1.1 随机事件（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

“悟道诗---严加安”

随机非随意，概率破玄机；

无序隐有序，统计解迷离．

第一章

随机事件及其概率

第一节随机事

件

一、随机试验与样本空间

二、随机事件

三、随机事件的关系及其运算

四、小结

一、随机试验与样本空间

（1）确定性现象

在一定条件下必然发生

的现象称为确定性现象.

如：“太阳不会从西边升起”

“水从高处流向低处”

“同性电荷必然互斥”

确定性现象的特征：

条件完全决定结果

（2）随机现象

实例1“用同一门炮向同一目

标发射同一种炮弹多发，观察弹

着落点的情况”.

结果:“弹着点会不尽相同”.

实例2“抛掷一枚骰子，观

察出现的点数”.

结果可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”,“6”.

随机现象的特点：

条件不能完全决定结果

在概率论中，把在一定条件下可以重复试验或

观察，且能预知所有可能结果，但每次试验的结果

不能预知，而大量重复试验的结果却能呈现出某种

规律性的现象称为随机现象．

与随机现象相应的试验称为

随机试验，简称为试验．

概率论是研究和揭示随机现

象统计规律性的一门数学学科.

定义1：对随机现象所做的试验如果满足：

（1）可重复性，即在相同条件下可重复进行；

（2）可知性，即每次试验的所有可能结果不止一个

且都明确可知；

（3）随机性，即每次试验结果出现前无法预知会出

现哪个结果．

我们称这样的试验为随机试验，有时简称试验，通

常用大写英文字母E,E1,E2,等表示．

例1：下面给出几个随机试验的具体例子：

E1：抛掷一枚硬币,观察

正面、反面出现的情况；

E2：抛掷一枚硬币两次,

观察正面出现的次数；

E3：在东西南北四面同样受敌时，同时选择两

个方向突围；

E4：抛一颗骰子，观察

出现的点数；

E5：记录某放射性物质

在一分钟内放射的粒子数；

E6：在一批灯泡中任意

抽取一个，测试它的寿命x；

E7：考察一个汽车通过十

字路口时遇红灯的停留时间t；

E8：考察用同一把尺子测量

不同物体长度时取整的舍入误差r.

定义2：随机试验E的所有可能结果构成的集合

称为样本空间，记作Ω或S．

样本空间的每一个元素，即随机试验的每个结果称

为样本点，通常用1,2,...或e1,e2,...等表示．

因此，例1中随机试验E1的样本空间为

正面，反面

1

若记H=正面、T=反面，则E1的样本空间也可以表

，

示为1HT

随机试验E2的样本空间为

20,1,2

随机试验E3的样本空间为

东和西，东和南，东和北，

3

西和南，西和北，南和北

随机试验E4的样本空间为

41,2,3,4,5,6

同学们可试着写一写随机试验E5~E8的样本空间．

随机试验E5的样本空间为

0,1,2,3,

5

随机试验E6的样本空间为

60,

随机试验E7的样本空间为

70,T

随机试验E8的样本空间为

81,1

二、随机事件

对于随机现象，我们关心的往往不只是其所有

的可能结果，而更加关心某些部分结果．

如：掷骰子出现偶数点、灯泡寿命超过

5000小时．

定义3：随机试验的样本空间Ω中用来表示某些结

果的样本点的集合称为随机事件，简称事件．

随机事件是样本空间Ω的子集，用大写英文

字母A,B,C,等表示．

如：在试验E4中,骰子“出现1点”,

“出现2点”,“出现6点”,“点数不大于

4”,“点数为偶数”等都为随机事件．

是所有样本点构成的集合,它在每次试验中

都必然发生,称为必然事件,空集不含任何样本点,

在每次试验中都不会发生,称为不可能事件．

由一个样本点组成的单点集{e}称为基本事件．

注：不可能事件与必然事件是特殊的随机事件．

如：在E4中，基本事件有6个：Ai{i}(i1,,6)

