初中数学人教版八年级上册 14.3 角的平分线 教学课件

人教版（2024）八年级数学上册第十四章全等三角形14.3角的平分线

学习目标1.能用尺规作图作一个角的平分线，知道作图的理论依据.（重点）2.探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何问题；（难点）3.熟练掌握证明几何命题的一般步骤.

下图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A

放在角的顶点，AB

和AD

沿着角的两边放下，沿AC

画一条射线AE，AE

就是这个角的平分线．你能说明其中的道理吗？思考ADECB

证明：在△ACD和△ACB

中，

∴

△ACD≌△ACB

(SSS)．∴

∠CAD＝∠CAB，∴AC平分∠DAB．这种平分角的方法为我们作已知角的平分线提供了思路．思考从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？角的平分线上的点具有什么特性？

角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的.

可以先看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系．CABOMNP如图，OC

是∠AOB的平分线，P

是OC上的任意一点，M，N

分别是OA，OB上的点，我们研究PM

与PN

的关系．问题1分析研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．可以先考虑当OM与ON满足什么关系时，PM＝PN

．【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？探究新知做一做ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线.仔细观察步骤

作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.半径小于MN或等于MN，可以吗？探究新知反思感悟证明角的平分线的“两种方法”：(1)定义法：应用角的平分线的定义.(2)定理法：应用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定角平分线时需要满足两个条件：“垂直”与“相等”.(1)如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=3

cm，当PD=

cm时，点P在∠AOB的平分线上A.1 B.2C.3 D.4跟踪训练1√已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究新知验证猜想一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.探究新知归纳总结性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA，

PE⊥OB，BADOPEC例证明：

(1)如图，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.3.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

(2)△ABC的三条角平分线交于一点.A

B

C

P

N

M

EDF

(2)由(1)得，点P

到边AB，CA

的距离相等，∴点P

在∠A

的平分线上.∴△ABC

的三条角平分线交于一点.三角形三条角平分线的交点（三角形的内心）到三角形三条边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点（三角形的内心）.归纳例4.如图，在△

ABC中，点O

是∠ABC，∠ACB

的平分线的交点，AB＋BC＋AC=20.过O

作OD⊥BC

于点D，且OD=3，求△ABC

的面积.

课堂练习如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F.求证:EB=FCABCDEF证明：∵AD平分∠BACDE⊥AB

，

DF⊥AC∴DE

＝DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等)在Rt△CDF

和Rt△BDE

中BD=CDDE=DF∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)∴EB=CF（全等三角形对应边相等）要说明一个点在某个角的平分线上，只需要说明这个点到这个角两边的距离相等即可．归纳1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNCOA

B

3.

三条公路将A，