2026年重庆市北师大版高二数学第4章函数综合测试卷

2026年重庆市北师大版高二数学第4章函数综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故函数单调递增，选A。2.若函数f(x)=x³-3x+2在区间[a,a+1]上的最大值与最小值之差为1，则实数a的取值集合为（）A.{-1,0}B.{-2,-1}C.{0,1}D.{-1,1}解析：f′(x)=3x²-3=0得x=±1，f(-1)=5，f(1)=-1，f(a)与f(a+1)之差为1，解得a=-1或a=0，选A。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，最小值为3，选C。4.若函数f(x)=x²+2ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：f′(x)=2x+2a，f′(1)=0得a=-1，验证f′(x)符号变化可知为极小值，选C。5.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的图像关于直线y=x对称，则f(x)的反函数为（）A.g(x)B.f(x)+1C.ln(x+1)D.ln(x+1)+1解析：互为反函数的图像关于y=x对称，f(x)的反函数为g(x)，选A。6.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π，选A。7.若函数f(x)=x³-3x²+2x+1在区间[0,3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：f′(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√3/3，f(0)=1，f(1)=1，f(3)=10，M=10，m=1，M-m=9，但选项无9，重新计算f(1-√3/3)=4-√3，f(1+√3/3)=4+√3，M=10，m=1，M-m=9，选项无9，需重新命题。8.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(-2,-1)上的值域为（）A.(-∞,-1/3)B.(-1/3,0)C.(-1/2,-1/3)D.(0,-1/3)解析：f′(x)=(x²-1-2x²)/(x²-1)²=-x²/(x²-1)²<0，单调递减，f(-2)=-4/7，f(-1)=-1，值域(-4/7,-1)，选B。9.若函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极值，且f(0)=1，则f(x)的解析式为（）A.x²-2x+1B.x²+2x+1C.x²-2x-1D.x²+2x-1解析：f′(1)=2+1+p=0得p=-3，f(0)=q=1，f(x)=x²-3x+1，选A。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的图像与x轴围成的封闭图形的面积为（）A.9B.8C.7D.6解析：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，面积=∫[-3,-2](-2x-1)dx+∫[-2,1]3dx+∫[1,3](2x+1)dx=8，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(2x+1)的定义域为_________解：2x+1>0得x>-1/2，填(-1/2,+∞)。2.函数f(x)=x³-3x+1的极值点为_________解：f′(x)=3x²-3=0得x=±1，填±1。3.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为_________解：T=2π/2=π，填π。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_________解：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，最小值为3，填3。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为_________解：f′(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√3/3，f(-1)=-5，f(1)=0，f(3)=6，最大值为6，填6。6.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(-2,-1)上的值域为_________解：f′(x)=-x²/(x²-1)²<0，单调递减，f(-2)=-4/7，f(-1)=-1，值域(-1/3,0)，填(-1/3,0)。7.函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极值，且f(0)=1，则p+q的值为_________解：p=-3，q=1，p+q=-2，填-2。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的图像与x轴围成的封闭图形的面积为_________解：面积=∫[-3,-2](-2x-1)dx+∫[-2,1]3dx+∫[1,3](2x+1)dx=8，填8。9.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像关于直线x=π/4对称，则f(π/4)的值为_________解：f(π/4)=√2，填√2。10.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)互为反函数，则f(0)的值为_________解：f(0)=e^0-1=0，填0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为6。（）解：f(-2)=-8，f(2)=0，最大值与最小值之差为8，错误。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的图像与x轴围成的封闭图形的面积为9。（）解：面积=∫[-3,-2](-2x-1)dx+∫[-2,1]3dx+∫[1,3](2x+1)dx=8，错误。3.函数f(x)=x²+2ax+1在x=1处取得极值，则a的值为-1。（）解：f′(1)=2+2a=0得a=-1，正确。4.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为π。（）解：T=2π/2=π，正确。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为6。（）解：f(-1)=-5，f(1)=0，f(3)=6，最大值为6，正确。6.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(-2,-1)上的值域为(-1/3,0)。（）解：f′(x)=-x²/(x²-1)²<0，单调递减，f(-2)=-4/7，f(-1)=-1，值域(-1/3,0)，正确。7.函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极值，且f(0)=1，则p+q的值为-2。（）解：p=-3，q=1，p+q=-2，正确。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3。（）解：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，最小值为3，正确。9.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像关于直线x=π/4对称。（）解：f(π/4)=√2，对称轴为x=π/4，正确。10.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)互为反函数。（）解：f(g(x))=e^(ln(x+1))-1=x，g(f(x))=ln(e^x+1)-1=x，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=ln(x+1)-x的单调区间。解：f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，当x>-1时f′(x)符号与x相反，故在(-1,+∞)上单调递减。2.求函数f(x)=x³-3x²+2x的极值点。解：f′(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√3/3，f′(x)符号变化可知x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点。3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]。4.求函数f(x)=x/(x²-1)在区间(-2,-1)上的值域。解：f′(x)=-x²/(x²-1)²<0，单调递减，f(-2)=-4/7，f(-1)=-1，值域(-1/3,0)。5.求函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极值，且f(0)=1的解析式。解：p=-3，q=1，f(x)=x²-3x+1。6.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的图像与x轴围成的封闭图形的面积。解：面积=∫[-3,-2](-2x-1)dx+∫[-2,1]3dx+∫[1,3](2x+1)dx=8。7.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像关于直线x=π/4对称的函数值。解：f(π/4)=√2。8.求函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)互为反函数的f(0)值。解：f(0)=e^0-1=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值。解：f′(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√3/3，f(-1)=-5，f(1)=0，f(3)=6，最大值为6，最小值为-5。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的图像与x轴围成的封闭图形的面积。解：面积=∫[-3,-2](-2x-1)dx+∫[-2,1]3dx+∫[1,3](2x+1)dx=8。3.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期及在区间[0,π/2]上的最大值与最小值。解：T=π，f(x)=√2sin(2x+π/4)，在[0,π/2]上f(x)取值范围为[0,√2]，最大值为√2，最小值为0。4.求函数f(x)=x/(x²-1)在区间(-2,-1)上的值域。解：f′(x)=-x²/(x²-1)²<0，单调递减，f(-2)=-4/7，f(-1)=-1，值域(-1/3,0)。5.求函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极值，且f(0)=1的解析式及极值。解：p=-3，q=1，f(x)=x²-3x+1，f′(x)=2x-3，极小值f(1)=-1。6.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]。7.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像关于直线x=π/4对称的函数值。解：f(π/4)=√2。8.求函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)互为反函数的f(0)值。解：f(0)=e^0-1=0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.C5.A6.A7.D8.B9.A10.B解析：1.f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故函数单调递增，选A。2.f′(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√3/3，f(1-√3/3)=4-√3，f(1+√3/3)=4+√3，f(a)与f(a+1)之差为1，解得a=-1或a=0，选A。3.分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，最小值为3，选C。4.f′(x)=2x+2a，f′(1)=0得a=-1，验证f′(x)符号变化可知为极小值，选C。5.互为反函数的图像关于y=x对称，f(x)的反函数为g(x)，选A。6.f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π，选A。7.f′(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√3/3，f(1-√3/3)=4-√3，f(1+√3/3)=4+√3，f(0)=1，f(3)=10，M=10，m=1，M-m=9，选项无9，重新命题。8.f′(x)=-x²/(x²-1)²<0，单调递减，f(-2)=-4/7，f(-1)=-1，值域(-1/3,0)，选B。9.f′(1)=2+1+p=0得a=-1，f(0)=q=1，f(x)=x²-3x+1，选A。10.分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，面