2026年重庆市北师大版高中数学高二年级下册第5单元课后练习题

2026年重庆市北师大版高中数学高二年级下册第5单元课后练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若存在实数a使得f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(x)在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0，故a=0。选B。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故M=2，m=-4，M+m=-2。选C。3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，则a₅的值为（）A．15B．17C．19D．21解析：由Sₙ=2aₙ-3n得Sₙ₋₁=2aₙ₋₁-3(n-1)，两式相减得aₙ=2aₙ₋₁-3。故aₙ-3=2(aₙ₋₁-3)，即{aₙ-3}是等比数列，公比为2。又S₁=2a₁-3，得a₁=3。故aₙ-3=6•2ⁿ⁻²，aₙ=12•2ⁿ⁻²+3，a₅=21。选D。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y+5=0与圆C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．直线过圆心解析：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3。d>r，故相离。选A。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故π/2+φ=2kπ+π/2，φ=2kπ。k=0时φ=0，但f(0)=sinφ≠1，故k=1，φ=2π。选D。6.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₃=9，S₆=36，则aₙ的通项公式为（）A．3n-6B．3n-3C．3nD．3n+3解析：由S₃=9得3a₁+3d=9，即a₁+d=3。由S₆=36得6a₁+15d=36，即2a₁+5d=12。解得a₁=3，d=0。故aₙ=3。选C。7.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．1B．eC．e²D．e³解析：f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0，故a=e。选B。8.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则过点A且与直线AB垂直的直线方程为（）A．x+y=3B．x-y=1C．x+y=-1D．x-y=-3解析：直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，垂直直线的斜率为1。故方程为y-2=x-1，即x-y=1。选B。9.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[-1，2]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)在x=1处取得最小值f(1)=2。又f(-1)=6，f(2)=3，故最小值为2。选B。10.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅的值为（）A．31B．33C．35D．37解析：aₙ+1=2(aₙ+1)，故{aₙ+1}是等比数列，公比为2。aₙ+1=2ⁿ，a₅=32-1=31。选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为________。参考答案：4解析：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。M=2，m=-4，M-m=6。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，则a₅+a₆的值为________。参考答案：24解析：由Sₙ=2aₙ-3n得aₙ=2aₙ₋₁-3。故aₙ=12•2ⁿ⁻²+3。a₅=21，a₆=33，a₅+a₆=54。3.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆心到直线l：3x-4y+5=0的距离为________。参考答案：3解析：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则cosφ的值为________。参考答案：0解析：f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故π/2+φ=2kπ+π/2，φ=2kπ。cosφ=cos(2kπ)=1。5.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₃=9，S₆=36，则数列的公差d为________。参考答案：0解析：由S₃=9得3a₁+3d=9，即a₁+d=3。由S₆=36得6a₁+15d=36，即2a₁+5d=12。解得a₁=3，d=0。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则f(2)的值为________。参考答案：e²-2e解析：f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0，故a=e。f(2)=e²-2e。7.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则过点A且与直线AB垂直的直线方程为________。参考答案：x-y=1解析：直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，垂直直线的斜率为1。故方程为y-2=x-1，即x-y=1。8.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[-1，2]上的最大值为________。参考答案：6解析：f(x)在x=1处取得最小值f(1)=2。又f(-1)=6，f(2)=3，故最大值为6。9.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅+a₆+a₇的值为________。参考答案：93解析：aₙ+1=2(aₙ+1)，故{aₙ+1}是等比数列，公比为2。aₙ+1=2ⁿ，a₅=31，a₆=33，a₇=35，a₅+a₆+a₇=99。10.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若存在实数a使得f(a)=0，则a的取值范围是________。参考答案：(-1，0)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(x)在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0，故a=0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m=0。（×）解析：M=2，m=-4，M+m=-2≠0。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，则{aₙ}是等比数列。（×）解析：aₙ=2aₙ₋₁-3，故{aₙ-3}是等比数列，但{aₙ}不是。3.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y+5=0与圆C相切。（×）解析：圆心到直线的距离d=3>r=2，故相离。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ=π/4。（×）解析：f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故φ=2kπ，k=0时φ=0。5.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₃=9，S₆=36，则数列的公差d=3。（×）解析：d=0。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=e²。（×）解析：a=e。7.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则过点A且与直线AB垂直的直线方程为x+y=3。（×）解析：x-y=1。8.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[-1，2]上的最小值为1。（×）解析：最小值为2。9.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅=32。（×）解析：a₅=21。10.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若存在实数a使得f(a)=0，则a=1。（×）解析：a=0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的单调区间。参考答案：减区间(-∞，1)，增区间(1，+∞)解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(x)在(-∞，0)和(2，+∞)上增，在(0，2)上减。2.求等差数列{aₙ}的前n项和公式，若S₃=9，S₆=36，求n。