在E5中，基本事件有无穷个：Ai{i}(i0,1,)

例2：设试验为从装有三个白球(记为1,2,3号)与两

个黑球(记为4,5号)的袋中任取两个球．

(a)如果只观察颜色，则样本空间为

两个白球两个黑球一白一黑（个样本点）

a,,3

(b)如果只观察号码，则样本空间为

（10个样本点）

b{12,13,14,15,23,24,25,34,35,45}

其中ωij是样本点,表示取出的是第i号球和第j号球．

三、随机事件的关系及其运算

任何一个随机事件都是样本空间的一个子

集，故随机事件之间的关系与运算可以看作集合之

间的关系与运算．

1.包含关系若事件A发生必导致B发生,则称

事件B包含事件A,记作BA或AB.

包含

BAAB

2.相等关系若事件A包含事件B,而且事件B包含

事件A,则称事件A与事件B相等,记作A=B.

3.事件的和（或并）若事件A与事件B至少一个

发生，则称事件A与事件B的和(或并),记作AB.

A与B的并AB

推广称为个事件的

A1A2AnnA1,A2,,An,

n

和，简记为Ai

i1

称为可列个事件

A1A2AnA1,A2,

,An,和，简记为Ai

i1

4.事件的交（或积）若事件A与事件B都发生，

则称事件A与事件B的交(或积),记作AB,简记

AB.

A与B的交AB

推广称为个事件的

A1A2AnnA1,A2,,An

nn

和，简记为Ai或Ai

i1i1

称为可列个事件

A1A2AnA1,A2,

的和，简记为或

,An,AiAi

i

1i1

5.事件的差若事件A发生且事件B不发生，则

称事件A与事件B的差,记作AB,即

ABA且B

A与B的差

如：在掷骰子的实验中，事件A为“出现奇数点”，

事件B为“点数不大于4”，则

AB1,2,3,4,5,AB1,3,AB5.

6.互不相容（或互斥）事件若事件A与事件B

不能同时发生，则称事件A与事件B互不相容（或

互斥），记作AB

A与B互斥

注：两个不相容事件A与B的和记作A+B；n个

n

A

互不相容事件的和记作A1A2A（n简作i）

i1

；可列个互不相容事件的和记作AAA

12n

（简记作Ai）.

i1

7.对立事件在每次随机试验中，若事件A与事件

件B有且仅有一个发生，即AB且AB，

则称事件A与事件B互为对立事件（或逆事件），记

作AB,BA.

A与B对立

注：任意随机事件A均存在对立事件且唯一.

由对立事件定义可知：

1AA

2AA

3AA,AA,AA

4ABABAAB

5ABABAABA

事件的运算律：

（1）交换律：ABBA,ABBA

（2）结合律：ABCABC

ABCABC

（3）分配律：ABCACBC

ABCACBC

（4）德摩根（DeMorgan）律(或对偶律)：

ABAB,ABAB

注：以上运算律可推广到有限多个或可列多个情形.

例3：甲、乙、丙三人各投篮一次，记A“甲投中”，

B“乙投中”，C“丙投中”，用上述三个事件分别

表示下述各事件：

（1）甲未投中：A

（2）甲投中而乙未投中：AB

（3）三人中只有丙未投中：ABC

（4）三人中至少有一人投中：ABC或ABC

（5）三人中至少有一人未投中：ABC或ABC

（6）三人中恰有一人投中：ABCABCABC

（7）三人中恰有两人投中：ABCABCABC

（8）三均未投中：ABC或ABC

（9）三人中至少两人投中：

ABCABCABCABC或ABBCAC

（10）三人中至多一人投中：

ABCABCABCABC或ABBCAC

（11）三人中至多两人投中：

ABCABCABCABCABCABCABC

或ABC或ABC

注：用简单事件表示复杂事件，表示方法往往不唯一，

如：例3的（5）和（11