广东省茂名市两校2027届高三上学期九月月考数学试卷（含答案）

茂名市两校2027届高三上学期九月月考数学试卷一、单选题1．若集合，则（

）A． B．C． D．2．把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量，则（

）A．1 B． C． D．3．集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，其操作过程如下：第一次操作：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，去掉的长度记作；第二次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，去掉的长度和记作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段…，第n次操作去掉的长度和记为.已知是等比数列，若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若二项式展开式中的，，项的系数成等比数列，则非零实数（

）A． B． C． D．6．已知向量，若，则（

）A． B． C． D．7．三个相似的圆锥的体积分别为，，，侧面积分别为，，，且，，则实数的最大值为（

）A． B．C． D．8．设已知函数，，在同一直角坐标系中，直线分别与函数和的图象相交于A点和B点，则A点与B点的坐标距离的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．二、多选题9．已知复数，则（

）A．B．C．在复平面内对应的点位于第四象限D．10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是11．下列说法正确的是（

）A．点关于直线的对称点是B．过不同两点的直线方程为C．线段的两个端点和，则以为直径的圆的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为三、填空题12．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.若存在等差数列，且，使得数列为等比数列，则的最小值为__________.13．全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，若则集合的取法共有________种.14．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，给出下列四个结论：①的最小值是4；②点的轨迹是一个圆；③若点，点，则存在点，使得；④△面积的最大值是．其中所有正确结论的序号是________．四、解答题15．如图,ABCD是边长为a的正方形,PA⊥平面ABCD．(1)若PA=AB,点E是PC的中点,求直线AE与平面PCD所成角的正弦值;(2)若BE⊥PC且交点为E,BE=a,G为CD的中点,线段AB上是否存在点F,使得EF∥平面PAG?若存在,求AF的长;若不存在,请说明理由.16．设的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)若，，求的面积；(3)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围.17．设椭圆短轴上的一个端点为为椭圆上异于点的任一点．若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取得，则称该椭圆为“圆椭圆”．已知椭圆为“圆椭圆”．(1)求的离心率的取值范围；(2)当的离心率最大时，点在上，直线与交于两点，且直线的斜率互为相反数．（i）求的斜率；（ii）若，求的面积．18．某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．(2)记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．19．对数均值不等式在各个领域都有着重要应用．(1)试证明对数均值不等式的前半部分或后半部分：(2)设，试证明：

1．C2．B3．B4．D5．D6．B7．A8．C9．BC10．BD11．AC12．13．14．①②④15．(1)以A为原点,建立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),E=(a,0,0),=(0,a,-a).设平面PCD的法向量m=(x,y,z),则取m=(0,1,1),则cos<,m>=.设直线AE与平面PCD所成角为,则sin=|cos<,m>|,所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为.(2)G,设P(0,0,c)(c>0),则=(-a,-a,c).设=λ,则E((1-λ)a,(1-λ)a,λc),∴=(-λa,(1-λ)a,λc).∵BE=a,∴(-λa)2+[(1-λ)a]2+(λc)2=a2.

①∵BE⊥PC,∴λa2-(1-λ)a2+λc2=0.∴c2=a2.

②由①②解得λ=,c=a,∴E,P(0,0,a).若存在满足条件的点F,可设AF=m(0≤m≤a),则F(m,0,0),.设平面PAG的法向量为n=(s,t,p),则∴n=(-2,1,0).∵EF∥平面PAG,∴·n=0.∴-2m+a-a=0,∴m=a.∴存在满足条件的点F,且AF=a.16．（1）由，得，由余弦定理，得，所以，因为，所以，又，所以或，因为，所以，所以.（2）由，得，由正弦定理和余弦定理，得，又，，所以，解得，则，所以，故的面积为.（3）由题意可知，即解得，由正弦定理得，则，所以，，则，所以的周长的取值范围为.17．（1）根据对称性设点，则，故是关于的一元二次函数．由定义得当且仅当时，取得最大值．①当图象开口向上时，需满足且，解得，不满足题意，舍去；②当图象开口向下时，需满足且，解得，所以的取值范围是，故离心率．故答案为：（2）由（1）得当的离心率最大时，．由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为．联立消去得，则．（ⅰ）因为，所以，即，即，代入整理得，解得或．当时，直线的方程为，此时直线恒过定点，不满足题意，舍去，故，即直线的斜率为．（ⅱ）．因为，所以，所以，即．代入得，即，解得或，所以直线的方程为或．当直线的方程为时，，则，点到直线的距离为，此时；当直线的方程为时，点在直线上，不满足题意，舍去．综上，的面积为．18．(1)设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤.根据题意得，.(2)证明：设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，则，根据题意得，由全概率公式得，即，不妨设，即，所以，解得，则，又，所以是以为首项，为公比的等比数列.（3）由（2）得，.由题意，只需，即，则，即.显然必为奇数，偶数不成立.当时，有.当时，显然成立.当时，，所以当时不成立.因为单调递减，所以也不成立.综上，该