《自动控制原理》第4章 线性控制系统的根轨迹分析

自动控制原理PrincipleofAutomaticControl1第四章线性控制系统的根轨迹分析闭环控制系统的暂态性能与闭环极点在s平面的位置密切相关。因此，在分析系统的性能时，往往要求确定系统闭环极点的位置。系统的闭环极点也就是特征方程的根，为了求解特征方程的根，通常需将特征多项式分解为因式。对于三阶以上的系统，特别是当某一参量变化时，分解因式法过于繁琐，难以在实际中应用。在控制系统分析或设计时，经常要研究一个或者几个参量在一定范围内变化对闭环极点的位置以及系统性能的影响。当系统中的某个或某些参量变化时，特征方程的根在s

平面上运动的轨迹称为根轨迹。1948年，依万斯（W.R.Evans）在《控制系统的图解分析》一文中首次提出了求解系统特征方程式根的图解方法——根轨迹法。该方法可以在已知系统的开环零、极点条件下，绘制出系统特征方程式的根（即闭环传递函数的极点）在s

平面上随参数变化而形成的轨迹。根轨迹法已发展成为经典控制理论中最基本的方法之一，并成为研究自动控制系统的有效工具。第四章线性系统的根轨迹分析24.1根轨迹的基本概念4.2常规根轨迹4.3广义根轨迹4.4

MATLAB在根轨迹分析中的应用4.5本章小结第四章线性控制系统的根轨迹分析本章内容式中，。34.1根轨迹的基本概念根轨迹是系统一个或者几个参量在一定范围内变化时，所有闭环极点的集合。如图4.1.1所示为简单的二阶线性控制系统的结构框图。根据式(4-1-1)闭环传递函数为：图4.1.1简单二阶线性控制系统的结构框图系统开环传递函数为：(4-1-1)(4-1-2)上述二阶系统的特征根为：可见，的取值不同，系统的特征根也不同，可分为以下三种情形：1）当时，和为互不相等的两个实根；2）当时，系统有两个相等的特征根，即；3）当时，系统有一对共轭复根，即当时，共轭复数根的实部恒为常数。44.1根轨迹的基本概念系统的特征方程为：接下来，以开环增益

为变量，用解析法求出特征方程的根，然后令从零变化到无穷大，画出这个系统的闭环极点在s

平面上随变化而形成的轨迹图。(4-1-3)从零变化到无穷大时的根轨迹如图4.1.2所示，图中的箭头表示值增大的方向。从图4.1.2中可以看出：1）此二阶线性控制系统的根轨迹有两条分支，当时分别从开环极点0和-2出发。即在根轨迹的起始点，闭环极点（即闭环特征根）与开环极点相同。2）当从0向1

增加时，两个闭环特征根和沿着相对的方向向着

移动。这时，和都在负实轴上，系统阻尼系数，此时系统处于过阻尼状态。3）当增加到时，两个特征根和会合于

，即。此时，，系统处于临界阻尼状态。54.1根轨迹的基本概念图4.1.2二阶线性控制系统的根轨迹64.1根轨迹的基本概念4）当进一步增加到时，两个根和离开实轴，变为共轭复数根，其实部保持为常数，此时，系统处于欠阻尼状态，输出呈现衰减振荡。值越大，振荡频率越高。但由于实部为常数，因此系统调节时间变化不大。综上所述，根轨迹就是系统特征方程式的根（闭环极点）随系统参量（如根轨迹增益）变化而在复平面上运动形成的轨迹。一旦得到这个根轨迹图，就可以根据规定的系统性能指标在根轨迹上选择出最为符合要求的根的位置及对应的参数值（即开环根轨迹增益）。注：二阶系统的根轨迹是用解析法从特征方程式求得的，但对于高阶系统而言，其特征方程式用解析法求根是很困难的。因此，实际中通常都是采用图解法绘制根轨迹图。图4.1.2二阶线性控制系统的根轨迹74.2常规根轨迹1.绘制根轨迹的相位条件和幅值条件图4.2.1所示反馈控制系统的闭环传递函数为：4.2.1根轨迹的绘制条件及规则系统的特征方程为：满足式(4-2-2)的s

