广东省广州市部分学校2027届高三上学期九月检测数学试卷（含答案）

广州市部分学校2027届高三上学期九月检测数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（

）012A． B． C． D．3．已知光通过一块某种玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的以下，则至少需要通过这样的玻璃（参考数据：）（

）A．6块 B．7块 C．8块 D．9块4．命题P：是命题Q：的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要5．已知等比数列的前项和为，其中为展开式中的常数项，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．10 D．不存在6．已知抛物线，过坐标原点O作两条相互垂直的直线分别与抛物线C相交于两点（M，N均与点O不重合）．若直线MN恒过点，则的最小值为（

）A． B．C． D．7．三个相似的圆锥的体积分别为，，，侧面积分别为，，，且，，则实数的最大值为（

）A． B．C． D．8．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，，则（

）A．的共轭复数的虚部为B．C．为纯虚数D．在复平面内，复数所对应的点位于第一象限10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（

）A．B．C．的一个对称中心为D．若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为11．三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆的圆心在的欧拉线上，为坐标原点，点与点在圆上，且满足，则下列说法正确的是（

）A．圆的方程为B．的方程为C．圆上的点到的最大距离为D．若点在圆上，则的取值范围是三、填空题12．如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，则______；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则______．13．一个质点从原点出发，每隔一秒就随机、等可能地向上、下、左、右移动一个单位，共移动次.质点位于点的位置的概率为______；若第秒位于的情况下，该质点共经过两次的位置的概率为______.14．已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是__________.四、解答题15．如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，，.(1)求证：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值；(3)若平面，求平面与平面夹角的余弦值.16．如图，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求面积的最大值；(2)若边上的点D满足，求线段长的最大值．17．如图，用一垂直于某条母线的平面截一顶角正弦值为的圆锥，截口曲线是椭圆，顶点A到平面的距离为3.(1)求椭圆的离心率；(2)已知P在椭圆上运动且不与长轴两端点重合，椭圆的两焦点为，，证明：二面角的大小小于.18．潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布.(1)求成绩在70分到90分之间的概率；(2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数；(3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率.附注：若，则，19．已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)证明：.

1．C2．A3．B4．D5．A6．A7．A8．A9．ABC10．BCD11．BCD12．13．14．15．（1）证明：因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则设，则，故，设平面的法向量为则，取，则故，而平面，故平面.（2）因为，故，即，而，设平面的法向量为，故，取，则，故设与平面所成角为，则（3）由（1）可得，而，设平面的法向量为，则，取，则，故，因为平面，故，故存在非零实数，使得，即，故，解得，故，由（2）可得故与平面夹角的余弦值为16．（1）由余弦定理得：，所以，∴，当且仅当时取“=”∴，∴面积的最大值为.（2）由，可得：，即，故∴，而，∴令，，令，而为锐角三角形，∴∴，∵，当且仅当时取“=”，∴．17．(1)（1）以椭圆的中心以及短轴的顶点作平行于圆锥底面的截面（截面为圆），如图为圆锥的轴截面，由题意可得：，则椭圆的长轴长，即，设圆锥的顶角为，由题意可知∵，则，解得或（舍去），∴，在中，可得，则，在中，则，可得，故，在中，可得，即截面圆的半径为，则椭圆的短轴，故椭圆的短轴长，即，则，∴椭圆的离心率.(2)如图，以椭圆的中心为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设，平面的法向量为，∵，则，令，则，即，同理可得：平面的法向量为，则令，则，当时，则，∴，构建，则，当时，则，令，则，则在上单调递增，在上单调递减，故；当时，令，则，令，则当时恒成立，故在上单调递减，则，∴在上单调递减，则；综上所述：当时恒成立，∴，设二面角的平面角为，由题意可得，∴，即二面角的大小小于.18．（1）设学生数学竞赛成绩为，则，则，，.（2）因为，所以估计成绩超过90分的学生人数为人.（3）设前分位数为，则，所以，由正态分布