第3节二项式定理

第3节二项式定理课标要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【知识梳理】1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnn(2)通项:Tk+1=Cnkan-kbk,k=0,1,2,…,n,它表示第k+1(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数Cn0,Cn2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等,即Cnm增减性二项式系数C当k<n+12(n∈N*)时,是当k>n+12(n∈N*)时,是二项式系数最大值当n为偶数时,中间的一项Cn当n为奇数时,中间的两项Cnn-13.各二项式系数和(1)(a+b)n展开式的各二项式系数和:Cn0+Cn1+Cn2+…(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3[常用结论与微点提醒](a+b)n的展开式形式上的特点:(1)项数为n+1;(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n;(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n;(4)二项式系数从Cn0,Cn1,一直到【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)Cnkan-kbk是二项展开式的第k项.((2)二项展开式中,二项式系数最大的项为中间一项.()(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.()(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析二项展开式中Cnkan-kbk是第k+1项,二项式系数最大的项为中间一项或中间两项,故(1)(2)2.(苏教选修二P85T2原题)(x-2y)7的展开式中第3项的二项式系数是()A.C72 B.C.4C72 答案A解析二项式系数是指C70,C71,故第3项的二项式系数为C73.(人教A选修三P34T1改编)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是.

答案-121解析将(1-x)5,(1-x)6,(1-x)7,(1-x)8中含x3项的系数分别相加,即得展开式中含x3项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C84.(北师大选修一P178T1改编)化简:Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(答案0解析由二项式(1+x)n=Cn0x0+Cn1x1+Cn2x2+令x=-1,得(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3考点一二项展开式与通项角度1求二项展开式的特定项例1(1)(2024·北京卷)在(x-x)4的展开式中,x3的系数为()A.6 B.-6C.12 D.-12答案A解析法一(x-x)4的展开式的通项Tr+1=C4rx4-r(-x)r=(-1)rC4rx4-r2(r=0由4-r2=3,得r=2,所以(x-x)4的展开式中x3的系数为(-1)2C法二(x-x)4的展开式中含x3的项是由(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的(-x)相乘得到的,所以(x-x)4的展开式中含x3的项为C42x2·C22(-x)2所以(x-x)4的展开式中x3的系数为6.(2)(2025·天津段测)x-3x2A.-135 B.135C.1215 D.-1215答案B解析二项展开式的通项Tr+1=C6rx6-r·-3x2r=C6r(-令6-3r=0,解得r=2,所以常数项T3=C62(-3)角度2两项之积与三项展开式例2(1)(2025·湖北十一校联考)(x2+ax-1)·(1-x)6的展开式中x2的系数是-2,则实数a的值为()A.0 B.3 C.-1 D.-2答案D解析展开式中含x2的项为x2·1+ax·C61(-x)1+(-1)·C62(-x)2=x2-6ax2-15x2=-(6a所以-(6a+14)=-2,解得a=-2.(2)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为.

