零点，则/(.r)要存在极大值和极小值，则“<0,

令八笛=3/+。=0,解得“或

且当xe,+8时，

故/("的极大值为了卜图极小值为/

例2.(2024.江苏扬州•高三校考阶段练习)设〃为实数，函数/("=-丁+31+々.

(1)求/")的极值;

(2)是否存在实数。，使得方程/(力=0恰好有两个实数根?若存在，求出实数。的值；

若不存在，请说明理由.

【解析】(1)r(x)=-3r+3,令尸(力=0,得4一1或x=l.

,当xe(f,-1)时，当xe(—1,1)时，/'(力>0：当xe(l,+8)时，/'(x)<0.

所以『⑴在上递减，在(7,1)上递增，在。，田)上递减，

\/3)的极小值为/(-尸。-2,极大值为〃1)=。+2.

(2)由(1)知，/(幻在(ro,-l)上递减，在(TJ)上递增，在(l,+o。)上递减，

而。+2>a-2,即函数的极大值大于极小值.

・•・当极大值等于。时，极小值小于0,此时曲线/(X)与工轴恰好有两个交点，即方程

/(力=。恰好有两个实数根，如图I所示.."+2=0,即〃=-2.

当极小值等于。时，极大值大于0,此时曲线/(力与“地恰有两个交点，即方程/(力=0

恰好有两个实数根，如图2所示..•"-2=0,即。=2.

图2

综上所述，当。=2或。=-2时，方程/(6=0恰好有两个实数根.

例3.(2024・四川绵阳•高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知函数

f(x)=ar3+bx2-3x(a,b€R),且/(x)在x=l和工=3处取得极值.

⑴求函数/。)的解析式；

⑵设函数g(x)=/(x)+L若g(x)=/(x)+，有且仅有一个零点，求实数，的取值范围.

【解析】(1)ra)=3a?+物-3,

因为"D在x=1和x=3处取得极值，

所以工=1和x=3是方程/'(幻=0的两个根，

H+3-竺

-九

I

;3解得“二-5,经检验符合已知条件，

X3

--五b=2

、

所以/(%)=-4丁+2A"-3x；

J

(2)由题意知&。)=一；/+21一3X+八/(幻=一/+4工一3,

当x>3或/<1时，g'(x)<0,当l<x<3时，g'(x)>0,

所以函数g(x)在(3,位),(^,1)上递减，在(1,3)上递增，

所以g(*)极大修=S⑶=/,g(")极小值=g(1)="Q»

又X取足够大的正数时，g*)<。，1取足够小的负数时，g(x)>。，

因此，为使曲线)，=由用与X轴有一个交点，结合g。)的单调性，

得：g(6极大值=/<°或g(x)极小值="9>°，

4

，1<0或，>§,

即当，<0或/>g时，使得曲线y=g。)与工轴有一个交点.

变式1.(2024.天津河西•高三天津实验中学校考阶段练习)已知〃力=加+加一新,

a,bwR.

(1)当a=b=l,求y=f(x)的极值；

(2)当。=0,b=2,设g(x)=f-lnx+l,求不等式/(“<g(戈)的解集；

(3)当〃>0时，若函数/(力恰有两个零点，求2的值.

(I

2

522

【解析】(1)/(X)=X+X-4,/./'(x)=3x+2x=0,x(=o,x2

L个

X(0,+a>)

A信。)0

(f-l)3

+0-0+

108

1|方、-4■I

71(\Q

・・・/(x)在x=-彳时，取极大值-翳.

•Jr

在x=0时，取极小值-4.

(2)2x2<x2-lnx+l,即f+inx-l<(),

设0=丁+111%-1,h\x)=2x+->OMx)单调增函数,且力(1)=0,

.1f

・••不等式的解集为(0,1).

2=

(3)/'(x)=3ax+2Zzx=0=>X)=0,x2~^~»

f.b<0,(-8,0)单调递增，单调递减，H+g］单调递增,

而/(0)=T〃<0,所以至多一个零点，(舍去).

2°.b=0,尸(力＞0=＞/(力单调增,所以至多一个零点,(舍去).