点均为闭环系统的特征根（闭环极点）根轨迹上的所有点均必须满足特征方程(4-2-2)(4-2-2)(4-2-1)图4.2.1反馈控制系统一般而言，绘制根轨迹时所选择的可变参量可以是系统的任意参量。但是，在实际中最常用的可变参量是系统的开环增益，以开环增益为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。84.2常规根轨迹式(4-2-2)称为控制系统根轨迹的基本方程，可以写成如下形式：(4-2-3)因为G(s)H(s)为复变量s的函数，可将式(4-2-3)用幅值和相角表示，根据等式两边幅值和相角相等条件，可将特征方程式(4-2-3)表示成以下幅值条件和相角条件：(4-2-4)(4-2-5)对于系统中某个参数从0→+∞变化时，满足以上两式的所有

s

点，均为闭环极点，也就是根轨迹上的所有点。复平面上的s

点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足式(4-2-4)幅值条件和式(4-2-5)相角条件。当系统中某个参数从0→+∞变化时，满足式(4-2-2)的所有s值，都是闭环传递函数的极点。用光滑的曲线把这些闭环极点在

s复平面上按顺序连接起来，就是系统的根轨迹。94.2常规根轨迹如将开环传递函数写成零、极点形式：则式(4-2-2)、式(4-2-4)、式(4-2-5)可以进一步表示为：(4-2-6)(4-2-7)(4-2-8)(4-2-9)104.2常规根轨迹复平面上的

s

点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足式(4-2-8)幅值条件和式(4-2-9)相角条件。由于根轨迹的幅值条件与根轨迹增益

有关，而相角条件与无关，因此在绘制根轨迹时，一般先用相角条件确定根轨迹上的点，然后利用幅值条件确定根轨迹上该点对应的值，最后将复平面上所有满足相角条件的点s

顺序连成曲线，这种方法被称为试探法。虽然采用试探法可逐点精确绘制根轨迹，但它需要在s

复平面上任选足够多的实验点，再根据相角条件判断是否为根轨迹上的点，计算量大，不便于人工绘制。所以，人们根据相角条件和幅值条件推导出了若干绘制根轨迹的规则，利用这些规则可以较为简捷的绘出根轨迹的大致图形，并为精确绘制根轨迹指明方向。114.2常规根轨迹2.绘制根轨迹的基本规则下面介绍以开环增益为参变量的根轨迹绘制规则。（1）根轨迹的分支数、对称性和连续性当根轨迹增益从0→+∞

连续变化时，每个闭环极点的变化都在s

复平面上形成一支连续变化的曲线，这些曲线被称为根轨迹的分支。根据特征方程(4-2-7)，得：当n≥m时，特征方程的阶次等于开环极点数n，而

n阶特征方程就对应有n个特征根或n

个闭环极点。由于

n个闭环极点就可形成n支根轨迹，所以根轨迹的分支数就为n

。124.2常规根轨迹另外。由于式(4-2-7)是一实系数方程，其特征根或为实根，或为共轭复根，因此当从0→+∞连续变化时，根轨迹必然对称于实轴，且连续变化。综上所述，可以得到绘制根轨迹的规则一。规则一：根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数等于系统的开环极点数

n。（2）根轨迹的起点和终点根轨迹的起点是指根轨迹上对应于的点，终点是指根轨迹上对应的点。根据幅值条件式(4-2-8)可得：(4-2-11)1）当时，式(4-2-11)的等号右边；而等号的左边，只有时为无穷大。也就是说，当时，只有时式(4-2-11)才成立。所以，根轨迹的起点一定位于系统的n

个开环极点处。134.2常规根轨迹2）当时，式(4-2-11)的等号右边，而在等号的左边当时为0，即根轨迹终止于开环零点。另外，当n＞m，时，式(4-2-11)的等号左边：故当n＞m时，有m

支根轨迹终止于开环零点，其余(n-m)