答案30解析法一(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,含y2的项为T3=C52(x2+x)3·y其中(x2+x)3中含x5的项为C31x4·x=C3所以x5y2的系数为C5法二(x2+x+y)5表示5个因式(x2+x+y)之积,∴x5y2可从两个因式中取x2,剩余的3个因式中1个取x,其余两个因式取y,因此x5y2的系数为C5角度3整除问题例3(2025·郑州质测)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(modm).若a=C201·2+C202·22+…+C2020·220,a≡b(mod10),A.2018 B.2020 C.2022 D.2024答案B解析因为a=C201·2+C202·22+…+C2020·220=C200+C201·2+C202·22+…+C所以a=320-1=(32)10-1=910-1=(10-1)10-1=C1001010-C101109+C102108=C1001010-C101109+C102所以a能被10整除,从选项可以看出,只有2020能被10整除,即b的值可以为2020.思维建模1.求二项展开式中的特定项,一般是化简通项后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项即可.2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决,或利用展开式的原理求解.3.对于整除问题,要注意寻找目标展开式,如被9整除时,242=814=(9-1)14.训练1(1)(2025·武汉调研)(2x-3)(x-1)5的展开式中含x3项的系数为()A.-50 B.50 C.-10 D.10答案A解析(2x-3)(x-1)5=2x(x-1)5-3(x-1)5,(x-1)5的展开式的通项Tr+1=(-1)rC5rx5-由5-r=2得r=3,由5-r=3得r=2,所以(2x-3)(x-1)5的展开式中含x3项的系数为2(-1)3C53-3(-1)2C5(2)(2025·湖南名校联考)已知今天是星期三,则67-1天后是()A.星期一 B.星期二C.星期三 D.星期五答案A解析67-1=(7-1)7-1=C7077+C7176×(-1)1+C7275×(-1)2+…+C7671×(-1)6+C7770×(-1)7-1=C7077+C7176×(-1)1+C7275×(-所以67-1除以7的余数为5,所以67-1天后是星期一.(3)(2024·天津卷)在3x3+x33答案20解析Tk+1=C=C6k·36-2k·x6k-令6k-18=0,则k=3,所以常数项为T4=C63·30·x考点二二项式系数的和与各项系数的和例4(1)(多选)已知1x-2x2n+1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶A.n=4B.展开式中所有项的系数和为1C.展开式中二项式系数和为24D.展开式中不含常数项答案AD解析由题意得C2n+11×(-2)C2n解得n=4,故A正确;所以1x-2x令x=1,则所有项的系数之和为-1,故B错误;所以1x-2x9的二项式系数和为29,1x-2x9的通项公式为Tk+1=C9k1x9-k·(-2x)k=C若Tk+1为常数项,则有2k-9=0,解得k=92∉N所以不存在常数项,故D正确.(2)(2025·嘉兴调研)若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2+a6+a8=;a1+2a2+3a3+…+10a10=.

答案3005120解析由已知得(1+x)10展开式的通项为Tk+1=C10kxk,故a2+a6+a8=C102+C10对原式两边求导得,10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9.令x=1,得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5120.思维建模1.二项式系数和只与(x+y)n中的n有关,Cn0+Cn1+…+Cnn=2n;Cn0+Cn2+Cn4+…=2.项的系数和采用赋值法一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1),(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)-g(训练2(2025·开封质检)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=()A.-40 B.40 C.41 D.82答案C解析(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,①令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,②①+②得2(a4+a2+a0)=1+81=82,所以a4+a2+a0=41.考点三系数的最值问题例5(多选)(2025·郑州质检)关于(a-b)11的说法,正确的是()A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小答案ACD解析由二项式系数的性质知,(a-b)11的二项式系数之和为211=2048,故A正确;因为(a-b)11的展开式共有12项,中间两项的二项式系数最大,即第6项和第7项的二项式系数最大,故C正确,B错误;因为展开式中第6项的系数是负数,且绝对值最大,所以展开式中第6项的系数最小,故D正确.思维建模1.二项式系数最大项的确定方法:当n为偶数时,展开式中第n2+1项的二项式系数最大,最大值为C;当n为奇数时,展开式中第n+12项和第n+32项的二项式系数最大,最大值为C2.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般采用“增减性”分析法.记各项系数为f(r),当f(r)>0时,可用f(r+1)f(r)>1(或<1)来分析系数的增减情况,从而获得最大值.当f(r)存在小于0时,可先考虑|f训练3(1)(2025·重庆模拟)已知(1+3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79,则展开式中系数最大的项为()A.第7项 B.第8项C.第9项 D.第10项答案D解析由(1+3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79,得Cn0+Cn1+Cn2整理得n2+n-156=0,解得n=12(负值舍去),所以(1+3x)12的展开式的通项为Tk+1=C12k·(3x)k=C12k·3kxk(k=0,1,记各项系数为f(k)=C12k·3k(k=0,1,2,…,由f(k+1)f(k)=C故当k=0,1,2,…,8时,f(k+1)>f(k);k=9,10,…,12时,f(k+1)<f(k),即f(0)<f(1)<…<f(9)>f(10)>f(11)>f(12),即f(9)最大,即第10项的系数最大.(2)若展开式3x+12xn中只有第5答案7解析由题意得n=8,所以展开式中第k+1项为Tk+1=C8k(3x)8-k1令8-4k3=0,得k故常数项为C82·从增减性看系数的最值1.教材母题(1)(人教A选修三P38T1(7))(1+x)2n的展开式中,系数最大的项是第项.

