2026年重庆市部编版高中数学选修2-10第4章数列习题

2026年重庆市部编版高中数学选修2-10第4章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.120解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2，c_3=c_2+4=1+2+4，...，c_{10}=1+2+4+6+...+20=1+2×(1+2+3+...+10)=1+2×55=111。选项无正确答案，需修正题目。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，可得f_2=2+log_2(2)=3，f_3=3+log_2(3)，...，f_5=2+(log_2(2)+log_2(3)+log_2(4)+log_2(5))=2+log_2(120)=2+6.9069≈8.9069。选项无正确答案，需修正题目。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=2×(a_3+a_7)/2=18，选项无正确答案，需修正题目。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前5项和等于（）A.10B.12C.15D.17解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故log_3(h_n)=n-1，前5项和为0+1+2+3+4=10。选项A正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_5的值等于（）A.3.5B.4.0C.4.5D.5.0解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n，可得i_2=1+1=2，i_3=2+1/2=2.5，i_4=2.5+1/3≈2.8333，i_5≈2.8333+1/4≈3.0833。选项无正确答案，需修正题目。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，则该数列的前6项和S_6等于（）A.127B.127/63C.127/64D.127/63解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_6=64=q^5，解得q=2，故S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=63。选项无正确答案，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_7=15，则a_1+a_{10}的值等于________。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_5.5，故a_5.5=7.5，a_1+a_{10}=2a_5.5=15。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_5的值等于________。解：b_5=S_5-S_4=30-20=10。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6的值等于________。解：c_6=2+3×(1+2+3+4+5)=2+3×15=47。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q等于________。解：q=(d_4/d_2)^(1/2)=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则e_4的值等于________。解：e_4=T_4-T_3=15-7=8。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_7的值等于________。解：f_7=3+2×(1+2+3+...+6)=3+2×21=45。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_8=20，则a_5+a_10的值等于________。解：a_5+a_10=2a_7=2×(a_3+a_8)/2=20。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=5^n-1，则数列{log_5(h_n)}的前3项和等于________。解：h_1=S_1=4，h_2=S_2-S_1=24，h_3=S_3-S_2=120，log_5(h_1)+log_5(h_2)+log_5(h_3)=log_5(4×24×120)=log_5(11520)=6。9.若数列{i_n}满足i_1=5，i_{n+1}=i_n+n，则i_8的值等于________。解：i_8=5+1+2+3+4+5+6+7=39。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_5=32，则该数列的前5项和S_5等于________。解：q=(j_5/j_1)^(1/4)=4，S_5=2×(1-4^5)/(1-4)=62。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（×）解：当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1，但a_1=S_1=3≠4×1-1，故不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_3=12，b_5=48，则公比q=2。（√）解：q=(b_5/b_3)^(1/2)=2。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+1，则该数列是等差数列。（√）解：公差为1，是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_6=20。（√）解：a_5+a_6=2a_5.5=2×(a_1+a_9)/2=20。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^3，则e_n=3n^2。（×）解：当n=1时e_1=T_1=1≠3×1^2，故不成立。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=2f_n，则该数列是等比数列。（√）解：公比为2，是等比数列。7.在等差数列{g_n}中，若a_4=10，则a_7=10。（×）解：a_7=a_4+3d，若d≠0则a_7≠10。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_n=2×3^{n-1}。（×）解：当n=1时h_1=S_1=2≠2×3^0，故不成立。9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=i_n+n^2，则该数列是等差数列。（×）解：公差随n变化，不是等差数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=6，j_4=54，则j_3=18。（√）解：j_3=(j_2×j_4)^(1/2)=18。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3=7，a_5=11，求该数列的通项公式。解：由a_3=a_1+2d=7，a_5=a_1+4d=11，联立解得a_1=3，d=2，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，求b_4的值。解：b_4=S_4-S_3=15-7=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=16，求该数列的前6项和S_6。解：q=(c_4/c_1)^(1/3)=2，S_6=2×(1-2^6)/(1-2)=126。4.已知数列{d_n}满足d_{n+1}=d_n+3n，且d_1=1，求d_5的值。解：d_5=1+3×(1+2+3+4)=1+3×10=31。5.在等差数列{e_n}中，若a_1=5，d=-2，求a_7的值。解：a_7=5+6×(-2)=-7。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，求f_3的值。解：f_3=T_3-T_2=12-6=6。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求该数列的公比q。解：q=(g_4/g_2)^(1/2)=3。8.已知数列{h_n}满足h_{n+1}=h_n+n，且h_1=2，求h_6的值。解：h_6=2+1+2+3+4+5=17。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的10%，已知2020年生产能力为100万吨，求2023年的生产能力。解：2021年：100×1.1=110万吨，2022年：110×1.1=121万吨，2023年：121×1.1≈133.31万吨。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，d=3，求使得a_n>20的最小正整数n。解：2+3(n-1)>20，解得n>19/3，故n=7。3.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，求使得S_n>100的最小正整数n。解：3^n-1>100，解得n≥5。4.在等比数列{c_n}中，若c_1=1，q=2，求使得c_n>1000的最小正整数n。解：2^{n-1}>1000，解得n≥11。5.某城市人口每年增长率为1.5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：100×(1+1.5%)^5≈116.41万。6.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_9=20，求该数列前10项和S_{10}。解：a_5+a_6=20，S_{10}=5(a_1+a_{10})=100。7.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求使得T_n>50的最小正整数n。解：n^2+n>50，解得n≥7。8.在等比数列{f_n}中，若f_2=4，f_4=16，求该数列前5项和S_5。解：q=2，S_5=4×(1-2^5)/(1-2)=60。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.无正确答案（需修正）4.A5.B6.无正确答案（需修正）7.无正确答案（需修正）8.A9.无正确答案（需修正）10.无正确答案（需修正）二、填空题1.152.103.474.25.86.457.208.69.3910.62三、判断题1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.×9.×10.√四、简答题1.a_n=2n+1解析：由a_3=a_1+2d=7，a_5=a_1+4d=11，联立解得a_1=3，d=2，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.b_4=8解析：b_4=S_4-S_3=15-7=8。3.S_6=126解析：q=(c_4/c_1)^(1/3)=2，S