《自动控制原理》第7章 离散控制系统

自动控制原理PrincipleofAutomaticControl2本章内容7.1离散控制系统概述7.2信号的采样与保持7.3

z变换和z反变换7.4离散控制系统的数学模型7.5离散控制系统的稳定性分析7.6离散控制系统的稳态误差7.7离散控制系统的时域分析7.8线性离散控制系统的数字校正7.9

MATLAB在离散控制系统中的应用第七章离散控制系统7.1离散控制系统概述37.1.1信号的分类按照时间和幅值是否连续，系统中的信号可分为四类（幅值的离散化过程称为量化）：1、连续信号：时间和幅值上均连续，也称为模拟信号2、量化信号：时间上连续，幅值上离散3、采样信号：时间上离散，幅值上连续4、数字信号：时间和幅值上均离散图7.1.1信号的分类7.1离散控制系统概述40111000110110011003433140111000110110011003.23.92.83.41.24.2连续信号：采样信号：数字信号：47.1.2离散控制系统的结构框图分类：1、采样控制系统：离散时间信号是脉冲序列形式的采样信号，又称脉冲控制系统2、数字控制系统：离散时间信号是数字序列形式，又称计算机控制系统图7.1.2典型数字控制系统的结构框图7.1离散控制系统概述定义：当控制系统中存在离散时间信号时，这类系统称为离散控制系统，简称离散系统。A/D转换=采样（时间离散化）＋量化（幅值离散化）；D/A转换=解码＋保持。5实际中，A/D转换器可用理想采样开关表示，D/A转换器可用保持器取代，数字控制系统可用采样控制系统结构图等效：图7.1.3采样控制系统的结构框图7.1离散控制系统概述67.1.3离散控制系统的特性与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1、易于修改控制规律：控制规律由软件实现，不需改变电路结构，灵活性和适应性强2、可实现复杂控制规律：计算机指令丰富、逻辑判断功能强，能实现最优控制、自适应控制及各种智能控制3、分时控制多个回路：利用计算机的高速运算能力，一台数字控制设备可同时控制多个回路，提高设备利用率4、提高系统性能：数字信号传递可有效抑制噪声、抗干扰能力强；数字器件灵敏度高，可提高控制精度7.1离散控制系统概述7.2信号的采样与保持87.2.1采样过程采样是将连续信号转换为离散（脉冲）信号的过程，实现采样的装置称为采样器（采样开关）。采样器有三种工作方式：1、周期采样：系统只有一个采样器，采样时刻等间隔（本章讨论对象）2、同步采样：两个以上采样器周期相同且相位同步；3、多速率采样：各采样器按不同周期工作。相邻两次采样的间隔称为采样周期，采样频率，采样角频率。图7.2.1采样过程7.2信号的采样与保持9当脉冲宽度时可看作理想采样开关，输出为理想脉冲序列：单位脉冲序列：当，，有7.2信号的采样与保持10图7.2.2采样调制过程采样过程的特点总结：1、采样过程相当于一个脉冲调制过程2、采样的输出信号可表示为两个信号的乘积决定采样时间决定采样信号的幅值117.2.2采样定理香农（Shannon）采样定理：如果采样角频率满足或（为连续信号频谱的最大角频率）。则采样得到的脉冲序列能够无失真地恢复原连续信号。物理意义：对连续信号所含最高频率分量，在其一个周期内采样两次或以上，脉冲序列中就包含了原连续信号的全部信息。采样信号的频谱：

是以为周期的无穷多个频谱之和，时为主分量，其余为采样引起的高频分量。图7.2.3采样信号频谱：频谱互不重叠：临界情况：高频混入低频，产生频谱混淆。7.2信号的采样与保持12满足该条件时，可利用理想低通滤波器滤掉高频分量、保留主频谱，无失真地恢复原连续信号。理想低通滤波器的频率特性：在范围内幅值为1，此范围以外全部衰减为零。理想低通滤波器实际上不存在，工程上常采用零阶保持器实现采样信号的恢复。图7.2.4理想低通滤波器的频率特性7.2信号的采样与保持频谱互不重叠的条件：137.2.3采样周期