3°.…，卜与T)单调递增，卜和)单调递减，(。,+8)单调递增，

而/(0)=-4。＜0,〃2)=4a+4/＞0,在(0,+动上有一个零点，

所以/(“在(fO)上有一个零点，根据/(力在18号)单调递增，卜|^0)单调递减.

变式2.(2024.河北保定•高三统考阶段练习)已知函数j(x)=Y-3/+3.L

(1)求函数/(x)的图象在点x=0处的切线方程；

(2)若“1)-14丁+〃?在工W0,2］上有解，求〃?的取值范围；

(3)设＞'(力是函数f(x)的导函数，尸(力是函数/(力的导函数,若函数广(力的零点

为与，则点&,/(%))恰好就是该函数的对称中心试求

Q■㈡+.“叫伊)的值.

UoioJuoioj11010J,11010严回

【解析】(1)因为/*)=3/-6X+3

所以所求切线的斜率左=7(。)=3

又因为切点为(。，0)

所以所求的切线方程为y=3K

(2)因为wV+w,所以一342+3工一1X〃7

因为/(x)TwV+"?在上有解,

所以加不小于-3x2+3x-1在区间［0,2］上的最小值.

因为xe［0,2］时，一3/+3%-1=一31一3)-;w-7,-；

所以加的取值范围是［-7,口］.

(3)因为:(工)=3/-6X+3,所以尸(x)=6(x-l).

令广(x)=0可得距=1,

所以函数/")的对称中心为(1,1),

即如果$+赴=2,则如(％)+/(0)=2,

<]2、2018‘2019、2019x2

所以/+/+/2019.

<Toioioio>ToioJ010>2

变式3.(2024•山西太原•高三太原市外国厝学校校考阶段练习)已知三次困数

f(x)=x3+bx2+以+d(〃也ceR)过点(3,0),且函数在点(0J(0))处的切线恰好是直线

y=0.

⑴求函数/*)的解析式;

(2)设函数g3=9x+mT,若函数y=/(x)-g(x)在区间［-2,1］上有两个零点,求实数用的

取值范围.

【解析】(1)fix')=xy+bx2+cr+d=>f\x)=3x2+2bx+c,

/(3)=27+9〃+3c+d=0b=-3

由题意可知:/，(0)=c=0n、c=0=>f(x)=xy-3x2；

〃0)=d=0d=0

(2)y=f(x)-g(x)=Q=>m=x3-3x2-9x+1,

设h(x)=xi-3x2-9.v+i=h\x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x4-1),

当xw[-2,-l)时,当1)>0,/r(x)单调递增,当时，力'(幻<0,〃。)单调递减,

所以力(。皿=MT)=6,4(-2)=-1,/»(1)=-10,

因为函数V=/(x)-g(x)在区间1-2,11上有两个零点，

所以直线y=可与函数//(A)=X3-3X2-9X+1(X€[-2J])的图象有两个交点,

故有即实数用的取值范围为[-L6).

变式4.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=+3+a-g(x)eR).

⑴若函数尸")=/(x)-g(x)在xe[l,+8)上单调递增，求”的最小值；

⑵若函数G(x)=/(x)+g(x)的图象与x轴有且只有一个交点，求。的取值范围.

【解析】(1)尸(x)=.f(x)-g(x)=：*3+皿+*2+〃，Fr(x)=JC2+2x+a,

因函数F(x)=f(x)-g(x)在xe)上单调递增，

所以尸'(x)=/+2x+/0在xe11,+CO)+8)恒成立，即(1>-3,

”的最小值为-3.

(2)G(x)=/(X)+g(x)=^-x3-x2+ax-a,

J

2

,/G'(x)=x-2x+atA=4-4tz=4<l-t7).

①若aNl,则A40,•••。㈤加在R上恒成立,

G(x)在R上单调递增.G(0)=-a<0,G⑶=2a>0,

二•当。21时，函数G(x)的图象与x轴有且只有一个交点.

②若a<1,则A>0,

.•.GG)=0有两个不相等的实数根，不妨设为々〜(*<%).

x,+x2=2,xAx2=a.

