1.1 集合的概念 课件 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1

集合的概念导Q1:方程x2=2有解吗？方程在有理数范围内无解，但在实数范围内有解Q2:所有到定点的距离等于定长的点组成了什么形状？在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面.明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.为了简洁、准确的表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具.为什么要学集合？集合的重要性集合的知识是现代数学的基础，也是高中数学的基础，在后面各章的学习中将越来越多地应用它.看下面的例子：（1）1～10之间的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有的正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；（5）方程x2-3x+2=0的所有实数根；（6）地球上的四大洋.导什么是集合？思考：这些例子都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？一、元素与集合的概念

一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.议集合中的元素具有哪些特征？你能举例说明吗？二、集合中元素的特征

确定性、互异性、无序性三、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.四、元素与集合的关系如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A.五、常用的数集及其记法1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）A,B是平面α内的定点，在平面α内与A,B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.练习（1）1～10之间的所有偶数；（2）方程x2-3x+2=0的所有实数根；（3）地球上的四大洋.议从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合，用大写的拉丁字母表示一个集合，一些常用的数集还有专用的字母表示.除此之外，我们还可以用什么方式表示集合呢？（1）1～10之间的偶数有2，4，6，8集合：{2,4,6,8}（1）1～10之间的所有偶数；（2）方程x2-3x+2=0的所有实数根；（3）地球上的四大洋.议从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合，用大写的拉丁字母表示一个集合，一些常用的数集还有专用的字母表示.除此之外，我们还可以用什么方式表示集合呢？（2）x²−3x+2=0(x−1)(x−2)=0解得x=1或x=2集合：{1,2}（1）1～10之间的所有偶数；（2）方程x2-3x+2=0的所有实数根；（3）地球上的四大洋.议从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合，用大写的拉丁字母表示一个集合，一些常用的数集还有专用的字母表示.除此之外，我们还可以用什么方式表示集合呢？（3）地球上四大洋：太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋集合：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}1、列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.五、集合的表示注意：（1）各元素之间用“，”隔开；（2）集合中的元素不能遗漏，更不能重复（互异性）；（3）元素之间不用考虑先后顺序（无序性）例1用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.展（1）小于10的自然数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9所以集合为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}例1用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.展（2）x²=xx²−x=0x(x−1)=0解得x=0或x=1所以集合为{0,1}思考（1）你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗？（2）你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？（1）大于等于0且小于10的所有3的倍数组成的集合思考（1）你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗？（2）你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？（2）x−7<3x<10不等式的解有无数个，无法一一列出，不能用列举法表示。元素的代表符号2、描述法一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线,写成{x∈A:P(x)或{x∈A;P(x)}.元素的取值范围元素的共同特征奇数集：{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}偶数集：{x∈Z|x=2k,k∈Z}小组合作：用描述法表示奇数集、偶数集、无理数集例2试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.展

例2试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.展（2）描述法：B={x|10<x<20，x∈Z}大于10且小于20的整数：11,12,13,14,15,16,17,18,19列举法：B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}练习3.用适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合；（1）x²−9=0(x+3)(x−3)=0解得x=−3或x=3集合：{−3,3}练习3.用适当的方法表示下列集合：（2）一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合；（2）联立方程组y=x+3y=−2x+6x+3=−2x+63x=3x=1，y=4交点为(1,4)集合：{(1,4)}练习3.用适当的方法表示下列集合：（3）不等式4x-5<3的解集.（3）4x−5<34x<8x<2集合：{x|x<2}思考举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点.自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.既简单明了，通俗易懂，又能清晰的反映出集合当中的所有元素.列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.一般情况下，对于有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点.描述法：用概括集合所有元素的共同特征来表示集合的方法.对于无限既，一般采用描述法.1、什么是集合？集合元素有哪些特征？两个集合相等应满足什么条件？2、元素与集合之间存在什么关系？如何用符号表示？3、常用数集有哪些？分别用什么字母表示？4、集合的表示方法有哪些？各自的优点及适用对象是什么？使用时应注意那些问题？课堂小结

回顾本节课的学习内容，回答下列问题：合作探究·释疑解惑探究

集合中元素的特性及其应用【例1】

已知集合A={a-3，2a-1},若-3∈A,试求实数a的值.解:由-3∈A,知-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0.此时集合A={-3,-1},符合题意;若-3=2a-1,则a=-1.此时集合A={-4,-3},符合题意.综上所述,a=0或a=-1.【例2】

若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,解得x=2.此时集合A={2}.当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等的实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.【探究】

若集合A={x|kx2-8x+16=0