控制过程采样周期/s流量1压力5液面5温度20成分20表7.2.1工业过程控制中采样周期的选取7.2信号的采样与保持147.2.4信号保持信号保持（信号恢复）是将采样脉冲序列转换成连续信号的过程，实现信号保持的元件称为保持器。时域上看，保持器在各采样时刻之间进行插值；频域上看，保持器滤掉高频分量、保留低频主分量。按恒值、线性、抛物线外推规律分别称为零阶、一阶、二阶保持器。零阶保持器将时刻的采样值恒定不变地保持到下一采样时刻：图7.2.5零阶保持器的输入信号和输出信号的关系7.2信号的采样与保持零阶保持器的输出：——相位滞后15零阶保持器的输出：传递函数：7.2信号的采样与保持做拉氏变换：频率特性：，图7.2.6零阶保持器的频率特性曲线零阶保持器的特性：（1）低通特性：幅值随频率增大迅速衰减，基本上是一个低通滤波器；但时幅值仍有初值的63.7%，部分高频分量得以通过，使数字控制系统输出存在纹波。（2）相角滞后特性：相角滞后随增大而加大，时达-180°

，使闭环系统稳定性变差。（3）时间滞后特性：输出为阶梯信号，平均响应比输入滞后，相当于增加一个延迟环节，对稳定性不利。7.3z变换和z反变换177.3.1z变换定义连续函数

的拉氏变换为：设的采样信号为，则其拉氏变换为：式中是s的超越函数，不便直接运算。引入新复变量：代入即得z变换的定义：注意：z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，不能反映采样时刻之间的特性；采样函数的z变换是唯一的，但同一离散序列可对应无穷多个连续函数。187.3.2z变换方法1、级数求和法将离散函数按采样时刻展开：再逐项做拉氏变换：则相应z变换为：只要知道连续函数在各采样时刻的数值即可求得其z变换（开放形式，部分可写成闭合型）。【例7-3-1】求单位阶跃函数的z变换。【解】单位阶跃函数的采样函数为

代入定义式：7.3z变换和z反变换197.3.2z变换方法2、部分分式法设连续函数

的拉氏变换为有理函数，则可以展开为部分分式的形式，即：7.3z变换和z反变换

——F(s)的极点

——常系数

——拉氏反变换为，z变换为则的z变换为：【例7-3-2】设连续函数

的拉氏变换为，试求其

z变换。【解】

将

展开为部分分式：取拉氏反变换：而：故：203、留数计算法设连续函数

的拉氏变换及其全部极点

已知，则可用留数法计算其z变换。表7.3.1常用z变换表7.3z变换和z反变换当具有一阶极点时，其留数为：为在时的留数。实际中更多直接查常用z变换表（右表），避免繁琐计算。当具有q阶重复极点时，相应留数为：11157.3z变换和z反变换其两个极点分别为和，相应的留数分别为【例7-3-3】求的z变换。【解】

的拉氏变换为：227.3.3z反变换方法1、长除法：用的分母去除分子，得到按升幂排列的级数展开式，然后用z反变换求出相应的离散函数的脉冲序列。的一般表达式为：通常，用分母多项式除分子多项式可得：z反变换为：7.3z变换和z反变换z反变换是已知z变换表达式

求取的过程求解方法：长除法、部分分式法、留数计算法。237.3z变换和z反变换【例7-3-4】求的z反变换。【解】用长除法：z反变换为：2、部分分式法：③查z变换表②两端乘以z，以便展开成部分分式：

①先将变换式写成247.3z变换和z反变换3、留数计算法：由z变换的定义：两边同时乘以：由复变函数理论：【例7-3-5】用部分分式法求的z反变换。【解】z反变换为：或曲线C可以是包含

全部极点的任意封闭曲线。对于一阶极点的留数为对于q阶的重极点留数为257.3z变换和z反变换【例7-3-6】用留数法求的z反变换。【解】在和处各有一个极点，因此：可得：考虑，则式中277.4.1差分方程及其求解线性离散系统的数学模型主要有差分方程（时域）和脉冲传递函数（z域）两种形式。对于连续函数，采样后的离散信号，简记为。差分是两个采样信号之间的差值，分为前向差分和后向差分：一阶前向差分：二阶前向差分：n阶前向差分：一阶后向差分：二阶后向差分：n阶后向差分：7.4离散控制系统的数学模型281、差分方程如果一个方程中除含有函数本身外，还有函数的差分，则称此方程为差分方程，即：对于输入、输出均为离散信号的线性定常离散系统，其n阶差分方程为：式中为输入信号，为输出信号；为常数。n阶差分方程也可写为

