线性代数线性方程组第三章线性方程组

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法

一.线性方程组的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齐次线性方程组(homogeneous~)(systemoflinearequations)解(tosolve,solution)相容(consistent)非齐次线性方程组(nonhomogeneous~)

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法设A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

Ax=b.x=x1x2…xn,解向量(solutionvector),

则解集(solutionset),

同解(havingthesamesetofsolutions)

vectorofunknownsvectorofconstants

§3.1线性方程组和Gauss消元法称A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn为(3.1)的系数矩阵

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm为(3.1)的增广矩阵

第三章线性方程组(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).

§3.1线性方程组和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=01/21对换变换(swapping)

倍乘变换(rescaling)

倍加变换(pivoting)

阶梯形方程组(echelonform)

第三章线性方程组

§3.1线性方程组和Gauss消元法x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=0阶梯形(echelonform)(2)x1=5x3+1x2

=

2x3

2

x3

=

x3(任意)

最简形(reducedechelonform)

或写成向量形式由此可得原方程组的通解(generalsolution)

x=5c+12c

2c

,其中c为任意数.第三章线性方程组

§3.1线性方程组和Gauss消元法1.线性方程组的初等变换

第三章线性方程组对换变换(swapping)(elementaryreductionoperations/rowoperations/Gaussianoperations)倍乘变换(rescaling)倍加变换(pivoting)注:倍乘变换必须用非零的数去乘某一个方程(multiplyingbya

nonzeroscalar).

§3.1线性方程组和Gauss消元法2.阶梯形线性方程组的有三中基本类型.2x1+3x2

x3=1

2x2+x3=2

0=1x1

x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3第三章线性方程组例如:leadingvariablesfreevariables

§3.1线性方程组和Gauss消元法3.阶梯阵的形状与线性方程组的解.2x1+3x2

x3=1

2x2+x3=2

0=1x1

x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0无解有唯一解有无数解2

3

41

021

200012

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

第三章线性方程组

§3.1线性方程组和Gauss消元法例1.设有线性方程组问

为何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解:对其增广矩阵[A,b]作初等行变换,化为阶梯形.第三章线性方程组

§3.1线性方程组和Gauss消元法1+

11011+

13111+

[A,b]=111+

11+

131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+

)

(1+

)(1

)111+

0

3

00

(3+

)(1

)(3+

)1第三章线性方程组

§3.1线性方程组和Gauss消元法111+

0

3

00

(3+

)(1

)(3+

)(1)当

0且

3时,方程组有唯一解;(2)当

=0时,方程组无解;(3)当

=3时,方程组有无穷多解.此时111+

0

3

00

(3+

)(1

)(3+

)112

3033

60000=112

3011

20000101

1011

20000(1)()13第三章线性方程组

§3.1线性方程组和Gauss消元法101

1011

20000令x3=c,则x1x2x3(c为任意实数).1

11=c

120+由此可得原方程组的通解x1=x3

1x2

=

x3

2

x3

=

x3(任意)

因而原方程组化为x1

x3=

1x2

x3

=

2