2026年天津市初中数学第8章方程知识点巩固习题

2026年天津市初中数学第8章方程知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.下列关于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac的说法中，正确的是（）A.当△>0时，方程有两个不相等的实数根B.当△=0时，方程有两个相等的实数根C.当△<0时，方程有两个虚数根D.以上说法均正确解析：一元二次方程的根的判别式△=b²-4ac决定了方程根的性质。当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根，而是有两个共轭虚数根。因此，选项A、B、C均正确，选项D“以上说法均正确”是正确答案。2.解方程x²-6x+9=0，下列解法中正确的是（）A.将方程变形为(x-3)²=0，解得x=3B.使用求根公式x=-b±√△/2a，解得x=3C.将方程分解为(x-1)(x-5)=0，解得x=1或x=5D.以上解法均正确解析：方程x²-6x+9=0可以写成(x-3)²=0，因此x=3是该方程的唯一解。选项A正确；选项B中求根公式适用于任意一元二次方程，但计算过程错误，正确公式应为x=-b±√△/2a，代入系数a=1，b=-6，c=9，△=(-6)²-4×1×9=0，解得x=3；选项C错误，方程应分解为(x-3)²=0；选项D错误，因为选项B和C不正确。正确答案为A。3.若关于x的方程kx²-2x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A.1B.-1C.2D.0解析：根据根的判别式，方程kx²-2x+1=0有两个相等的实数根当且仅当△=0。代入系数a=k，b=-2，c=1，得到△=(-2)²-4×k×1=4-4k=0，解得k=1。因此，正确答案为A。4.若方程x²+mx-6=0的一个根是2，则m的值是（）A.1B.-1C.2D.-2解析：根据方程根的定义，若x=2是方程x²+mx-6=0的根，则将x=2代入方程得到2²+m×2-6=0，即4+2m-6=0，解得m=1。因此，正确答案为A。5.已知方程x²-px+q=0的两个根分别为3和-1，则p和q的值分别是（）A.p=2，q=-3B.p=-2，q=3C.p=2，q=3D.p=-2，q=-3解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程x²-px+q=0的两个根为α和β，则p=α+β，q=αβ。已知两个根为3和-1，因此p=3+(-1)=2，q=3×(-1)=-3。因此，正确答案为A。6.若方程x²+2x+k=0没有实数根，则k的取值范围是（）A.k>1B.k<1C.k≥1D.k≤1解析：方程x²+2x+k=0没有实数根当且仅当△<0。代入系数a=1，b=2，c=k，得到△=2²-4×1×k=4-4k<0，解得k>1。因此，正确答案为A。7.若方程x²-4x+c=0的两个根的平方和为10，则c的值是（）A.2B.-2C.6D.-6解析：设方程x²-4x+c=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=4，αβ=c。根据题意，α²+β²=10。利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=4²-2c=16-2c=10，解得c=3。因此，正确答案为C。8.若方程x²+mx+n=0的两个根的差的绝对值为2，则m²-4n的值是（）A.4B.-4C.8D.-8解析：设方程x²+mx+n=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=n。根据题意，|α-β|=2。利用根的差的公式，|α-β|=√△/|a|=√(m²-4n)/1=2，平方后得到m²-4n=4。因此，正确答案为A。9.若方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，则k的取值范围是（）A.k>1B.k<1C.0<k<1D.k≥1解析：方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，需要满足以下条件：10.方程有两个实数根，即△≥0；11.两个根的和为正，即α+β>0；12.两个根的积为正，即αβ>0。代入系数a=1，b=-2，c=k，得到△=(-2)²-4×1×k=4-4k≥0，解得k≤1。根据根与系数的关系，α+β=-(-2)/1=2>0，αβ=k>0，因此k>0。综合以上条件，0<k≤1。因此，正确答案为C。13.若方程x²+px+q=0的两个根的倒数和为1，则p和q的值分别是（）A.p=2，q=1B.p=-2，q=1C.p=2，q=-1D.p=-2，q=-1解析：设方程x²+px+q=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-p，αβ=q。根据题意，1/α+1/β=1。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-p/q=1，解得p=-q。又因为αβ=q，因此q²=-p。代入p=-q，得到q²=-(-q)，即q²=q，解得q=1（q=0不符合方程根的定义）。因此p=-1。因此，正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若方程x²-5x+c=0的两个根的差为3，则c的值是________。解析：设方程x²-5x+c=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=5，|α-β|=3。利用根的差的公式，|α-β|=√△/|a|=√(25-4c)/1=3，平方后得到25-4c=9，解得c=4。2.若方程x²+mx-6=0的一个根是-2，则另一个根是________。解析：设方程x²+mx-6=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-6。已知α=-2，因此-2+β=-m，-2β=-6，解得β=3，m=1。3.若方程x²-px+q=0的两个根分别为2和3，则方程x²-px+q-6=0的两个根是________和________。解析：根据根与系数的关系，方程x²-px+q=0的两个根为2和3，因此p=2+3=5，q=2×3=6。方程x²-px+q-6=0可以写成x²-5x=0，即x(x-5)=0，解得x=0或x=5。4.若方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为10，且m=2，则n的值是________。解析：设方程x²+mx+n=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m=-2，αβ=n。根据题意，α²+β²=10。利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=(-2)²-2n=4-2n=10，解得n=-3。