当x变化时，G'(x),G(x)的取值情况如下表:

X(-8,七)

巧(孙占)U2,-KO)

GG)+0一0+

G(x)增极大值减极小值增

,/xf-2x(+〃=(),a=-x：+2xt,

G(xl)=-x^一x；+阴一〃=5父一*+45+*；一2*i=(父+(«-2).r,

=-x,[x；+3(a-2)J,

同理G(X2)=g毛芯+3(a-2)],

G(X1)-G(X2)="$再[片+3m-2)]-[Xj+3(a-2)]

22

=g(x]x2)[(x,x2)+3(。-2)(x；+4)+9(a-2)]

222

=-a[a4-3(«-2)[(^+x>)-2^^2]+9(«-2))

4/2飞4%3丫3.

——ala-3a+31——tza----+—.

9'792)4

因为G(x)有且只有一个零点，故G(x)G但)>(),解得。>().

故当Ovavl时，函数/(x)的图象与x轴有且只有一个交点.

综上所述，。的取值范围是(o.y).

题型二：三次函数的最值、极值问题

例4.(2024•云南•岛三统考期末)已知困数/(x)=-g/+x2+2ajg(x)=^x2-4.

(1)若函数”v)在((),2)上存在单调递增区间，求实数。的取值范围；

(2)设G(x)=/*)—g(x).若0<"2,G(x)在[1,3]上的最小值为〃(〃),求〃⑷的零点.

【解析】(1)・・・/(x)在(0、+8)上存在单调递增区间，・・./'")=-/+2与+2”0在(0,住)

上有解，

又/(X)是对称轴为x=l的二次函数，所以八幻在(0,+力)上的最大值大于0,

而广*)的最大值为/'⑴=1+2。，J\+2a>0,

解得：a>

(2)G(x)=/(x)-^(x)=--x3+—x2+2ov+4,

32

/.G*(A)一f2+A+2a,

由G«)=0得：%=＞丁+8〃,I+J1+&7,

22

则G(x)在(YO,XJ,(孙田)上单调递减，在(内,々)上单调递增，

又•・•当0＜〃＜2时.，X,＜0,1＜受＜3,

・・・GM在［L3］上的最大值点为%最小值为G⑴或G(3),

而G(3)-G(l)=一弓+4”，

「当一日+4〃＜0,即0＜“＜、时，〃(a)=G(3)=6a-g=0,得〃=卷，

此时，万⑷的零点为《；

147959S

2°当一二+4。之0,即时，/?(«)=G(1)=—+2＜/=0,得〃=一上(舍).

36612

综上力(。)的零点为《・

例5.(2024・高三课时练习)已知函数/。)=一；/+/+2依，g(x)=g/—4.

(1)若函数/⑴在(0，y)上存在单调递增区间，求实数。的取值范围；

(2)设G(x)=/(x)-以幻.若0＜。＜2,G(x)在［1,3］上的最小值为一，求G(x)在［1,3］上

取得最大值时，对应的X值.

【解析】(1):/⑶在(0、田)上存在单调递增区间，

・•・r(工)=T2+2x+为＞0在((),转)上有解，

即r(”a＞。在(。，+8)上成立，

而广⑴的最大值为r⑴=1+2。，

，1+为＞0,

解得：

(2)G(x)=/(x)-^(x)=--x3+—x2+2ax+4,

32

/.G,(x)=-x2+x+2a,

由G(X)=O得：内=上用2,毛=匕用2,

则G(x)在(YO,X1),(巧,+OO)上单调递减，在(4七)上单调递增，

又丁当0<。<2时，不<0,

・・・G(x)在［1,3］上的最大值点为%最小值为G⑴或G(3),

14

而G⑶-G⑴=-了+4〃，

1。当-巴+4〃<0,即0<a<2时，G(3)=6«-i=-i,#«=—,

362336

此时，最大值点9=壬叵；

6

14725I9

2。当一丁+4420,即时，6(1)=京+2〃=一；，得〃=一((舍).

综上G(x)在［1,3］上的最大值点为止叵.

