湖南怀化市2026-2027学年高一上学期入学考试数学试题（含解析）

2026下期高一入学考试数学试题试题共6页，19题，满分150，考试时长120分钟一、单项选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.如图所示几何体的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】根据俯视图的定义，可知该几何体的俯视图为：.2.如图，能判断直线的条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】对于A，因为，即对顶角相等，不能得到，对于B，因为，即邻补角互补，不能得到；对于C，因为，即内错角相等，能判断；对于D，因为，即同位角互补，不能判断．3.若，其中，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合得到和的值，即可计算出的结果.【详解】，又∵，且，∴，，∴.4.《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚到一起称重．聚在一起的雀总重更重，聚在一起的燕总重更轻，若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两），则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y，根据题意，列出的方程组可为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】∵设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，已知1斤=16两，∴根据“5只雀和6只燕总重1斤”，可得.∵1只雀和1只燕互换位置后两侧重量相等，互换后原放置雀的一侧剩余4只雀和1只燕，原放置燕的一侧剩余5只燕和1只雀，两侧重量相等，∴可得等量关系：.综上可列方程组为，对应选项A.5.在中，．若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】中，，，，所以，由勾股定理得.6.若实数、满足，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】，，且，，，解得：，，．7.如图，在中，，点在上，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出，从而证得，再利用相似三角形对应边成比例求出线段比，最后根据等高三角形面积比等于底边比求解即可．【详解】设，由，则，所以，又，则，由，则，在中，，即，解得，所以，，又，，则，所以，设，，则，，所以，整理得，等式两边同时除以，得，解得（负值舍去），又与在边上的高相等，所以．8.如图，四边形中，，，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向终点运动，同时点从点出发，以同样速度沿边向终点运动．设的面积为，运动时间为，则关于的函数图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，先求得，，根据三角形的面积公式，分成当在上时，即时，当在上时，即时，当在上且未到达时，即时，当在上且到达后，即时，分别求得函数解析式，结合选项，即可求解．【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，∴，∵，即，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，，∵，∴，∴，∵，在中，，∴，过点作于点，当在上时，即时，如图所示，∴，∴，函数图象为开口向上的抛物线，C，D不符合题意；当在上时，即时，∴，∴，函数图象为直线的一部分，当在上且未到达时，即时，，∴，∴，函数图象为开口向下的抛物线，故B不符合题意；当在上且到达后，即时，∴，函数图象为直线的一部分，故A符合题意．二、多项选择题（在下列各题的四个选项中，有多项符合题意要求．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共3个小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图．根据图中信息，下列结论正确的是（）A.甲的跳绳成绩总是高于乙 B.甲的跳绳成绩的众数为186C.甲的跳绳成绩的中位数大于乙 D.甲的跳绳成绩的方差小于乙【答案】BCD【解析】【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，分别计算或观察众数、中位数及波动情况（方差）进行判断即可.【详解】由图可知，甲的成绩为：；乙的成绩为：；对于A，第3天甲的成绩小于乙的成绩，故A错误；对于B，甲的成绩中出现了2次，出现次数最多，众数是，故B正确；对于C，甲的成绩从小到大排列为，中位数为；乙的成绩从小到大排列为，中位数为；，甲的中位数大于乙，故C正确；对于D，甲成绩的波动范围比乙成绩的波动范围小，故甲的跳绳成绩的方差小于乙，故D正确.10.已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系能成立的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可；【详解】联立与得，整理得，解得：，联立与得，解得：或，联立与得，整理得，解得：或，∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点，故三个函数的图象位于第一象限的部分，当时，，B选项可能；当时，根据图象可得，，A选项可能；当时，根据图象可得，，C选项可能；综上，D选项不可能．11.如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为．下列结论正确的是（）A.B.的解析式为．C.当时，随的增大而减小．D.当时，，的取值范围为．【答案】AB【解析】【分析】A选项，根据二次函数的顶点坐标即可写出；B选项，根据图象平移规律即可得到；C选项，由图象可知，函数先减后增；D选项，由求出取值，即可得范围.【详解】根据顶点式写出点的坐标，A正确，根据抛物线的平移规律得，即，B正确，由图可得当或时，随的增大而减小，C错误；令：，解得：（舍去），.根据函数图象可得：当时，，D错误.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分）12.如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为，则该圆锥母线的长为______．【答案】【解析】【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长．【详解】设，因为圆锥的侧面展开图的弧长为，则该圆锥的底面圆的周长为，所以，解得，所以，又，在中，由勾股定理得．13.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可.