支根轨迹趋向无穷远处。可见，n阶系统的

n支根轨迹（n个分支）分别起始于

n个开环极点，其中m

支终止于m

个开环零点，其余(n

-

m)支终止于无穷远处。据此，可得绘制根轨迹的规则二。规则二：根轨迹起始于开环极点，而终止于开环零点。（3）实轴上的根轨迹位于实轴上的根轨迹，可直接利用相角条件来判断，下面分两种情况进行讨论。1）系统所有的开环零、极点均为实数，其分布如图4.2.2中实轴上的，，和

所示。图4.2.2开环零、极点均为实数144.2常规根轨迹现讨论位于开环零极点z1

和

p2

之间的一段实轴，在该区间段上任取一点

s0

为试验点。很明显，从点s0

左边的每一个实数开环零点z2

和开环极点

p2

向点s0所作向量的相角均为零，而从点s0

右边的每一个实数开环零点

z1

和开环极点p1向点s0所作向量的相角均为180°。因此，只有位于点s0

右边实轴上的开环零、极点才影响相角条件。2）若系统还存在一对共轭复零点z3、z4和一对共轭复极点p3、p4，其分布如图4.2.3所示。

由图4.2.3可看出，开环复零点z3、z4对实轴上任意一个试验点s0

所作向量的相角之和为360°。同理，开环复极点p3、p4对实轴上任意一个试验点s0

所作向量的相角之和也为360°，它们的存在对相角条件没有影响。因此，共轭复零点、共轭复极点对实轴上根轨迹的分布没有影响。假设在试验点s0右边实轴上的开环零、极点数分别为m1

和

n1，在其左边实轴上的开环零、极点数分别为m2

和

n2。另外，系统分别有m3

和

n3

对共轭开环零、极点，则根据相角条件式(4-2-9)可得：图4.2.3开环零、极点实数和复数共存154.2常规根轨迹即：所以，要满足相角条件，s0

右边实轴上的开环零、极点总数之和（或差）必须是奇数。规则三：若实轴上某线段右边的所有开环零点和开环极点数目之和为奇数，则这一线段就是根轨迹。（4）根轨迹的渐近线由上可知，当系统的n＞m

时，根轨迹一定有(n−m)支在时趋向无穷远处，根轨迹在无穷远处的趋向可由渐近线来决定。假设在根轨迹上无穷远处有一点s，即当s→+∞时，由于系统开环零、极点到根轨迹上无限远s

点构成的向量差别很小，几乎重合，因此可以将从各个不同的开环零、极点指向无限远s点的向量，用从同一点σa

处指向无限远s

点的向量来代替，即当s→+∞时，可用向量(s−σa)

来代替向量(s−zi)和(s−pi)。此时，根据特征方程(4-2-7)可得：(4-2-12)164.2常规根轨迹有：即：式(4-2-14)即为根轨迹的渐近线方程。由式(4-2-14)可知，在给定开环传递函数的情况下（n，m，pj，zj一定），自实轴上一定点向根轨迹上无限远处的变点s

作向量，其长度为+∞（当时，），相角也一定，它不随s的变化而变化。另外，根据式(4-2-11)和式(4-2-12)可得：式中：(4-2-13)(4-2-14)和174.2常规根轨迹比较可得，当s→+∞时，两式是等价的，其项的系数应相等，所以有：规则四：当n＞m，且根轨迹在时，有(n−m)支渐近线，它们与实轴的夹角分别为：(n−m)支渐近线交于实轴上同一点，其交点为：（5）根轨迹的分离（会合）点与分离（会合）角1）分离（会合）点。两条或两条以上根轨迹分支在s复平面上相交的点称为根轨迹的分离（会合）点。分离（会合）点可以位于实轴上也可以位于复平面上。184.2常规根轨迹如图4.2.4所示。在图4.2.4a)和图4.2.4b)中，分离点和会合点均位于实轴上，通常将根轨迹分支离开实轴进入复平面时与实轴的交点称为分离点（见图4.2.4a)），而将根轨迹分支从复平面进入实轴时与实轴的交点称为会合点（见图4.2.4b)）。分离（会合）点还可以共轭复数对的形式出现在复平面中，如图4.2.4c)所示。根轨迹上的分离（会合）点实质上就是闭环特征方程的重根，因而可以利用求解方程重根的方法确定根轨迹上的分离（会合）点。a)实轴上的分离点图4.2.4根轨迹上的分离点和会合点b)实轴上的会合点c)复平面中的分离（会合）点194.2常规根轨迹对于式(4-2-6)所示的系统，其特征方程为：式(4-2-23)除以式(4-2-22)得：则在根轨迹上的分离（会合）点（即系统特征方程在重根处），一定满足：和(4-2-22)(4-2-23)(4-2-24)(4-2-21)204.2常规根轨迹由于：因此：根据式(4-2-25)，可得：(4-2-25)(4-2-26)利用式(4-2-26)求出实数s值（实轴上的根轨迹）中使的点，即为所求的分离点与会合点。对应于重根处的值，可由特征方程式(4-2-21)求得，即(4-2-27)214.2常规根轨迹2）分离（会合）角所谓分离（会合）角是指根轨迹进入分离（会合）点的切线方向与离开分离（会合）点的切线方向之间的夹角。当有r