6

例6.(2024.江苏常州.高三常州市北郊高级中学校考期中)已知函数Ar尸

x3-ax2-a2x+\,其中4>0.

(1)当el时,求J(x)的单调增区间；

⑵若曲线产/U)在点(-〃,,(-〃))处的切线与)，轴的交点为(0,b),求力+：的最小值.

【解析】⑴当时，r(x)=3A-2-2x-l=(3x+l)(x-l),

令/(。>。，得或x〉l,

故/(X)的增区间为,8,-g),(1,+8).

(2)/'(x)=3f-2以一。2,则/(一。)=4/,而/(_4)=_々3+1,

故曲线y=/(x)在的切线方程为：

y=4/(x+a)-4+l=々/工+初3+|,

它与)'轴的交点为(0,3/+1),故方=3/+1,

故力H—=3。'+1H—,其中。>0,

aa

设g(4)=3/+l+：M>0,则gM)=9"J,

当0<〃<4时，g'(a)<0；立时，/(«)>0,

故g(。)在露"上为减函数，在母内上为增函数，

故g(G=延+1即〃+•!■的最小值为迪+1.

变式5.(2024.广东珠海.高三校联考期中)已知函数/卜)=；/一依2+(/_］)«+〃

力wR),其图象在点(1J⑴)处的切线方程为x+)」3=0.

⑴求小》的值；

⑵求函数〃丫)的单调区间和极值：

⑶求函数“X)在区间［-25］上的最大值.

2222

【解析】(1)fXx)=x-2ax+a-\tf\\)=\-2a+a-\=a-2a,

f(\)=--a+a2-\+b=cr-a+b~—

33

又图象在点(1J⑴)处的切线方程为x+y-3=(),

a=1

所以,、，2.八，解得〈

1+{a~—a+b—)—3=0

|Q

(2)由(1)^/(x)=-?-x2+-,/fU)=x2-2x=x(x-2),

33

xvO或%>2时，r(x)>0,o<x<2时，r(x)<0,

所以/(外的增区间是(—,0)和(2,+oo),减区间是(0,2),

极大值是/(0)=(极小值是〃2)=不

(3)由(2)知/㈤在［-2,0］和⑵5］上递增,在(0,2)上单调递减,

又/(-2)=-4,/(5)=y,

所以“X)在［-2,5］上的最大值是最小值是T.

变式6.(2024.全国•高三专题练习)已知函数/a)=d—d—x,〃eR,且广⑴=0.

⑴求曲线户=f0)在点(-L/(-1))处的切线方程：

(2)求函数/(A)在区间［(),刃上的最大值.

【解析】⑴由/。)=/-代7得/'(x)=3.d-2av-l,

r(l)=3-2«-l=0,解得。=1

二/(x)=--f-x,/'(x)-3x2-2x-1

/(-l)=-|-1+l=-|,f(-|)=3+2-l=4

曲线y=fW在点(-1,/(-1))处的切线方程为)，+l=4(X+1),

即y=4x4-3；

(2)由(1),令尸(x)>0得1<一1或x>l,令/'(x)<0得

33

.•・函数人幻在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，

X/(O)=O,/(3)=33-32-3=15,

二.函数/CO在区间［。，3］上的最大值为/(3)=15

变式7.(2024.全国•高三专题练习)已知函数/。)=丁+3尿2+以+〃在(-oo,0)上是增函

数，在Q2)上是减函数，且f(x)=0的一个根为-人

(1)求c的值；

(2)求证：“0=0还有不同于4的实根4、*2,且巧、-八々成等差数列；

(3)若函数人文)的极大值小于16,求/⑴的取值范围

【解析】(1)f\x)=3x2^6bx+c,

由题意，可知x=0是极大值点，故/'(。)=0，."=0.

