第六章必刷小题11数列

必刷小题11数列[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.已知数列{an}为等差数列，且a1+a4+a6+a8+a11=80，则log2(a5+a7)的值为()A.4 B.5 C.6 D.3答案B解析由等差数列的性质，可得a1+a4+a6+a8+a11=5a6=80，解得a6=16，所以log2(a5+a7)=log2(2a6)=log232=5.2.已知数列{an}的前n项和Sn=n3-2n+sinn2π，则a6A.66 B.77 C.88 D.99答案C解析由Sn=n3-2n+sinn2π可得S6=63-12+sin3π=216-12=204S5=53-10+sin52π=125-10+1=116故a6=S6-S5=204-116=88.3.(2025·济宁模拟)已知{an}为等比数列，且a1=1，则“a5=2”是“a9=4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析由题意知，{an}为等比数列，当a5=2时，得a1a9=a52=4，所以a9当a9=4时，a52=a1a9=4，解得a5=±又a1，a5，a9同号，所以a5=2，故必要性成立.所以“a5=2”是“a9=4”的充要条件.4.(2025·泰安模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a5+3a6+2a9=49，则S11等于()A.44 B.33 C.66 D.77答案D解析因为a1+a5+3a6+2a9=2a5+2a7+3a6=7a6=49，所以a6=7，S11=11(a1+a5.已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1等于()A.1 B.4 C.12 D.36答案C解析由题意可得，{an}的所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和S偶的4倍，所以S奇+S偶=4S偶，故S偶=13S奇设等比数列{an}的公比为q，该等比数列共有2k(k∈N*)项，则S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=13S奇所以q=13因为a23=a1a2a3=64，可得a2因此a1=a26.(2025·郑州模拟)某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将开始低于购进价值的5%，设备将报废.则d的取值范围为()A.(0，20.9] B.(19，20.9]C.(19，+∞) D.(20.9，+∞)答案B解析设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}.由已知条件，得an=an-1-d(n≥2).由于d是与n无关的常数，∴数列{an}是一个公差为-d的等差数列.∵购进设备的价值为220万元，∴a1=220-d，于是an=a1+(n-1)(-d)=220-nd.根据题意，得a即220−10解得19<d≤20.9.∴d的取值范围为(19，20.9].7.(2026·宁波模拟)已知数列{an}，a2=1，记Sn为{an}的前n项和，2Sn=nan，则a2026的值为()A.2024 B.2025C.2026 D.2027答案B解析在数列{an}中，满足2Sn=nan，当n≥3时，可得2Sn-1=(n-1)an-1，两式相减，可得2an=nan-(n-1)an-1，即(n-2)an=(n-1)an-1，所以anan−1=n−1又由a2=1，则a2026=a2×a3a2×a4a3×…×a2026a2025=18.(2025·永州模拟)如果数列{an}对任意的n∈N*，都有an+2+an>2an+1成立，则称{an}为“速增数列”.若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1=1，a2=3，ak=2026，则正整数k的最大值为()A.62 B.63 C.64 D.65答案B解析由题干条件an+2+an>2an+1，即an+2-an+1>an+1-an，也即数列{an}的相邻两项之差单调递增，要使得正整数k最大，则数列{an}的增长尽可能缓慢，即需要让相邻两项差值尽可能小，又an∈Z，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，因为a2-a1=3-1=2，则a3-a2=3>a2-a1=2，a4-a3=4>a3-a2=3，…，所以an+1-an=n+1，采用累加法得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)2(令ak=k(k+1)2=2026，即k2+k解得k=−1+162092≈当k=63时，a63=63×642=2016<2当k=64时，a64=64×652=2080>2综上，正整数k的最大值为63.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=4Sn，则()A.S2=5B.a2026=25a2024C.数列{an}是等比数列D.数列{Sn}是等差数列答案AB解析对于A，由an+1=4Sn，得a2=4S1=4a1=4，∴S2=a1+a2=5，A正确；对于B，an+1=4Sn， ①当n≥2时，an=4Sn-1， ②①-②得，an+1-an=4Sn-4Sn-1=4an，∴an+1=5an，n≥2，∴a2026=5a2025=25a2024，B正确；对于C，当n≥2时，an+1=5an，但a2=4a1，不满足上式，∴数列{an}不是等比数列，C错误；对于D，由an+1=4Sn，即Sn+1-Sn=4Sn，∴Sn+1=5Sn，∴数列{Sn}是等比数列，不是等差数列，D错误.10.(2025·天津模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知a3=12，S12>0，a7<0，则()A.S5=60B.d的取值范围为−4，−C.a6>0D.当Sn<0时，n的最小值为14答案AC解析由题意，S12=12·(a1+a12)2=12·(a6+a7)2>0⇒a6+而S13=13·(a1+a13)2又a7=a3+4d=12+4d<0，而S5=5a3=60，A正确.11.(2026·绵阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有()A.若{an}是等比数列，S2=2，S4=8，则S6=16B.若an=2n-11，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|=61C.若{an}是等差数列，a1=-2026，若S1010-S88=2，则S2D.若a1=1，an=Sn+Sn−1(n≥2)，则答案BCD解析对于A，因为{an}是等比数列，S2=2≠0，所以S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，所以(S4-S2)2=S2(S6-S4)，即(8-2)2=2×(S6-8)，解得S6=26，故A错误；对于B，因为an=2n-11，所以an+1-an=2(n+1)-11-(2n-11)=2，所以{an}是等差数列，由an=2n-11<0得n<112所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|=-(a1+a2+…+a5)+(a6+a7+…+a11)=-5×(a1+a5)2+对于C，设等差数列{an}的公差为d，因为a1=-2026，所以S1010-S88=10(a1+a所以S2026=2026×(-2026)+2026×20252×2=-2026对于D，因为an=Sn+Sn−1(n≥2)，Sn所以Sn-Sn-1=Sn+Sn−1(n所以Sn-Sn−1=1(n≥2)，又a所以Sn是首项为1，公差为1所以Sn=1+(n-1)×1=n所以Sn=n2，所以a50=S50-S49=502-492=99，故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.(湘教版选择性必修第一册P35习题1.3T7改编)在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6=3，则log3a1+log3a2+log3a8+log3a9=.答案4解析由a4a5a6=3得a53∴a5=313，log3a1+log3a2+log3a8+log3=log3(a1·a2·a8·a9)=log3a54=13.已知数列{an}，a1=1，a2=2，且an与an+1满足的关系是an+1-n=an-1(n≥2，n∈N*)，则{an}的通项公式为.答案an=1，解析根据题意，当n≥2时，an+1-an=n-1，可得当n≥3时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=(n-2)+(n-3)+…+1+2=(n−2)(n又当n=1时，a1=1不满足上式，当n=2时，a2=2满足上式，故an=1，14.在数列{an}中，a1=3，3a1a2+3a2a3+…+3anan+1=1+12+13+…+1n+n2(n∈N答案320解析因为a1=3，3a1a2+3a2a3+…+3anan+1=1+12所以当n≥2时，有3a1a2+3a2a3+…+3an−1两式相减可得3anan+1=1即当n≥2时，an+1a当n=1时，3a1a2=1+12=3则a2=6，故a2a所以当n≥2时，an=anan−1·an−1an−2·…·a2a1·a1而a1=3也满足该式，故an=6n由于λan≥4n⇒λ≥23nn(n令cn=2