江苏省苏州市高新区第一中学科技城校2025-2026学年高二（下）第二次质量检测数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省苏州市高新区第一中学科技城校高二（下）第二次质量检测数学试卷（5月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在的展开式中，x6的系数是（）A. B. C. D.2.种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为a和b,则恰有一株存活的概率为（）A.a+b-2ab B.a+b-ab C.a+b D.ab3.编号为1，2，3，4，5，6的六个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6的六个座位，其中有且只有两个人的编号与座位编号一致的坐法有（）A.135种 B.90种 C.150种 D.15种4.现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P（B|A）=（）A. B. C. D.5.已知随机变量X～B（n,p），且数学期望E（X）=2，方差，则P（X=1）=（）A. B. C. D.6.若，则=（）A. B. C. D.7.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为（）A.

B.

C.

D.8.若随机变量ξ服从二项分布，则关于不等式ex-（ξ-1）x-lnx-lnξ≥0对任意x＞0恒成立的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（）A.180个无重复数字的三位数 B.90个无重复数字且为奇数的三位数

C.36个无重复数字且能被25整除的四位数 D.480个无重复数字且比1300大的四位数10.设离散型随机变量X的分布列如表X01234Pa0.30.20.3b若离散型随机变量Y=2X+3，E（X）=2，则（）A.a=b B.E（Y）=7 C.D（X）=1.4 D.D（Y）=2.811.有甲、乙两台车床加工同一型号的零件，甲车床加工的优质品率为90%，乙车床加工的优质品率为80%，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙两台车床加工的零件数分别占总数的60%、40%．任取一个零件，用事件A1，A2分别表示取到的零件来自甲、乙车床，事件B表示取到的零件为优质品，则下列选项正确的有（）A.P（A1B）=0.54 B.P（B|A1）=0.9 C.P（B|A2）=0.32 D.P（B）=0.86三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.4名新入职的教师自由选择去3所不同的学校，共有选法种数为

.（用数字作答）13.设函数f（x）=lnx+x在（x0，f（x0））处的切线方程为y=kx+b,则2k+b的最小值为

.14.现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望Eξ为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024.

（1）求n的值；

（2）求展开式的所有有理项（指数为整数），并指明是第几项.16.(本小题15分)

一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．

（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；

（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？17.(本小题15分)

一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．

（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；

（2）求恰好得到n（n∈N*）分的概率．18.(本小题17分)

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，，AB=1，BD=PA=2.

（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；

（2）求二面角A-PD-C的余弦值；

（3）在四棱锥P-ABCD的5个顶点中，任取两个顶点形成的10条直线中，取两条直线，若两直线平行，记随机变量X=0，若两直线相交，记随机变量X=1，若两直线异面，记随机变量X=2.求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）.19.(本小题17分)

函数.

（1）若a＞2，判断f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，曲线y=f（x）上两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））连线斜率记为k,求证：；

（3）盒子中有编号为1～100的100个小球（除编号外无区别），有放回地随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p,求证：.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】AC

10.【答案】ABC

11.【答案】ABD

12.【答案】81

13.【答案】ln2+2

14.【答案】

15.【答案】（1）因为的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024，

则2n=1024，解得n=10，

所以n的值为10；

（2）二项式（）10的展开式的通项公式为T=C，

令5-Z，且r=0，1，2，10，

则当r=0时，T1=x5，当r=6时，T7==210x4，

所以展开式的有理项分别为第1项与第7项，且T1=x5，T7=210x4．

16.【答案】解：（1）设袋中黑球的个数为x（个），

记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，

则．

∴x=6．

设袋中白球的个数为y（个），

记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，

则，

∴y2-29y+120=0，∴y=5或y=24（舍）．

∴红球的个数为15-6-5=4（个）．

∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是

ξ的数学期望=；

（2）设袋中有黑球z个，则，）．

设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，

用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件求出

则，

当n=5时，P（C）最大，最大值为．

17.【答案】解：（1）所抛5次得分ξ的概率为P（ξ=i）=（i=5，6，7，8，9，10），

其分布列如下：ξ5678910P​​​​​​​E(ξ)==（分）．

（2）令pn表示恰好得到n分的概率．不出现n分的唯一情况是得到n-1分以后再掷出一次反面．

因为“不出现n分”的概率是1-pn，“恰好得到n-1分”的概率是pn-1，

因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1-pn=pn-1，

即pn-=-​​​​​​​．

于是是以p1-=-=-为首项，以-为公比的等比数列．

所以pn-=-，即pn=．

答：恰好得到n分的概率是．

18.【答案】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD．

又AD⊥AB，故分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

根据条件得，

所以B（1，0，0），，，P（0，0，2），

从而，．

设异面直线BD，PC所成角为θ，则

=，

即异面直线BD与PC所成角的余弦值为；

（2）因为AB⊥平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为．

设平面PCD的一个法向量为，

由，，，=（0，，-2），

得，

令z=3，得，

设二面角A-PD-C的大小为φ，且为锐角，

则

=，

即二面角A-PD-C的余弦值为；

（3）从5个顶点中任取2个顶点形成的直线共有条，即PA，PB，PC，PD，AB，AC，AD，BC，BD，CD．

从这10条直线中任取2条，共有种取法，

其中平行直线有1对（AD∥BC）；与PA异面的有BC，BD，CD，共3对，与PB异面的有AC，AD，CD，共3对，与PC异面的有AB，AD，BD，共3对，与PD异面的有AB，AC，BC，共3对，共12对；相交直线有45-1-12=32对，

所以随机变量X的分布列为：X012P数学期望E（X）=0×+1×+2×=．

19.【答案】（1）解：f（x）定义域为（0，+∞），．

对于方程x2+（2-2a）x+1=0，Δ=（2-2a）2-4=4（a2-2a）．

当Δ≤0，即0≤a≤2时，x2+（2-2a）x+1≥0，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当Δ＞0，即a＜0或a＞2时，方程x2+（2-2a）x+1=0有两不等根，，，

而x1+x2=2（a-1），x1x2=1，

所以当a＜0时，x1＜x2＜0，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＞2时，0＜x1＜x2，x∈（0，x1）或x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，

x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，

综上，当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞2时，f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在，上单调递减；

（2）证明：=