(2)令/'(x)=0,得工=0或一助，

由的单调性知-2622,1,

•Jf是方程/(x)=0的一个根，

则(询，3〃(一〃J+4=0=d=-2Z?3,

f(X)=x3+3bx2-2b'=(x+/?)(x2+2bx-2b2),

方程V+26-=0的根的判别式，

A=4Z?2-4(-2/?2)=12Z?2>0,

X(-b)2+2Z?(-Z?)-2Z?2=-3b20,(^<-1)

即-b不是方程x2+2bx-21r=0的根

・••/'(x)=0有不同于4的根匹、x?.

x］+x2=-2bt/、—b、々成等差数列•

(3)根据函数的单调性可知x=0是极大值点，

/./(0)<16=>-2Z>3<16=>/?>-2,于是-2<匹-1,

令g®=/⑴=-»+幼+1,

求导g0)=«/+3,

-244-1时，g'(b)vO,

8S)在(-2,-1］上单调递减，

.•・g(T)«g0)〈g(-2),

即O"(l)vll.

变式8.(2024•浙江宁波・高三效实中学校考期中)已知函数/(幻=:尸-纨、(a+2)x+l(其

中00).

(1)求函数/(X)的单调区间;

(2)若/(X)有两个不同的极值点为，演,求/(*)+/(占)的取值范围.

【解析】(1)f\x)=x2-2ax+。+2,A=4(«2-a-2)

①当s=4(/-2)?0即0va«2时，f'(x)>Ot\/(x)在R上单调递增：

22

②当a>2时，f\x)=0-a-\la-a-2，x2=a+>la-a-2»X<&

・•./3)在(F,*),(X”+8)上单调递增，在(为,£)上单一周递减.

⑵x,,巧为r(x)=/-2tu+a+2=0(a>2)的两根，

4

/(%)+/(/)=-y'+2苏+4a+2,

设g(a)=-+2。'+4。-2(a>2)

g'(a)=-4a2+4a+4=-4(u2-«-l),

当a>2时，g\a)=-4(a2-a-\)<0

g(4)在(2,+oo)上单调递减

2222

.♦.g(a)<g(2)=7,即〃%)+"9z)<彳.

DJ

题型三：三次函数的单调性问题

例7.（2024.陕西商洛•高三校考阶段练习）已知三次函数

/（x）=1?-（4/n-l）x2+|15/n2-2/w-7）x+2ffiR上是增函数，则m的取值范围是（）

A.m<2或m>4B.—4<m<—2C.2<m<4D.2<m<4

【答案】D

【解析】f（x）=1-2（4m-l）x+15W-2m-7,由题意得

x2-2（4m-l）x+157??2一2"7—720恒成立，A=4（4/?z-I）2-4（15〃P—一7）

=64m2-32m+4-60〃/++28=4（w2-6m+8）<0,.\2<m<4,故选D.

例8.（2024.全国•高三专题练习）三次函数=x在上是减函数，则加的

取值范围是（）

A.<0B.m<1C.m<0D.m£1

【答案】A

【解析】对函数"%）=加3T求导,得八x）=3加7

因为函数/*）在（f，a）上是减函数，则f'M«0在R上恒成立，

即3mx~-1W0恒成立，

当/=o,即x=（）时,3nix21<0恒成立；

当f工0,即xwO时，A-2>0,则3〃?工4,即3Md,

厂1%Znin

因为r-0,所以3阳40,即m<0；

x'

又因为当〃?=0时，/。）=-工不是三次函数，不满足题意，

所以6<0.

故选：A.

例9.（2024•江西宜春•高三校考阶段练习）已知函数/⑶=：/-等前幻=!-/我，

m是实数.

（1）若/⑶在区间（2,+00）为增函数，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，函数/Mx）=/（x）-g（x）有三个零点，求m的取值范围.

【解析】（i）ra）=f_（m+i）j,因为MH在区间（z田）为增函数,

所以/'(X)=MX-〃L1"0在区间(2,小)恒成立，

所以x-"-1N0,即〃”4-1恒成立，由x>2,得〃.

所以加的取值范围是(Yj］.

