广东省广州市2026届高三12月调研测试数学试题（含答案）

广东省广州市2026届高三12月调研测试数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=i2+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合A={1,3,4},B={1,a+2},则“a=2”是“A∪B=A”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.假设某次考试的成绩服从正态分布N(85,9²).如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线约为(若X~N(μ,σ²),则P(μ-σ＜X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ＜X≤μ+2σ)≈0.95)A.76 B.88 C.94 D.1034.由曲线x2A.π4 B.π2 C.π D.5.已知α，β都是第二象限角，且tanα=m,tanβ=1m,则sin(α+A.-1 B.1 C.m² D.−6.已知△ABC的外接圆圆心为O，且OA+OB=OC,则A.32CA B.−32CA C.7.有编号为1，2，3的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有A.26种 B.32种 C.38种 D.44种8.记[x]表示不小于x的最小整数，例如|[-1.5]=-1,[1.5]=2.奇函数f(x)满足当x＜0时,fx=x2+ax（a＞0）.若关于x的方程f(xA.(0,2] B.3283 C.132∪283D.(二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数fx=A.φ=−B.f(x)在区间2πC.f(x)的图象关于直线x=8πD.将f(x)的图象向右平移π/9个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)为奇函数10.已知O为坐标原点，抛物线(C:y2=2pxp0)的焦点为F,点B(-2,0)在C的准线上,过A.p=4 B.⋅ON=20 C.∣MB∣11.已知函数.fx=maxm0,a＞1),过点A₁(x₁,f(x₁))作曲线y=f(x)的切线交x轴于点B₁(x₂,0),过点A₂(x₂,f(x₂))作曲线y=f(x)的切线交x轴于点B₂(x₃,0),依此类推,得到An(xn,f(xnA、数列{xn}是等差数列 B.当a＞3e且xnC∣AnBn∣⋅∣An+2Bn+2∣＜∣An+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数f(x)=lg(10ˣ+1)-ax是偶函数，则实数a=.13.某校高三年级举行4×100米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是.14.已知同底的两个正六棱锥P-ABCDEF和Q-ABCDEF的顶点都在同一个球面上.若正六棱锥P-ABCDEF的侧面与底面所成角为60°，则正六棱锥Q-ABCDEF的侧棱与底面所成角的正切值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c(1)求角A的大小；(2)若B=π12,△ABC的面积16.(15分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⟂(1)当λ=12时,求证:EF∥平面BCC₁B(2)当λ为何值时，EF的长最小，并求其最小值；(3)当EF的长最小时，求平面AEF与平面.BCC17.(15分)已知函数f(x)=(ax-1)eˣ.(1)当a≥0时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时，不等式f(x)＜kx-2没有正整数解，求实数k的取值范围.18.(17分)已知椭圆I:x2a2+y2b2=1(1)求Γ的方程;(2)点P为椭圆Γ在第一象限上任一点，直线AP交y轴于点C，直线BP交x轴于点D.