方程阶次等于输出量差分的最高阶次与最低阶次之差。或线性定常系统差分方程的一般形式7.4离散控制系统的数学模型29差分方程常用求解方法有迭代法和z

变换法。与拉氏变换解微分方程类似，z变换可将差分方程化为以z为变量的代数方程，再经反变换求出解，且初始条件自动包含在代数表达式中。【例7-4-1】用z

变换法解二阶离散系统差分方程：初始条件，。【解】对方程两边取z变换：代入初始条件整理得：经反变换得：本例输入信号为零，系统响应由初始条件激励。2、差分方程的求解7.4离散控制系统的数学模型307.4.2脉冲传递函数定义：零初始条件下，系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比：其离散输出信号为：图7.4.1采样系统输出信号连续时，可在输出端虚设采样开关（周期与输入端相同）。根据单位脉冲响应来推导脉冲传递函数：由卷积和定理：7.4离散控制系统的数学模型31考虑G(z)的求取过程可得：系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应g(t)经采样序列的z变换，即系统响应越快（g(t)衰减越快），展开式包含的项数越少。1、脉冲传递函数的求取若已知系统传递函数或单位脉冲响应函数g(t)，则脉冲传递函数为：若已知系统的差分方程，在零初始条件下，输出的z变换和输入的z变换之比即为脉冲传递函数：7.4离散控制系统的数学模型32【例7-4-2】已知传递函数：试求系统脉冲传递函数

。【解】将展开成部分分式：直接由z变换公式得：7.4离散控制系统的数学模型33【例7-4-3】已知系统差分方程：试求系统脉冲传递函数

。【解】在零初始条件下，对差分方程两边求z变换，得：根据脉冲传递函数定义：7.4离散控制系统的数学模型34图7.4.2环节串联的结构2、开环脉冲传递函数7.4离散控制系统的数学模型（1）串联环节之间无采样开关：当串联环节之间无采样开关时，等效脉冲传递函数等于各环节传递函数之积的z变换。35（2）串联环节之间有采样开关：7.4离散控制系统的数学模型采样后图7.4.2环节串联的结构当串联环节之间有采样开关时，等效开环脉冲传递函数为各环节脉冲传递函数之积。z变换后故通常367.4离散控制系统的数学模型【例7-4-4】设在图7.4.2中，，求系统的开环脉冲传递函数。【解】图7.4.2（a）所示系统的开环脉冲传递函数为：图7.4.2（b）所示系统的开环脉冲传递函数为：显然37对图7.4.3所示常见结构，图7.4.3采样控制系统7.4离散控制系统的数学模型3、闭环脉冲传递函数或闭环脉冲传递函数：误差脉冲传递函数：38当采样系统中有数字控制器时，图7.4.4具有数字控制器的采样系统7.4离散控制系统的数学模型闭环脉冲传递函数：有干扰时，图7.4.5有干扰信号的采样系统7.5

离散控制系统的稳定性分析407.5.1离散控制系统的稳定性条件1、s平面与z平面的映射关系：

（虚轴与左半平面的映射）图7.5.1s平面和z平面的映射曲线设复变量，则7.5

离散控制系统的稳定性分析412、离散控制系统稳定的充要条件闭环脉冲传递函数特征方程说明系统稳定。单位脉冲响应为闭环极点。若要系统稳定，即要使，必须有，即离散系统的全部极点必须严格位于z平面的单位圆内。只要离散系统的全部极点均位于z平面的单位圆之内，即，则一定有：闭环采样系统稳定的充分和必要条件：系统特征方程的所有根（即闭环脉冲传递函数的极点）均位于z平面上以原点为圆心的单位圆之内，这就要求这些根的模。427.5.2离散控制系统的稳定性判据双线性变换（w变换）：或图7.5.2z平面和w平面的映射曲线7.5