5.若方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是________。解析：根据根的判别式，方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根当且仅当△=0。代入系数a=1，b=-4，c=c，得到△=(-4)²-4×1×c=16-4c=0，解得c=4。6.若方程x²+mx-5=0的两个根的倒数和为1/2，则m的值是________。解析：设方程x²+mx-5=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-5。根据题意，1/α+1/β=1/2。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/(-5)=1/2，解得m=5/2。7.若方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，则k的取值范围是________。解析：方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，需要满足以下条件：8.方程有两个实数根，即△≥0；9.两个根的和为正，即α+β>0；10.两个根的积为正，即αβ>0。代入系数a=1，b=-2，c=k，得到△=(-2)²-4×1×k=4-4k≥0，解得k≤1。根据根与系数的关系，α+β=-(-2)/1=2>0，αβ=k>0，因此k>0。综合以上条件，0<k≤1。11.若方程x²+px+q=0的两个根的差的平方为4，则p²+4q的值是________。解析：设方程x²+px+q=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-p，αβ=q。根据题意，(α-β)²=4。利用根的差的平方公式，(α-β)²=(α+β)²-4αβ=p²-4q=4，解得p²-4q=4，因此p²+4q=8。12.若方程x²-3x+c=0的两个根的平方和为7，则c的值是________。解析：设方程x²-3x+c=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=3，αβ=c。根据题意，α²+β²=7。利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=3²-2c=9-2c=7，解得c=1。13.若方程x²+mx+n=0的两个根的倒数和为1，则m²-4n的值是________。解析：设方程x²+mx+n=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=n。根据题意，1/α+1/β=1。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/n=1，解得m=-n。又因为αβ=n，因此n²=-m。代入m=-n，得到n²=-(-n)，即n²=n，解得n=1（n=0不符合方程根的定义）。因此m=-1。根据根的判别式，△=m²-4n=(-1)²-4×1=-3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若方程x²-5x+c=0的两个根的平方和为10，则c的值是4。（）解析：设方程x²-5x+c=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=5，α²+β²=10。利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=5²-2c=25-2c=10，解得c=7.5。因此，该命题错误。2.若方程x²+mx-6=0的一个根是-2，则另一个根是3。（）解析：设方程x²+mx-6=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-6。已知α=-2，因此-2+β=-m，-2β=-6，解得β=3，m=1。因此，该命题正确。3.若方程x²-px+q=0的两个根分别为2和3，则方程x²-px+q-6=0的两个根是0和5。（）解析：根据根与系数的关系，方程x²-px+q=0的两个根为2和3，因此p=2+3=5，q=2×3=6。方程x²-px+q-6=0可以写成x²-5x=0，即x(x-5)=0，解得x=0或x=5。因此，该命题正确。4.若方程x²+mx+n=0的两个根的倒数和为1，则m²-4n的值是-3。（）解析：设方程x²+mx+n=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=n。根据题意，1/α+1/β=1。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/n=1，解得m=-n。又因为αβ=n，因此n²=-m。代入m=-n，得到n²=-(-n)，即n²=n，解得n=1（n=0不符合方程根的定义）。因此m=-1。根据根的判别式，△=m²-4n=(-1)²-4×1=-3。因此，该命题正确。5.若方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是4。（）解析：根据根的判别式，方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根当且仅当△=0。代入系数a=1，b=-4，c=c，得到△=(-4)²-4×1×c=16-4c=0，解得c=4。因此，该命题正确。6.若方程x²+mx-5=0的两个根的倒数和为1/2，则m的值是5/2。（）解析：设方程x²+mx-5=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-5。根据题意，1/α+1/β=1/2。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/(-5)=1/2，解得m=5/2。因此，该命题正确。7.若方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，则k的取值范围是0<k≤1。（）解析：方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，需要满足以下条件：8.方程有两个实数根，即△≥0；9.两个根的和为正，即α+β>0；10.两个根的积为正，即αβ>0。代入系数a=1，b=-2，c=k，得到△=(-2)²-4×1×k=4-4k≥0，解得k≤1。根据根与系数的关系，α+β=-(-2)/1=2>0，αβ=k>0，因此k>0。综合以上条件，0<k≤1。因此，该命题正确。11.若方程x²+px+q=0的两个根的差的平方为4，则p²+4q的值是8。（）解析：设方程x²+px+q=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-p，αβ=q。根据题意，(α-β)²=4。利用根的差的平方公式，(α-β)²=(α+β)²-4αβ=p²-4q=4，解得p²-4q=4，因此p²+4q=8。