(i)若四条直线AP,BP,AB,CD的斜率分别记为k1,k(ii)记△PCD的面积为S₁,四边形ABDC的面积为S₂,求S1S19.(17分)已知数列{an}为无穷数列，前n项和为Sn.(1)若a1=1,(2)是否存在等差数列{an}，使Sn(3)若数列{an}为等比数列，公比为q，且满足Sn＜a参考答案1-8【答案】C【答案】B【答案】C【答案】B【答案】A【答案】D【答案】C【答案】D9.【答案】AC10.【答案】ABD11.【答案】ABD12.【答案】113.【答案】114.【答案】215.1∴cS16.(1)分别取BC,BB1中点G,H,连接EG,FH,∵λ=12时,E,F分别为AC,四边形EFHG为平行四边形，∴EF‖GH∵EF⊄平面BCC₁B₁,GH⊂平面BCC₁B₁,∴EF∥平面BCC₁B₁（2）过F作.FR⊥AB于点R,∴FR∥A₁A,∴FR⊥平面ABC,连接∴FRAA∴ERBC=λ,∴ER=λ,∴EF=4(3)如图建系，当EF最小时，λ=AE设平面AEF的一个法向量n1=xyn2=010,平面AEF17.1①当a=0时，f'x=−ex＜0,∴②当a＞0时，令f且当x＜1−aa时,f'(x)＜0,当x＞1−aa时，f'(x)＞0,f(2)当a=1时，fx=x−1ex,由f(∴x−1ex≥kx−2对∀x∈N∗恒成立⇒k≤x−1ex+2xmin,x∈N∗18.(1)由题意知∴Γ的方程为x2(2)方法一:(i)设P(2cosθ,sinθ),θ∈(0,π/2),A(-2,0),B(0,-1)∴PA方程:y=sinθ2PB方程:y=sinθ+1∴k在t∈当且仅当t=2方法二：(2)设P(x,y)在第一象限x(i)证明：直线AP的斜率k直线BP的斜率k2=y−−1直线AP:过,A(-2,0),斜率为k1,，故方程令x=0得C直线BP：过B(0,-1),斜率为k2,，故方程令y=0得D:1于是直线CD的斜率为kk故k(ii)由上面已得C0c,c=2yx+2;Dd0,d=xy+1.注意到A(-2,0)与D(d,0)在x轴上,线段AD在x轴上,可用ADS因此S2=1在第一象限且.x＞0,y＞0时可知c＞0,d＞0,且y−c=y−代入c=2yx+即S1由椭圆参数表示第一象限：x=则S1S2则t2S1S2又由柯西不等式：等号当且仅当sint=cost(即t=π4)最大值为当t=π4时取到，此时19.方法一：1∵Sn①−②⇒而a1=1,∴n≥2时，(2)假设存在这样的等差数列，设an公差为dS⇒d2n2当d＞0时,n→+∞时,(*)式左边→+∞与条件矛盾,舍当d=0时，a1n−1＜0不可能对∀n∈N∗恒成立，如n当d＜0时,取n=1,不等式(*)式左边:=-d＞0与条件也矛盾∴不存在这样的等差数列.(3)由Sn＜a①若a1＜0,∴1(i)当q＜-1时,取n为偶数,且n→+∞时,(*)式左边→+∞了,与(*)式矛盾，舍(ii)当q=-1时,取n为偶数,则(*)式左边==2+1-1=2＞0也矛盾，舍(iii)当-1＜q＜0时,当n为偶数时,2−q−⇒当n为奇数时，2−q−1q∴1(iv)当0＜q＜1时,(2−qqn−1＜0对∴只需(2−q②若a1＞0,∴qn−综上：q∈方法二：(1)由题意Sn=a又S1=a1=1并且a(2)设an为等差数列，首项为a₁，公差为D.则a条件Sn＜a移项得S又由n=1时：S当n足够大，存在充分大的n使n−1a1+nn−32d＞0,(3)设等比数列首项a1≠0,公比q≠1条件Sn＜an+1即a由n=1若a1＞0,则1−q＜0⇒q情形一：a1＞0⇒q＞1,此时可直接除以正数a₁等价于q"−要对一切n成立：若q≥2,则若1＜q＜2,则q-2＜0,且qn2−q必存在某个n使qnq−2情形二：a1＜0⇒q＜1,此时除以负数a₁又因q＜1⇒1若0＜q＜1,则0＜qn≤q,且2但有qn若q＜0,令q=-r(r＞0)..则当n为奇数时qn关键在偶数n=2:1＞函数fr=r3+且f5−12=0综上，q∈深度拓展把(1)题改成更一般的递推：若给出Sn=λan+1λ0),同样可推点评：属于数列压轴和推理类型，第一问就设置了小小的陷阱，注意数列并不是等比数列，要检验第一项，最后通项是分段的形式！第二问展示了较强的推理色彩，假设存在这样的等差数列{an}，设其公差为d，改写Sn＜an+1成关于n的一元二次不等式，分(d＞0,d=0和d＜0进行讨论，均可得