⑵M%)=/(x)—g(x)=；/_x2+nix-1,

D乙D

所以》'(*)=(》-1)(木一m).令〃'(丫)=0,解得X=/〃或x=l,

〃2=1时，〃(x)=(x-1)2之0M(X)在R上是增函数，不合题意，

m<1时，令//(x)>0,解得工〈/〃或x>1,令〃(x)v。，解得/n<x<1,

所以/7(X)在(YO,"?),(1,y0)递增，在(/77,1)递减,

所以力⑺极大值为/?(/〃)=一，〃尸+?〃?2一《，/©)极小值为〃⑴二32,

6232

13121n

——in+—m~——>0

要使"x)—g(x)有3个零点，需6m13,解得/”1—G.

----<0

2

所以小的取值范围是(31-6).

变式9.(2024.陕西榆林.高三绥德中学校考阶段练习)已知三次函数/(x)=ad+/M-3在

x=1处取得极值，且在(0,—3)点处的切线与直线3x+y=0平行.

(1)求/V)的解析式；

(2)若函数双幻=/(幻十〃式在区间(1,2)上单调递增,求，的取值范围.

【解析】⑴八所3”，由题意［，:区,，解得I,，

f(0)=/?=-3b=-3

所以/(.1)=丁-3］-3；

(2)由(1)g(x)=/+(〃?-3)x-3,g'(x)=3x2+(in-3),

g(x)在(1,2)是递增，则g\x)=3/+(〃L3)20在(1,2)」;恒成立，

m>3-3x2,xw(l,2)时,-9<3-3x2<0,所以，〃之0.

变式10.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(力=$3-|23+4］在［1,2］上单调递增，则

。的取值范围为.

1-

--

V292

-

【解析】①当*+4“对任意的工42恒成立时，则。2

则/(x)=g丁—2aL4,f'(力二f-2a20对任意的x叩,2］恒成立,

贝|J"<—此时-1Va4—；

I/min22

2}

②当2at+4W()对任意的xw［l,2］恒成立时，则—=-2,

I"/min

则〃x）=gY+2av+4,7''（"二/+为之。对任意的xjia恒成立,

则42-y）=一;，此时“不存在；

V/max

-2ar-4,l<x<—

e(l,2),则小)=；

2

+2。丫+4,—<x«2

r（“=f一为NO恒成立，则

2

2r\2

当xw--,2时，广（同二£十陵之01亘成立，Wij6/>-y=一靛，可得"N—2,解得

a之-吃,

此时-啦W"-l.

综上所述，实数。的的取值范围为一啦，.

故答案为：-蚯].

题型四：三次函数的切线问题

例10.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/。）=氏

（I）求曲线y=fW在点M[t,/⑺）处的切线方程；

⑵设常数。>0,如果过点P（a，〃D可作曲线）=/（冷的三条切线，求〃1的取值范围.

【解析】(1)r函数=--安，.•.f'(x)=3x2-l.

切线方程为y-f(t)=fVKx-t),即y=(3/2-l)x-2?.

(2)由已知关于，的方程巾=(3/--2尸,即m=-2/+3at2-a(a>0)有三个不等实根.

令g(1)=-21-+3ar-a,则g'(t)=a).

可知g")在(YO,0)递减，在(0,。)递增，在(。,国)递减，

g«)的极小值为:或。)=-。，极大值为g(a)=/-a.

所以一。</〃</—〃•

例11.(2024•江西•高三校联考阶段练习)已知函数/3=丁-3/+犬-1.

(1)求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)设/〃>1,若过点。(机小可作曲线y=的三条切线，证明

【解析】(1)/'*)=3/-64十1则在点尸处的切线方程为y=t)

整理得V=(3/-6/+1卜一2/+3/一1

(2)〃=(3/-61+1)〃?-2-+3/-|

构造函数g(1)=(3/_6/+l)〃L2j+3»_l_〃，

即g(/)=-2/+3(1+〃川-6而+〃.1-〃过点。(/小〃)可做曲线)，=/("的三条切线等价于

函数g(/)有三个不同的零点.

g'0=-6(，T)“—-),故函数g(f)在(—J)上单调递减,(1,6)上单调递增，(见加)上

单调递减，

g⑴vO-2m-n<0..

所以乂、记即,々2।可得一

[nt-3m+m-\-n>0

例12.(2024・江苏•高三专题练习)已知函数/(x)=1V—Lad+(a—])x+2(aeR),;(x)

32

满足/(x)+/(-x)=4,已知点M是曲线y=/(x)上任意一点，曲线在M处的切线为/.