(2)(湘教选修一P208T15)已知(1+2x)n=n∑k=0Cnk(2x)k=n∑k=0akxk(n∈N+).若(1+2x)n的展开式中末三项的二项式系数的和为92,试判断展开式系数组成的数列a2.教材中在讨论二项式系数的变化时,通常比较Cnk与Cnk-1的大小关系(比如人教A版P33),确定f(r)=Cnr(r∈{0,1,2,3,…,n})的增减情况,从而分析出系数在何时最大,何时最小典例(2024·全国甲卷)13+x10的展开式中,答案5解析13Tr+1=C10r1310-rxr,记各项系数为f(r)=C10r1310-r,r=0由f(r+1)f(r得r>294=7.25同理,由f(r+1)f(所以当r<7.25时,f(r+1)>f(r),递增;当r>7.25时,f(r+1)<f(r),递减,即f(0)<f(1)<…<f(8)>f(9)>f(10),各项系数中最大值为f(8)=C1081一、单选题1.(2024·赣州段考)x-2x8的展开式中含x5A.-112 B.112C.-28 D.28答案B解析由二项式定理可得x-2x8的展开式的通项为Tr+1=C8rx8-r-2xr=(-2)rC8r令8-32r=5,解得r=2所以含x5项的系数是(-2)2C82.(2025·苏锡常镇调研)设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a2+…+a5=()A.-2 B.-1 C.242 D.243答案C解析在(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5中,令x=0,得15=a0,所以a0=1;令x=1,得35=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=35-a0=242.3.(2025·昆明诊断)在(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,含x2的项的系数是()A.16 B.19 C.21 D.24答案B解析(1+x)3展开式的通项是C3r13-rx令r=2可得C32·1·x2=3x(1+x)4展开式的通项是C4r14-rx令r=2可得C42·12·x2=6x(1+x)5展开式的通项是C5r15-rx令r=2可得C52·13·x2=10x所以(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,含x2的项为3x2+6x2+10x2=19x2,系数为19.4.(2025·遂宁诊断)已知2x+1xn的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等A.212 B.312C.310 D.210答案C解析因为2x+1xn,且第3项与第9项的二项式系数相等,所以Cn2取x=1,所以所有项的系数之和为310.5.(x-2y+3z)6的展开式中x3y2z的系数为()A.-60 B.240 C.-360 D.720答案D解析展开式中的x3y2z项可以看成6个因式(x-2y+3z)中,其中3个取x,剩下的3个因式中2个取(-2y),最后一个取3z,即得到C63·x3·C32·(-2y)2(3z)=720x3所以展开式中x3y2z项的系数为720.6.(2025·温州测试)已知(x+x2)4=a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,,则()A.a4=a5 B.a5=a6C.a6=a7 D.a5=a7答案D解析法一由于(x+x2)4的展开式中各项系数恰好为相应二项式系数,因此a4=C40,a5=C41,a6=C42,a7=C所以a5=a7.法二在等式(x+x2)4=a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8两边同除以x4,有(1+x)4=a4+a5x+a6x2+a7x3+a8x4,由二项式系数的性质得a5=a7=4.7.(2025·咸阳质检)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a5|等于()A.1 B.243C.121 D.122答案B解析令x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1,①令x=-1,得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243,②由①+②,得2(a4+a2+a0)=-242,即a4+a2+a0=-121.由①-②,得2(a5+a3+a1)=244,即a5+a3+a1=122.所以|a0|+|a1|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=122+121=243.8.