条根轨迹进入分离（会合）点时，分离（会合）角的计算公式为：对于实轴上的根轨迹而言，在分离点处的Kr

值最大，会合点处的Kr

值最小，故也可根据求导来得到最大Kr

值处的s值和最小Kr

值处的s

值。此时，利用根轨迹增益Kr的表达式(4-2-11)，将增益Kr

对当r=2时，分离（会合）角必为直角s求导，并令其为零，即，可得：(4-2-28)(4-2-29)224.2常规根轨迹或(4-2-30)可见，所得结果式(4-2-30)与式(4-2-24)是等价的。规则五：根轨迹的分离（会合）点可由式(4-2-26)或式(4-2-29)求解；分离（会合）点对应的根轨迹增益Kr可利用式(4-2-27)求解；根轨迹在分离（会合）点处的分离（会合）角可由式(4-2-28)求解。（6）根轨迹与虚轴的交点系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标，特征根在s

复平面的左半平面时，系统处于稳定状态；根轨迹穿越虚轴进入右半平面，系统将不稳定；根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一部分极点为纯虚数，系统处于临界稳定状态。为了判断系统的稳定范围，需确定根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点可采用以下两种方法确定：1）利用劳斯稳定判据，可求出系统临界稳定时的Kr

值和根轨迹与虚轴的交点。234.2常规根轨迹2）由特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0

和虚轴方程s=jω

联立求解，可得：(4-2-31)根据式(4-2-31)则可解出根轨迹与虚轴的交点ω

及对应的临界值Kr。规则六：根轨迹与虚轴的交点可根据劳斯稳定判据或式(4-2-31)求解。【例4.2.1】已知某反馈控制系统的开环传递函数为：试绘制Kr

从0→+∞变化时的根轨迹。244.2常规根轨迹解：规则一：根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数等于系统开环极点数n

。1）开环极点p1

=0

、p2

=–1

、p3

=–2；无开环零点；n–m=3。规则二：根轨迹起始于开环极点，而终止于开环零点。2）系统有3条根轨迹，分别起始于0、

–1

、–2，均终止于无穷远处。规则三：若实轴上某线段右边的所有开环零点和开环极点数目之和为奇数，则这一线段就是根轨迹。3）实轴上(–∞,2)与(–1,0)两区段为根轨迹。规则四：当系统n＞m

时，根轨迹在Kr

→+∞时，有(n

−

m)支渐近线，它们与实轴的夹角以及(n−

m)支渐近线的交点分别为：4）三条渐近线与实轴的夹角和交点分别为：254.2常规根轨迹规则五：根轨迹的分离（会合）点可由式(4-2-26)或式(4-2-29)求解；分离（会合）点对应的根轨迹增益Kr

可利用式(4-2-27)求解；根轨迹在分离（会合）点处的分离（会合）角可由式(4-2-28)求解。5）根轨迹的分离点根据系统特征方程，可得。由解得：由此可知，分离点为：。进而，由式(4-2-28)可知，在分离点处的分离角为。264.2常规根轨迹规则六：根轨迹与虚轴的交点可根据劳斯稳定判据或式(4-2-31)求解。6）求根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为，列劳斯阵列：根据劳斯阵列可知，系统临界稳定时Kr