⑴求切线/的倾斜角々的取值范围；

⑵若过点尸(1，〃?)[〃?工可作曲线.V=fM的三条切线，求实数优的取值范围.

【解析】(1)因为〃X)+F(T)=4,则

~~^2+(«-l)x+2--x3-^ax1-(«-l).r+2=4,

解得a=0,所以/(x)=g/—x+2,

则广(©二/一1,故左...-1,tana..-1,

•1.«e[0,乳J弓，乃)，.••切线/的倾斜角的a的取值范围是10,却苧幻.

(2)设曲线5=/(幻与过点尸(1,的切线相切于点心,$03一%+2

则切线的斜率为2=十一1,所以切线方程为y_(gx°3—%+2)=(%2—1)(X7。)

因为点P(l,在切线上，

所以加一(；十一.+2)=(%2_])(]_/)2,

=9

即m——XQ++19

由题意，该方程有三解

2

设g(%)=一一x3+x2+l,则g(x)=-2f+2x=_2x(xT，令g'(x)=O,解得x=0或x=l,

3

当xv0或X〉1时，g'(x)<0,当0vxv1时，g'(x)>0,

所以g(x)在(-8,0)和(1，+8)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

4

故g(x)的极小值为冢。)=1，极大值为月(1)=工，

所以实数，"的取值范围是(1,：4).

变式11.(2024・安徽•高三校联考期末)已知函数/(*)=-3/-/+〃a+3,在/=0处取得

极值.

(1)求机的值；

(2)若过(2/)可作曲线＞，=/")的三条切线，求,的取值范围.

【解析】(I)因为/(戈)=-!”3-/+m+3,所以/(工)=-2/-2"〃?，

62

因为在x=0处取得极值，所以尸(。)=6=0.

经验证〃?=0符合题意；

(1\

(2)设切点坐标为小,一1年-石+3,

由/(x)=/一/+3,得/'(%)=-1X-2天,

O2

所以方程为y--X；+3)=(-;x；-2x(J(x-x(J,

将(24代入切线方程，得,=:片-4/+3.

令g(x)=3-4X+3'则g[x)=f-4,

则，(同=』―4=0,解得x=±2.

当x<-2或x>2时，g'(M>0,

所以g(“在(田，-2),(2,+。)上单调递增；

当-2c<2时，/(x)<0,

所以g(x)在(-2,2)上单调递减.

所以g(x)的极大值为g(-2)=彳75，g(x)的极小值为g(2)=-：7.

JJ

因为有三条切线，所以方程/=g(x)有三个不同的解，

y=，与y=g(6的图象有三个不同的交点，

所以一：7</<胃25.

33

变式12.(2024.陕西西安高三校考阶段练习)已知函数/(x)=or=bx2在点处的

切线方程为3x+y—=0.

(1)求实数明〃的值：

(2)若过点(-1,〃?)(〃?工-9可作曲线)，=/(对的三条切线，求实数〃?的取值范围.

【解析】(1)f(x)=3ax--2bxt

由/(力=尔-加在点(]j⑴)处的切线方程为2X+)T=(),

a-b=一2

得/(1)=-2,/'⑴=-3,故，故。=11=3,

(2)由(1)得了'(.1)=3.5-6工，

过点向曲线y=/(x)做切线，设切点为小,为)，

则切线方程为V-(飞3-3H)=(3%：-6x0)(x-x0).

因为切线过(T，〃?)，故机一(与3-3不)=(3.%2一6%)(1一%)，

整理得到：2.r(?-6x0+/«=(),

•・•过点(-8,"?)(〃?，-4)可做曲线)、=/("的三条切线，

故方程2x1-6/+m=0有3个不同的解.

记g(x)=2xy-6x+m,g(x)=6.v2-2=6(x+l)(.r-l).

・,・当x=-1时，g(x)有极大值〃?+4,当x=1时，g(%)有极小值m-5.