参考答案：Sₙ=3n²，n=4解析：由S₃=9得3a₁+3d=9，即a₁+d=3。由S₆=36得6a₁+15d=36，即2a₁+5d=12。解得a₁=3，d=0。故Sₙ=3n²。3.求圆C：(x-1)²+(y+2)²=4的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(1，-2)，半径2解析：直接由方程读出。4.求函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值时φ的值。参考答案：φ=2kπ解析：f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故φ=2kπ。5.求过点A(1，2)且与直线l：3x-4y+5=0垂直的直线方程。参考答案：4x+3y-10=0解析：垂直直线的斜率为4/3。方程为4x+3y-10=0。6.求函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值时a的值。参考答案：a=e解析：f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0，故a=e。7.求函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，2]上的最值。参考答案：最大值6，最小值2解析：f(-1)=6，f(0)=2，f(2)=3，f(1)=2。8.求数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1的通项公式。参考答案：aₙ=12•2ⁿ⁻²+3解析：aₙ+1=2(aₙ+1)，故{aₙ+1}是等比数列，公比为2。aₙ+1=2ⁿ，aₙ=12•2ⁿ⁻²+3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值。参考答案：最大值6，最小值-4解析：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。M=6，m=-4。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，求a₅+a₆+a₇的值。参考答案：99解析：a₅=21，a₆=33，a₇=45，a₅+a₆+a₇=99。3.已知圆C：(x-1)²+(y+2)²=4，求圆心到直线l：3x-4y+5=0的距离。参考答案：3解析：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，求f(π/2)的值。参考答案：1解析：f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故φ=2kπ。f(π/2)=sin(π+φ)=sinφ=1。5.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₃=9，S₆=36，求a₈的值。参考答案：27解析：由S₃=9得3a₁+3d=9，即a₁+d=3。由S₆=36得6a₁+15d=36，即2a₁+5d=12。解得a₁=3，d=0。故aₙ=3n。a₈=24。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求f(0)的值。参考答案：1解析：f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0，故a=e。f(0)=1。7.已知点A(1，2)和点B(3，0)，求过点A且与直线AB平行的直线方程。参考答案：2x+y=4解析：直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1。故方程为y-2=-1(x-1)，即2x+y=4。8.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，求a₅+a₆+a₇+a₈+a₉的值。参考答案：255解析：a₅=21，a₆=33，a₇=45，a₈=57，a₉=69，a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=255。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.A5.C6.C7.B8.B9.B10.A二、填空题1.42.543.34.15.06.e²-2e7.x-y=18.69.9910.(-1，0)三、判断题1.×2.×3.×4.×5.×6.×7.×8.×9.×10.×四、简答题1.减区间(-∞，1)，增区间(1，+∞)2.Sₙ=3n²，n=43.圆心(1，-2)，半径24.φ=2kπ5.4x+3y-10=06.a=e7.最大值6，最小值28.aₙ=12•2ⁿ⁻²+3五、应用题1.M=6，m=-42.993.34.15.a₈=246.f(0)=17.2x+y=48.255【解析】一、单项选择题1.由f(a)=0得ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(x)在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0，故a=0。2.f(x)在x=1处取得最小值f(1)=2。又f(-1)=6，f(2)=3，故最小值为2。3.圆心到直线的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3>r=2，故相离。4.f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故φ=2kπ。k=0时φ=0，但f(0)=sinφ≠1，故k=1，φ=2π。5.由S₃=9得3a₁+3d=9，即a₁+d=3。由S₆=36得6a₁+15d=36，即2a₁+5d=12。解得a₁=3，d=0。6.f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0，故a=e。7.直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，垂直直线的斜率为1。故方程为y-2=x-1，即x-y=1。8.f(x)在x=1处取得最小值f(1)=2。又f(-1)=6，f(2)=3，故最大值为6。9.aₙ+1=2(aₙ+1)，故{aₙ+1}是等比数列，公比为2。aₙ+1=2ⁿ，a₅=31，a₆=33，a₇=35，a₅+a₆+a₇=99。10.f(a)=0等价于ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(x)在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0，故a=0。二、填空题1.M=2，m=-4，M+m=-2。2.a₅=21，a₆=33，a₇=45，a₅+a₆+a₇=99。3.圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3。4.f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故φ=2kπ。k=0时φ=0，但f(0)=sinφ≠1，故k=1，φ=2π。5.由S₃=9得3a₁+3d=9，即a₁+d=3。由S₆=36得6a₁+15d=36，即2a₁+5d=12。解得a₁=3，d=0。6.f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0，故a=e。f(2)=e²-2e。7.直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，垂直直线的斜率为1。故方程为y-2=x-1，即x-y=1。8.f(x)在x=1处取得最小值f(1)=2。又f(-1)=6，f(2)=3，故最大值为6。9.aₙ+1=2(aₙ+1)，故{aₙ+1}是等比数列，公比为2。aₙ+1=2ⁿ，a₅=31，a₆=33，a₇=35，a₅+a₆+a₇=99。10.f(a)=0等价于ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(x)在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0，故a=0。三、判断题1.×，M=2，m=-4，M+m=-2≠0。2.×，aₙ=2aₙ₋₁-3，故{aₙ-3}是等比数列，但{aₙ}不是。3.×，圆心到直线的距离d=3>r=2，故相离。4.×，f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故φ=2kπ。k=0时φ=0。5.×，由S₃=9得3a₁+3d=9，即a₁+d=3。由S₆=36得6a₁+15d=36，即2a₁+5d=12。解得a₁=3，d=0。6.×，f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0，故a=e。7.×，直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，垂直直线的斜率为1。8.×，f(x)在x=1处取得最小值f(1)=2。9.×，a₅=21。10.×，f(a)=0等价于ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(x)在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0，故a=0。四、简答题1.由f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0