=6，将其代入辅助方程：求得：。根据以上规则绘制系统的根轨迹，如图4.2.5所示。图4.2.5例4.2.1的根轨迹274.2常规根轨迹（7）根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角是指起始于复数开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴方向的夹角，如图4.2.6中的角。根轨迹的入射角是指终止于复数开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴方向的夹角，如图4.2.7中的角。图4.2.6根轨迹的出射角图4.2.7根轨迹的入射角284.2常规根轨迹在图4.2.6所示根轨迹上，靠近起始点p1

附近取一点s1，根据根轨迹相角条件有：当s1

无限靠近p1（即s1

→p1

）时，各开环零、极点指向s1的向量就变成各开环零、极点指向p1

的向量。这时，即为出射角。一般情况，根据相角条件式(4-2-9)，根轨迹在第a个开环极点pa

处的出射角为：同理可得，根轨迹在第b

个开环零点zb处的入射角为：(4-2-32)(4-2-33)294.2常规根轨迹有了出射角与入射角，就可确定根轨迹在复数开环极点和复数开环零点处大致的起始方向与终止方向。规则七：根轨迹的出射角和入射角分别根据式(4-2-32)和式(4-2-33)计算。【例4.2.2】单位反馈系统的开环传递函数：试绘制系统根轨迹。解：1）开环极点，，；没有开环零点；n–m=3

。2）系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点p1

，p2

，p3

，它们均终止于无穷远处。3）在实轴上，(–∞,0)区段为根轨迹段。4）渐近线夹角和交点分别为：304.2常规根轨迹5）由于根据式(4-2-29)所得的方程无解，故无分离点。6）根轨迹与虚轴交点系统闭环特征方程为，列劳斯阵列：根据劳斯阵列可知，系统临界稳定时，将其代入辅助方程，可得：求得。即根轨迹在时，与虚轴交于。314.2常规根轨迹7）根轨迹在极点p2处的出射角：由于p2

与p3

为共轭复数，所以。根据以上规则可绘制系统的根轨迹如图4.2.8所示。图4.2.8例4.2.2的根轨迹324.2常规根轨迹（8）系统的闭环极点之和（根之和）与闭环极点之积（根之积）系统的特征方程可表示为：当时，阶次比、要低，上式合并为：闭环特征方程还可由闭环极点来表示：(4-2-35)(4-2-36)比较式(4-2-35)与式(4-2-36)中的系数有：(4-2-37)式中，为系统闭环极点，为系统开环极点。根据这一规则可知，当系统时，根轨迹若有一些分支向左移，必有一些分支向右移动，以保持不变。334.2常规根轨迹比较式(4-2-35)与式(4-2-36)的常数项可得，n个闭环极点之积为：式中，为系统闭环极点，为系统开环极点，为系统开环零点，Kr

为根轨迹增益。由此可见，当根轨迹增益Kr为确定值时，若已知一些闭环极点，利用根之和、根之积规则可以较方便地确定其他待求的根。规则八：当系统满足，根轨迹增益Kr变化时，闭环极点之和为常数，等于开环极点之和；系统闭环极点之积满足式(4-2-38)。由此可见，在给定系统开环零点和开环极点的情况下，利用以上介绍的绘制根轨迹的八条基本规则，就可以比较迅速地绘制出根轨迹的大致形状和变化趋势。如果对某些重要部分的根轨迹感兴趣（如虚轴和原点附近的根轨迹），就可以根据相角条件精确绘制。需要说明的是，根据系统的不同，绘制系统的根轨迹不一定要用到以上全部的绘制规则，有时只用到部分规则就可以绘制出系统完整的根轨迹。(4-2-38)344.2常规根轨迹4.2.2利用根轨迹分析系统性能在经典控制理论中，控制系统设计的重要评价取决于系统的单位阶跃响应。然而，在系统初步设计过程中，重要的方面往往不是如何求出系统的阶跃响应，而是如何根据已知的闭环零、极点去定性的分析系统的性能。应用根轨迹法，可以迅速确定系统在某一开环增益或某一参数值下的闭环零、极点位置，从而得到相应的闭环传递函数。当系统存在一对主导极点时，可按低阶系统近似估算系统性能。1.暂态响应性能分析设系统具有一对共轭复数主导极点，此外还有若干个实数零、极点。设系统为I型系统，则其闭环传递函数为：在单位阶跃输入信号的作用下，系统输出响应的拉普拉斯变换式为：354.2常规根轨迹将上式展开为部分分式：可见：上式两边同乘，并且令，可得：由于为一相量，可以表示为：364.2常规根轨迹对于，其中当pi