利用二项式定理计算0.996,则其结果精确到0.001的近似值是()A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943答案B解析0.996=(1-0.01)6=C60×1-C61×0.01+C62×0.012-C63×0.01=1-0.06+0.0015-0.00002+…+0.016≈0.941.二、多选题9.(2025·青岛质检)已知41x+3x2nA.n=9B.展开式中所有项的系数和为1024C.二项式系数最大的项为中间项D.含x3的项是第7项答案BCD解析41x+3x2n的展开式的第三项为T3=Cn2所以第三项的系数为Cn2=45,所以n=10,故A所以二项式为41令x=1得展开式中所有项的系数和为210=1024,故B正确;展开式中共有11项,则二项式系数最大的项为中间项,故C正确;通项公式为Tk+1=C=C10kx令11k-3012=3,解得所以含x3的项是第7项,故D正确.10.若(3x-2)2026=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2026x2026(x∈R),则()A.a0=-22026B.a0+a2+a4+…+a2026=1+C.a1+a3+a5+…+a2025=-D.a13+a232+a333+…答案BD解析对于A,当x=0时,a0=(-2)2026=22026,A错误;对于B,C,当x=1时,a0+a1+a2+a3+…+a2026=12026=1,当x=-1时,a0-a1+a2-a3+…-a2025+a2026=52026,所以a0+a2+a4+…+a2026=1+5a1+a3+a5+…+a2025=1-520262,所以B正确,对于D,当x=13时,3×13-22026=a0+a13所以a13+a232+a333+…+a202632026=(-1)2026-a11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示,由杨辉三角的左腰上的各数出发,引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,….以下关于杨辉三角的猜想中正确的是()A.由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想CnmB.由“在相邻两行中,除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想Cn+1r=C.第9条斜线上各数之和为55D.在第n(n≥5)条斜线上,各数从左往右先增大后减小答案ABD解析根据二项式系数的性质,结合杨辉三角即可得Cnm=Cnn-m,Cn+1r=Cn第1条斜线上的数为C00,第2条斜线上的数为C10,第3条斜线上的数为C20,C11,第4条斜线上的数为C30,C21,第5条斜线上的数为C40,C31,C22,第6由此,归纳得到,第2n(n∈N*)条斜线上的数依次为C2n-10,C2n-21,C2n-32,…,Cnn-1,第(2所以第9条斜线上各数为C80,C71,C62,C53,C44,=1+7+15+10+1=34,故C错误;在第n(n≥5)条斜线上,各数从左往右先增大后减小,故D正确.三、填空题12.(2022·新高考Ⅰ卷)1-yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(用数字作答答案-28解析(x+y)8展开式的通项Tr+1=C8rx8-ryr,r=0,1,…,7令r=6,得T6+1=C86x2y令r=5,得T5+1=C85x3y所以1-yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为C86-13.设a∈Z,且0≤a≤13,若512026+a能被13整除,则a等于.

答案12解析因为a∈Z,且0≤a≤13,所以512026+a=(52-1)2026+a=C20260·522026-C20261·522025+C20262·522024-…-C因为512026+a能被13整除,所以C20262026+a=1+a能被13又0≤a≤13,所以a=12.14.(2023·上海卷)已知(1+2023x)100+(2023-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,其中a0,a1,a2,…,a100∈R,若0≤k≤100且k∈N,当ak<0时,k的最大值为.

答案49解析xk的系数为ak=C100k2023k+C100k2023100-k·=C100k2023k[1+2023100-2k(-1)k],k=0,1,2,…,要使ak<0,则k必为奇数,且2023100-2k>1,∴100-2k>0,即k<50,∴k的最大值为49.四、解答题15.在①只有第5项的二项式系数最大;②第4项与第6项的二项式系数相等;