离散控制系统的稳定性分析讨论：z和w均为复变量（1）w平面的虚轴：对应于

z平面单位圆（2）w平面的左半平面:对应于

z平面单位圆内（3）w平面的右半平面对应于

z平面单位圆外43【例7-5-1】设采样系统的框图如图7.5.3所示，其中，采样周期，求能使系统稳定的

值范围。图7.5.3采样系统【解】开环脉冲传递函数7.5

离散控制系统的稳定性分析闭环脉冲传递函数闭环特征方程代入，得，447.5

离散控制系统的稳定性分析可见：稳定的二阶连续系统加入采样器后，增益超过一定程度时，系统会变得不稳定；提高采样频率可使系统更接近连续系统，稳定性得到改善。整理得，列劳斯表7.6离散控制系统的稳态误差467.6.1给定稳态误差开环脉冲传递函数为，给定信号作用下误差的z域表达式为：

图7.6.1单位反馈离散系统仿照连续系统，按中极点的个数将系统分为0型、Ⅰ型、Ⅱ型；稳态误差与输入形式、系统结构参数以及采样周期T有关。设闭环系统稳定，根据

z变换的终值定理，离散系统采样时刻的稳态误差为:477.6离散控制系统的稳态误差1、输入信号为单位阶跃函数对0型系统，即G(z)不含

z=1的极点，

为一有限值称为静态位置误差系数对Ⅰ型或Ⅰ型以上系统，即G(z)具有一个z=1的极点，487.6离散控制系统的稳态误差2、输入信号为单位斜坡函数对Ⅰ型系统，即G(z)具有一个z=1的极点，为一有限值，称为静态速度误差系数对0型系统，即G(z)不含

z=1的极点，，对ⅠI型或II型以上系统，即G(z)至少含有2个z=1的极点，497.6离散控制系统的稳态误差3、输入信号为单位加速度函数对ⅠⅠ型系统，为一有限值，称为静态加速度误差系数对0型或Ⅰ型系统，，对ⅠII型或III型以上系统，50采样瞬时无差条件：阶跃输入要求G(z)至少含1

个z=1极点，斜坡输入至少2个，加速度输入至少3个。系统类型单位阶跃单位斜坡单位加速度0型

Ⅰ型0

Ⅱ型00表7.6.2三种典型输入作用下系统的稳态误差7.6离散控制系统的稳态误差517.6.2扰动稳态误差扰动单独作用时，系统输出为：7.6离散控制系统的稳态误差系统误差为：稳态误差为：根据线性系统叠加原理，线性离散系统总误差由给定信号和扰动信号共同作用产生。图7.6.2

离散系统结构图7.7离散控制系统的时域分析537.7.1离散控制系统的动态响应若已知离散控制系统的闭环脉冲传递函数将展开成幂级数，通过z反变换即得输出脉冲序列。则单位阶跃响应的z变换为7.7离散控制系统的时域分析53图7.7.1离散系统的阶跃响应【例7-7-1】：已知单位反馈离散系统的开环脉冲传递函数为

试求时的系统输出响应。

【解】：离散系统的闭环脉冲传递函数为

响应为衰减振荡：最大超调量约40%，上升时间约2T，峰值时间约3.5T。注意：输出只能得到采样点上的值，即输出为脉冲序列；T很小时可用虚线近似连续输出。557.7.2闭环零点、极点分布对瞬态响应的影响7.7离散控制系统的时域分析设闭环采样系统的脉冲传递函数为：为的零点；为的极点，无重极点，。稳态分量暂态分量561、闭环极点为实根7.7离散控制系统的时域分析图7.7.2闭环极点分布与瞬态分量的关系图（3）当时，极点位于单位圆内的正实轴上，对应的暂态分量指数衰减，且越靠近原点，衰减越快；（1）当 时，极点位于单位圆外的正实轴上，对应的暂态分量指数发散，且越远离原点，发散越快，系统不稳定；（2）当 时，极点位于单位圆上的正实轴上，对应的暂态分量为等幅脉冲序列，系统临界稳定;（4）当时，极点在单位圆内的负实轴上，随k变换出现正负交替衰减，即时间响应是正负交替的衰减振荡，振荡频率为;