为实数极点时，由于φk

=

qπ，q

为pi右面闭环实数零、极点数目之和，故：设p1

和p2

为一对共轭复数主导极点，则：374.2常规根轨迹其对应的输出分量为：式中，由此可见，具有一对共轭复数主导极点的I型系统的单位阶跃响应可写为：式中，(4-2-45)384.2常规根轨迹根据式(4-2-45)，可以采用近似方法估算系统暂态响应的指标。例如，为了估算超调量，可以先略去式(4-2-45)中的指数项部分，求出峰值时间tp和一次近似超调量，然后将值代入指数项，求出超调量的修正量∆Mp，两者之和即为超调量的二次近似值。在系统具有一对共轭复数主导极点，其它极点距虚轴较远的情况下，按包络线进入稳态值2%

误差带估算调整时间ts

的公式为：(4-2-47)实际中遇到的高阶系统，其主导极点数目往往不超过三个。综上所述，系统闭环零、极点位置与暂态响应之间的关系可以归纳如下：394.2常规根轨迹1）系统的稳定性只取决于闭环极点在s

平面的位置。若闭环极点位于s

平面的左半部，则系统的暂态响应呈收敛性，系统必定稳定。2）如果系统的极点均为负实数且无零点，则系统的暂态响应一定为非振荡的，且其响应时间主要取决于距虚轴最近的极点。若其它极点距虚轴的距离比最近极点的距离大5倍以上，可以忽略前者对系统暂态过程的影响。3）如果系统存在一对主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要决定于主导极点的衰减率，并与其它零、极点接近坐标原点的程度有关，而调整时间主要取决于主导极点的实部。4）如果在系统中存在距离非常接近的闭环极点和零点，其相互距离比其本身的模小一个数量级以上，则把这一对闭环零、极点称为偶极子。在一般情况下，偶极子对系统暂态响应的影响可以忽略。但如果偶极子的位置接近坐标原点，则其影响往往需要考虑。然而，它们并不影响系统主导极点的地位。5）除了一对主导复数极点之外，如果系统还具有若干实数零、极点，则零点的存在可减小系统阻尼，使响应速度加快，增加超调量；实数极点的存在会增大系统阻尼，使响应速度减慢，减少超调量。404.2常规根轨迹2.附加开环零点对根轨迹的影响在设计控制系统中，有时为改善系统的性能而增加开环零点，由此给根轨迹带来较为明显的变化。【例4.2.3】一系统的开环传递函数为：式中，z为附加的开环零点。解：系统的开环极点位于及处。实轴上的根轨迹位于之间。根轨迹渐近线与实轴交点的坐标，当z→−∞时，m=0。当z