=w+4>0/、

故当X…<o'即T<〃z<4时’函数g(x)有3个不同零点.

・•・实数〃，的取值范围是(T,4).

变式13.(2024・全国•高一:专题练习)设函数/(耳=3/+。P+灰+。(〃<0)在工=0处取得极

值T.

(1)设点A(-“/(-a)),求证：过点A的切线有且只有一条，并求出该切线方程；

⑵若过点(0,0)可作曲线)二〃x)的三条切线，求”的取值范围；

(3)设曲线y=/(%)在点(不〃、))、(W,/(占))。尸引处的切线都过点(0,0),证明:

/'(%)¥/'伍).

r2

【解析】(I)证明：由/(力=；『+0?+/沈+。(”0),得：f(x)=x+2ax+bf

[r(0)=/?=0i3

由题意可得,,所以，/(x)=^+ar-l.

(/(0)=c=-l3

此时，r(x)=f+2or,

当xvO时，.凡耳>。，此时函数/(x)单调递增,

当OvxvQ时,/'(行<0,此时函数/(x)单调递减，

所以，函数/(%)在x=0处取得极大值-I.

设切点为(如为)，则切线方程为)'一.%=尸(与儿”天))，

即丁-g"-渥+1=(%；+2%)(X-%),

2

即为y=(X：+2叫)x—大X-海一।,

将点(一。，〃-0))的坐标代入方程可得石+3代+3”，+/=0,

即5+4'=(),所以/=-〃，即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条.

所以切线方程为a-+y+y+iw.

(2)因为切线方程为y=l片+2a%卜--漏-1,

把点(0,0)的坐标代入切线方程可得|片+谒+1=0,

因为有三条切线，故方程得gx+ar；+1=0有三个不同的实根.

2Q

设g(x)=£k+ax2+\(a<0),

^*(x)=2A?+lax,令g[x)=2/+2ox=0,可得％=0和%=一〃.

当X£(YO,0)时,g'(x)>0,g(x)为增函数，

当xw(0,-a)时,g[x)<0,g(x)为减函数，

当xe(—a,+co)时，g[x)>0,g(x)为增函数，

所以，函数g("在x=0处取得极大值,且g(M极大值=鼠。)=1>0,

函数g(x)在工=-。处取得极小值，且g(x)梭小侦=g(-.)=-弓/+/+]=手+i,

因为方程g("=0有三个根，则g(-a)=f+1<0,解得a<-正，

因为团一^|卜"省>0,g(—3a)=—94+1>0,

由零点存在定理可知，函数8(“有三个零点，

综上所述，“<-3.

(3)证明：假设/'($)=/'(占)，则Y+2叫=4+2”，贝1)(内-王)(玉+七+2«)=(),

因为N工七，所以西+玉=-2〃.

2321n

—Xj+QX^+1=0

两式相减可得|（片-考）+。（片-¥）=。.

由（2）可得

2321八

—x2+a£+1=0

故|侬

因为司工王,+x1x2+x；)+a(x+&)=0.

把xi+x2=-2a代入上式可得，x；+为电+x；=3a2,

所以（.土+修丫一%占=3a*,一王七=3«2,所以Xi%=".

又由％丙＜（*=（等）这与玉超=a?矛盾.

所以假设不成立，即证得/（王）。/'（占）.

题型五：三次函数的对称问题

例13.（2024.全国•高三专题练习）给出定义：设/'（X）是函数），=/*）的导函数，尸（X）是

函数），=/'（x）的导函数.若方程八其=。有实数解x=x。，则称（不,/（七））为函数k/⑶

的“拐点经研究发现所有的三次函数fW=加+加+cx+d{a^0）都有“拐点”，且该“拐

点''也是函数），=fW的图象的对称中心.若函数/"）=f-3/,则

/_[_]+273A+<4044A[(4045、=

7l2023j7(2623j+-/l2623j++712023J+712023>")

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8()96

【答案】B

【解析】由/'(x)=3.d-6x,可得/ifx)=6x-6,

令/"(x)=0,可得x=l,X/(l)=l-3=-2,

所以＞=/（A）的图像的对称中心为（L