因此，该命题正确。12.若方程x²-3x+c=0的两个根的平方和为7，则c的值是1。（）解析：设方程x²-3x+c=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=3，αβ=c。根据题意，α²+β²=7。利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=3²-2c=9-2c=7，解得c=1。因此，该命题正确。13.若方程x²+mx+n=0的两个根的倒数和为1，则m²-4n的值是-3。（）解析：设方程x²+mx+n=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=n。根据题意，1/α+1/β=1。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/n=1，解得m=-n。又因为αβ=n，因此n²=-m。代入m=-n，得到n²=-(-n)，即n²=n，解得n=1（n=0不符合方程根的定义）。因此m=-1。根据根的判别式，△=m²-4n=(-1)²-4×1=-3。因此，该命题正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知方程x²-5x+c=0的两个根的差为3，求c的值。解：设方程x²-5x+c=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=5，|α-β|=3。利用根的差的公式，|α-β|=√△/|a|=√(25-4c)/1=3，平方后得到25-4c=9，解得c=4。2.已知方程x²+mx-6=0的一个根是-2，求另一个根和m的值。解：设方程x²+mx-6=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-6。已知α=-2，因此-2+β=-m，-2β=-6，解得β=3，m=1。3.已知方程x²-px+q=0的两个根分别为2和3，求方程x²-px+q-6=0的两个根。解：根据根与系数的关系，方程x²-px+q=0的两个根为2和3，因此p=2+3=5，q=2×3=6。方程x²-px+q-6=0可以写成x²-5x=0，即x(x-5)=0，解得x=0或x=5。4.已知方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为10，且m=2，求n的值。解：设方程x²+mx+n=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m=-2，αβ=n。根据题意，α²+β²=10。利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=(-2)²-2n=4-2n=10，解得n=-3。5.已知方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根，求c的值。解：根据根的判别式，方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根当且仅当△=0。代入系数a=1，b=-4，c=c，得到△=(-4)²-4×1×c=16-4c=0，解得c=4。6.已知方程x²+mx-5=0的两个根的倒数和为1/2，求m的值。解：设方程x²+mx-5=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-5。根据题意，1/α+1/β=1/2。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/(-5)=1/2，解得m=5/2。7.已知方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，求k的取值范围。解：方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，需要满足以下条件：8.方程有两个实数根，即△≥0；9.两个根的和为正，即α+β>0；10.两个根的积为正，即αβ>0。代入系数a=1，b=-2，c=k，得到△=(-2)²-4×1×k=4-4k≥0，解得k≤1。根据根与系数的关系，α+β=-(-2)/1=2>0，αβ=k>0，因此k>0。综合以上条件，0<k≤1。11.已知方程x²+px+q=0的两个根的倒数和为1，求m²-4n的值。解：设方程x²+mx+n=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=n。根据题意，1/α+1/β=1。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/n=1，解得m=-n。又因为αβ=n，因此n²=-m。代入m=-n，得到n²=-(-n)，即n²=n，解得n=1（n=0不符合方程根的定义）。因此m=-1。根据根的判别式，△=m²-4n=(-1)²-4×1=-3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知方程x²-5x+c=0的两个根的平方和为10，求c的值。解：设方程x²-5x+c=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=5，α²+β²=10。利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=5²-2c=25-2c=10，解得c=7.5。2.已知方程x²+mx-6=0的一个根是-2，求另一个根和m的值。解：设方程x²+mx-6=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-6。已知α=-2，因此-2+β=-m，-2β=-6，解得β=3，m=1。3.已知方程x²-px+q=0的两个根分别为2和3，求方程x²-px+q-6=0的两个根。解：根据根与系数的关系，方程x²-px+q=0的两个根为2和3，因此p=2+3=5，q=2×3=6。方程x²-px+q-6=0可以写成x²-5x=0，即x(x-5)=0，解得x=0或x=5。4.已知方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为10，且m=2，求n的值。解：设方程x²+mx+n=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m=-2，αβ=n。根据题意，α²+β²=10。利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=(-2)²-2n=4-2n=10，解得n=-3。5.已知方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根，求c的值。解：根据根的判别式，方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根当且仅当△=0。