为有限值时，m

=1

。根轨迹与实轴交点的夹角为：414.2常规根轨迹z

可在s

平面左半平面内的负实轴上任意选择位置，当选择z

→−∞时，即表示零点不存在。当z选不同值时的根轨迹如图4.2.9所示。当z取不同值时，系统开环极点的位置不变，但随着z

取有限值，根轨迹将向s左半平面弯曲，即有使根轨迹向零点靠拢的趋势。所附加的零点越靠近虚轴，这种趋势越明显。例如，

z

=−3

时，根轨迹虽比（即不附加零点）时有一定变化，但不很显著。当z

=−2

时，根轨迹就产生了质的变化，可以认为，此时不论系统的开环增益取何值，系统均能稳定。可以说当z

≥−2

时，根轨迹与虚轴就不再有交点了，系统总能稳定。a)z→−∞b)z=−3c)z=−2d)z=0图4.2.9z为不同值时的根轨迹424.2常规根轨迹以上论述的仅是附加开环零点对系统稳定性的改善作用。有时，需要再从改善系统动态性能的角度考虑，并不见得选定附加零点越靠近虚轴越好。附加零点的位置应该从系统的稳定性、响应的调整时间和超调量等因素综合考虑，还要包括下面提到的零点对系统稳态性能的影响，然后再选定。3.稳态性能分析第3章曾给出级数形式的给定稳态误差的表达式：式中，称为动态误差系数。为系统的给定误差传递函数，为系统的闭环传递函数，满足：(4-2-48)可见，式(4-2-48)不仅将误差系数与系统的闭环传递函数联系了起来，进一步还可以将误差系数与闭环零、极点联系起来。434.2常规根轨迹设系统闭环传递函数为：式中，为闭环传递函数写成零、极点形式的增益（或传递系数），。从方程式的系数与其根的关系可知：(4-2-49)(4-2-50)444.2常规根轨迹将式(4-2-50)代入式(4-2-48)，可求得闭环给定误差系数与其零、极点的关系：如果系统的闭环极点位置已定，适当配置闭环零点，可对系统的稳态误差产生有利的影响。由于附加开环零点对系统的稳定性、暂态响应有明显影响，在附加开环零点后，不仅改变了闭环极点在s

平面上的位置，而且也使系统的闭环传递系数增加了零点，因此其可对闭环控制系统的稳态误差产生影响。故附加零点应同时照顾到暂态响和稳态响应两方面的性能。454.3广义根轨迹在前面讨论的根轨迹都是以系统的根轨迹增益Kr

为可变参量，但在实际中还有许多种类的根轨迹。除根轨迹增益为变化参数的根轨迹以外，其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。如系统的参数根轨迹、零度根轨迹等均可列入广义根轨迹范畴。4.3.1参数根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，参数根轨迹的绘制法则与常规根轨迹完全相同。只需要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数的概念。为此，需要对闭环特征方程：进行等效变换，将其写为如下形式：式中，A

为除Kr外，系统任意的变化参数；P(s)和Q(s)为两个与A

无关的首一多项式。(4-3-1)(4-3-2)假设

，绘制以为变量的参数根轨迹。利用式(4-3-4)画出的根轨迹，就是参数A变化时的参数根轨迹。需要强调的是，等效开环传递函数是根据式(4-3-3)得来的，因此“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一般是不同的。由于闭环零点对系统动态性能有影响，所以由闭环零、极点分布来分析和估算系统性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环控制系统的零点。这一处理方法和结论，对于绘制开环零极点变化时的根轨迹，同样适用。【例4.3.1】系统的开环传递函数为：464.3广义根轨迹显然，式(4-3-1)与式(4-3-2)相等，即：根据式(4-2-3)，可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为(4-3-4)(4-3-3)当时，有：以为变量，则有：474.3广义根轨迹解：1）求以为变量时系统的等效开环传递函数。系统的特征方程为：2）开环极点中，一个位于坐标原点，另外两个是方程的根，即：3）实轴上的根轨迹位于区间上。渐近线与实轴的交点坐标为484.3广义根轨迹4）对于一对复数根的根轨迹分支，其渐近线的相角为：5）根轨迹与虚轴的交点坐标可以通过劳斯稳定判据求得。根据特征方程s3+

2s2+3s+α

=0，列出如下劳斯阵列：令6−

α

=0，即得α=6。由2s2+α=0，解得。6）求一对共轭复数极点的出射角。对位于处的极点，其根轨迹的出射角为：根据对称特点，可知自极点出发的根轨迹出射角为35°。当时，以α

为变量的系统参数根轨迹如图4.3.1所示。图4.3.1以α

为变量的系统参数根轨迹494.3广义根轨迹4.3.2零度根轨迹在某些系统中，内环是一个正反馈回路。这时，绘制根轨迹的条件和规则与上述有所区别。具有局部正反馈系统的框图如图4.3.2所示。(4-3-5)对于局部正反馈部分，其正反馈回路的闭环传递函数为：相应的特征方程为：或图4.3.2具有局部正反馈的系统结构框图504.3广义根轨迹比较式(4-3-5)和式(4-2-3)，不难看出，绘制根轨迹的幅值条件没有变，但相角条件改变了。根据式(4-3-5)正反馈回路根轨迹的幅值条件和相角条件可写为：上式表明，对于正反馈回路，相角条件不是，而是。因此，通常将这种根轨迹称为零度根轨迹。根据式(4-3-7)的相角条件，在绘制正反馈回路的根轨迹时，需对一些规则作如下修改：规则三