（5）当 时，极点位于单位圆上的负实轴上，其时间响应是正负交替的等幅振荡，振荡频率为;（6）当时，极点位于单位圆外的负实轴上，时间响应为正负交替的发散振荡过程。572、闭环极点为复根7.7离散控制系统的时域分析图7.7.2闭环极点分布与瞬态分量的关系图（1）当时，极点在单位圆内,时间响应是衰减振荡的，复极点离原点越近，衰减越快；（2）当 时，极点在单位圆上，时间响应是等幅振荡的；（3）当 时，极点在单位圆外，时间响应是振荡发散的，越大，发散越快。闭环脉冲传递函数的闭环极点在单位圆内，对应的瞬态分量均为衰减，故系统稳定；当闭环极点在单位圆上或单位圆外，对应的瞬态分量等幅振荡或发散振荡，故系统不稳定。为了使离散系统具有良好的动态过程，闭环极点应尽量避免配置在单位圆的左半部，尤其不要靠近负实轴，以免产生强烈振荡。闭环极点应最好配置在单位圆的右半部，而且靠近原点的地方，这样，系统的动态过程进行较快，因而系统的快速性较好。58定义：若离散系统的一对单位圆内的极点靠近单位圆，而其他零、极点均在原点附近、且离这对极点相当远，那么系统瞬态响应主要由这一对极点来决定，称为主导极点。7.7离散控制系统的时域分析3、主导极点峰值时间：最大超调量：设系统的一对主导极点为：主导极点距z平面的原点越近，即其模值越小，则最大超调量越小。由于极点模值小于1，因此峰值时间越大，超调量越小；对于这两个性能指标的要求是矛盾的，实际中需折中。主导极点的相位越大，则峰值时间越小；7.8线性离散控制系统的数字校正60图7.8.1采样系统的串联数字校正根据校正装置在系统中的位置：串联校正与反馈校正根据校正装置的作用：相位超前校正与相位滞后校正校正装置的实现：可用模拟电路，也可用数字装置实现数字控制器的脉冲传递函数为617.8.1数字控制器的模拟化和离散化当采样频率足够高时，系统的数字部分可用连续环节近似，先按连续系统设计，再离散化实现。主要步骤：（1）根据性能指标，用连续系统理论设计，同时考虑保持器的影响；（2）选择合适的离散化方法，将离散化为；（3）校验离散系统性能是否满足要求，并用计算机程序实现控制律。7.8线性离散控制系统的数字校正1、一阶差分近似：导数用差分近似，，则离散化方法：2、阶跃响应不变法：数字控制器阶跃响应等于模拟装置的采样值3、双线性变换法：627.8.2最少拍控制系统的校正7.8线性离散控制系统的数字校正拍：一个采样周期称为一拍最少拍采样控制系统：在典型信号作用下，经过最少的采样周期，系统的采样误差信号减少为零，实现完全跟踪，则称此系统为最少拍系统，又称最快响应系统。根据典型输入信号形式及性能指标，确定或典型输入信号单位阶跃单位斜坡单位抛物线637.8线性离散控制系统的数字校正稳态误差终值：为了实现无稳态误差，误差脉冲传递函数满足条件为不包含的多项式闭环脉冲传递函数为时，64图7.8.2

最少拍系统的单位阶跃响应7.8线性离散控制系统的数字校正1、单位阶跃输入信号作用，且时65图7.8.3

最少拍系统的单位斜坡响应7.8线性离散控制系统的数字校正2、单位斜坡输入信号作用，且时66图7.8.4

最少拍系统的单位加速度响应7.8线性离散控制系统的数字校正3、单位斜坡输入信号作用，且时67典型输入调整时间

T

2T3T表7.8.1最少拍系统的校正7.8线性离散控制系统的数字校正68【例7-8-1】：设采样系统的框图如下图所示，其中7.8线性离散控制系统的数字校正已知T=0.5s，试求在单位斜坡信号作用下最少拍系统的。【解】保持器及被控对象的脉冲传递函数为：单位斜坡响应暂态过程只要两个采样周期即可结束!697.8线性离散控制系统的数字校正图7.8.5例7-8-1系统的单位阶跃响应若将上述系统的输入信号改为单位阶跃信号，则输出为：动态过程也可在两个采样周期内结束，但在t=T时超调量为100%。【例7-8-2】：设单位反馈采样系统控制系统中被控对象和零阶保持器的传递函数分别为式中，T=0.2s，试求在单位阶跃信号作用下最少拍系统的数字控制器的脉冲传递函数，以及系统输出响应。707.8线性离散控制系统的数字校正【解】系统的开环脉冲传递函数为：包含一个位于z平面单位圆外的零点。根据上述可知，应含。设：式中，为待定系数。是一个的二阶多项式。，应为：式中，为待定系数。解得717.8线性离散控制系统的数字校正局限性：