【详解】∵在实数范围内有意义，∴，移项得，解得.14.如图，在平行四边形中，，，，点是边上一动点，将沿翻折，得到．（1）当时，的度数是__________；（2）线段的最小值是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】（利用平行四边形邻角互补求出，结合折叠性质与，用四边形内角和算出，两角相减即可得到；由折叠得长度固定，确定点在以为圆心，为半径的定圆上；在中，斜边不变，越大，越小；根据一点到直线的线段中垂线段最短得最大等于；代入勾股定理计算出的最小值．【详解】四边形是平行四边形，，，，由翻折得，，，在四边形中，，；由折叠的性质可知，，∴点在为圆心，以为半径的圆弧上，.四、解答题（本大题共5小题，共77分．第15题13分，第16、17题每小题15分，第18、19题每小题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）计算：．（2）解不等式组：.（3）已知，求代数式的值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】（1）.（2）由得：；由得：，，解得：；不等式组的解集为.（3），，即，.16.某校团委计划在“心理健康日”组织学生开展心理健康活动，根据活动形式分为四组：A．心理专题讲座、B．心理健康电影、C．心理疗愈音乐会、D．心理健康情景剧．为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，在全校随机抽取学生，对其进行“我最喜欢的一种心理健康活动”问卷调查，依据样本数据绘制了如下两幅统计图．请结合调查信息，完成下列问题：（1）此次调查共抽取了__________名学生，扇形统计图中__________，心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为__________度；（2）被调查学生最喜欢的心理健康活动是__________；（请选择填写A、B、C、D）（3）请估计全校1000名学生中喜欢心理专题讲座的人数；（4）学校从B、D小组选了4名代表（每组各两名），决定从这4名代表中选2名作活动感悟分享．请用画树状图或列表的方法，求选出的2名代表来自不同组的概率．【答案】（1），，（2）（3）人；（4）【解析】【分析】（1）利用喜欢心理健康电影的人数除以其所占百分比即可得到被调查总人数，再用喜欢心理专题讲座的人数除以被调查总人数即可得到的值，利用乘以喜欢心理疗愈音乐会所占被调查总人数的比例即可得到心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数；（2）根据条形统计图数据即可解答；（3）用乘以被调查人数中喜欢心理专题讲座所占比例即可求解；（4）用表示4名代表，画出树状图，得到总的情况数和2名代表来自不同组的情况数，利用概率公式计算即可．【小问1详解】（人），则本次调查共抽取了名学生；，则；，则心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为度；【小问2详解】，被调查学生最喜欢的心理健康活动是B．心理健康电影；【小问3详解】（人），所以估计全校1000名学生中喜欢心理专题讲座的人数为人；【小问4详解】用表示4名代表，画出树状图如下：则一共有12等可能性的结果数，其中选出的2名代表来自不同组的结果数有8种，∴选出的2名代表来自不同组的概率为．17.如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接．（1）求证：平分；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明：连接，，，是的切线，，，，，，平分．（2）【解析】【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可；（2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可．【小问1详解】略【小问2详解】连接，交于点，连接，交于点，为直径，，，，，四边形为矩形，，，，，是的中位线，，，，为等边三角形，平分，，即，，，设阴影部分面积为，扇形面积为，则．18.抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）．（1）求抛物线的表达式；（2）连接，在的左上方以为边作正方形．①如图1，当时，求正方形的面积；②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；（3）如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值．【答案】（1）（2）①8；②（3），【解析】【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）①由点B，C的坐标得到，，再利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式求解即可；②过点作轴，垂足为，通过“”证明，得到，，设，可得点，代入抛物线解析式，即可求解；（3）过点，分别作，的平行线交于点，即，，则四边形为平行四边形，，，连接，由，得到当，，三点共线时，的最小值等于的长，根据勾股定理求出，得到的最小值．运用待定系数法求出直线的表达式，再求出点D的坐标后，求出点E的坐标，即可解答.【小问1详解】∵抛物线过点，点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．【小问2详解】①由点，可得，，，，，．②如图，过点作轴，垂足为，则．四边形为正方形，，，∵，∴，，，，，∴，，设，则，点，点在抛物线上，，解得，（不满足，舍去），点．【小问3详解】如图，过点，分别作，的平行线交于点，即，，四边形为平行四边形，，．连接，，当，，三点共线时，，如图，即的最小值等于的长．令时，，解得，，，点，∴点．点，，，∴在中，，的最小值为设直线的表达式为，∵直线过点，，，解得，直线的表达式为，点，，点，当取最小值时，．19.我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题：（1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明；（2）当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”；（3）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值．【答案】（1）点是“靓点”，证明如下：点为“靓点”，，，，将代入上式，得，，点是“靓点”．（2）证明：将代入，得，

整理得，，判别式，，，，该一元二次方程有两个不相等的实数根，将代入方程左边，得，方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义，又，两个不同的对应两个不同的，函数的图象上总存在两个不同的“靓点”．（3）【解析】【分析】（1）