在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边的开环零、极点数目之和为偶数。规则四(n-m)条渐近线的相角为：(4-3-7)(4-3-6)514.3广义根轨迹规则七

根轨迹的出射角为：入射角为：除了上述三项规则需要修改外，其他规则均不变。【例4.3.2】绘制图4.3.3所示的具有正反馈内环回路的系统根轨迹。图4.3.1具有正反馈内环回路的系统解：首先，绘制内环的根轨迹。内环部分的特征方程为：524.3广义根轨迹内环的开环极点为：根据规则七可知，由这一对共轭复数极点出发的根轨迹的出射角为：对内环的特征方程，求的根，得：于是得到根轨迹与实轴的交点坐标为：零度根轨迹绘制规则三指出：实轴上存在根轨迹的条件是其线段右边的开环零、极点为偶数。该系统内环在实轴上不存在开环零、极点，所以根轨迹可以全部存在于实轴上。或534.3广义根轨迹给出的内环根轨迹如图4.3.4a)所示，根轨迹上所有的点都满足零度根轨迹的相角条件。由图不难看出，正反馈回路的根轨迹与负反馈回路的根轨迹有很大的差异。在负反馈回路中，如果开环有一对位于s

平面左半部的复数极点，随着回路开环增益的增大，闭环始终具有一对位于s

平面左半部的复数极点，并且其阻尼比越来越小。但在正反馈回路中，随着回路开环增益增大，闭环极点将从一对稳定的复数极点逐渐成为两个稳定的实数极点。当回路开环增益K0

=1时，回路将有一个p

=0的极点。如果使K0

＞1，则回路就有位于s

平面右半部的实极点。此时，由正反馈回路构成的内环将是不稳定的。假定系统内环的开环增益K0=1，则内环的闭环极点将是p1

=1和p1

=−2ζωn，如图4.3.4a)中根轨迹上的小方块所示。这时，系统的内环相当于是一个积分环节与一个非周期环节串联而成。a)图4.3.3具有正反馈内环回路的系统根轨迹544.3广义根轨迹将内环的两个闭环极点与控制器的零、极点标明在图4.3.4b)中（设），然后按负反馈根轨迹的规则，可以画出整个系统的根轨迹。综上所述，绘制正反馈回路的根轨迹时，应当按照零度根轨迹的规则进行，其步骤与绘制负反馈回路的根轨迹相类似。由例4.3.2可知，当系统内存在正反馈回路时，可能会使系统开环传递函数出现位于s

平面右半平面的极点。当系统的所有开环零、极点都位于s

平面左半平面时，称为最小相位系统。当系统具有

s

平面右半平面的开环零、极点时，称为非最小相位系统。这是根据对上述两类系统相频特性的分析而引出的概念，将在下章进行讨论。b)图4.3.3具有正反馈内环回路的系统根轨迹554.4MATLAB在根轨迹分析中的应用利用MATLAB控制系统工具箱中根轨迹分析的函数，可以方便地绘制系统的常规根轨迹和参数根轨迹。通过读取根轨迹上的开环增益等信息，可以直观地分析控制系统在开环增益、某个或某几个参量改变时，对系统稳定性、暂态性能和稳态性能的影响。1.根轨迹的绘制【例4.4.1】系统开环传递函数为，绘制系统的常规根轨迹。解：MATLAB命令如下：num=[1];den=[1680];rlocus(num,den);%绘制根轨迹sgrid%在s平面中用虚线画出阻尼比、振荡角频率栅格axisequal%设纵、横坐标等比例尺[k,p]=rlocfind(num,den);%显示可移动光标处的开环增益和极点p

564.4MATLAB在根轨迹分析中的应用绘制的根