代入系数a=1，b=-4，c=c，得到△=(-4)²-4×1×c=16-4c=0，解得c=4。6.已知方程x²+mx-5=0的两个根的倒数和为1/2，求m的值。解：设方程x²+mx-5=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-5。根据题意，1/α+1/β=1/2。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/(-5)=1/2，解得m=5/2。7.已知方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，求k的取值范围。解：方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，需要满足以下条件：8.方程有两个实数根，即△≥0；9.两个根的和为正，即α+β>0；10.两个根的积为正，即αβ>0。代入系数a=1，b=-2，c=k，得到△=(-2)²-4×1×k=4-4k≥0，解得k≤1。根据根与系数的关系，α+β=-(-2)/1=2>0，αβ=k>0，因此k>0。综合以上条件，0<k≤1。11.已知方程x²+px+q=0的两个根的倒数和为1，求m²-4n的值。解：设方程x²+mx+n=0的两个根为α和β，根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=n。根据题意，1/α+1/β=1。利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/n=1，解得m=-n。又因为αβ=n，因此n²=-m。代入m=-n，得到n²=-(-n)，即n²=n，解得n=1（n=0不符合方程根的定义）。因此m=-1。根据根的判别式，△=m²-4n=(-1)²-4×1=-3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.A3.A4.A5.A6.A7.C8.A9.C10.B二、填空题1.42.33.0和54.-35.46.5/27.0<k≤18.89.110.-3三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.c=42.另一个根为3，m=13.方程x²-px+q-6=0的两个根是0和54.n=-35.c=46.m=5/27.0<k≤18.m²-4n=-3五、应用题1.c=7.52.另一个根为3，m=13.方程x²-px+q-6=0的两个根是0和54.n=-35.c=46.m=5/27.0<k≤18.m²-4n=-3【解析】9.单选题解析：-1.根的判别式决定了方程根的性质，因此D正确。-2.方程x²-6x+9=0可以写成(x-3)²=0，因此x=3是唯一解，A正确。-3.根的判别式△=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，因此k=1。-4.将x=-2代入方程x²+mx-6=0得到4-2m-6=0，解得m=1。-5.根据根与系数的关系，p=α+β=3+2=5，q=αβ=3×2=6。-6.根的判别式△=b²-4ac=4-4k<0，解得k>1。-7.利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=6²-2c=36-2c=10，解得c=13。-8.利用根的差的平方公式，(α-β)²=(α+β)²-4αβ=6²-4q=36-4q=4，解得q=8。-9.方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，需要满足△≥0，α+β>0，αβ>0，解得0<k≤1。-10.利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/n=1，解得m=-n，代入αβ=n，得到n²=-m，解得n=1，m=-1。10.填空题解析：-1.利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=5²-2c=25-2c=10，解得c=7.5。-2.根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-6。已知α=-2，因此-2+β=-m，-2β=-6，解得β=3，m=1。-3.根据根与系数的关系，p=α+β=3+2=5，q=αβ=3×2=6。方程x²-px+q-6=0可以写成x²-5x=0，即x(x-5)=0，解得x=0或x=5。-4.利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=(-2)²-2n=4-2n=10，解得n=-3。-5.根据根的判别式，方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根当且仅当△=0。代入系数a=1，b=-4，c=c，得到△=(-4)²-4×1×c=16-4c=0，解得c=4。-6.利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/(-5)=1/2，解得m=5/2。-7.方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，需要满足△≥0，α+β>0，αβ>0，解得0<k≤1。-8.利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/n=1，解得m=-n，代入αβ=n，得到n²=-m，解得n=1，m=-1。根据根的判别式，△=m²-4n=(-1)²-4×1=-3。11.判断题解析：-1.α²+β²=(α+β)²-2αβ=5²-2c=25-2c=10，解得c=7.5，因此错误。-2.根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=-6。已知α=-2，因此-2+β=-m，-2β=-6，解得β=3，m=1，因此正确。-3.根据根与系数的关系，p=α+β=3+2=5，q=αβ=3×2=6。方程x²-px+q-6=0可以写成x²-5x=0，即x(x-5)=0，解得x=0或x=5，因此正确。-4.利用平方和公式，α²+β²=(α+β)²-2αβ=(-2)²-2n=4-2n=10，解得n=-3，因此正确。-5.根据根的判别式，方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根当且仅当△=0。代入系数a=1，b=-4，c=c，得到△=(-4)²-4×1×c=16-4c=0，解得c=4，因此正确。-6.利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/(-5)=1/2，解得m=5/2，因此正确。-7.方程x²-2x+k=0的两个根都是正数，需要满足△≥0，α+β>0，αβ>0，解得0<k≤1，因此正确。-8.利用倒数和公式，1/α+1/β=(α+β)/αβ=-m/n=1，解得m=-n，代入αβ=n，得到n²=-m，解得n=1，m=-1。根据根的判别式，△=m²-4n=(-1)