2026中考第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+真题演练）第15课时：三角形与全等（学生版+教师版合并）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第15课时三角形与全等一、核心知识一、核心知识（一）三角形的基本概念与分类定义：由不在同一直线上的____________首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，有3个顶点、3条边、3个内角。分类：按角分：、、；按边分：、（含，）。三角形的重要线段：中线：连接顶点与对边____________的线段，三条中线交于__________（重心分中线为2:1两段）；角平分线：平分内角且与对边相交的线段，三条角平分线交于___________（到相等）；高：从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段，三条高交于____________（直角三角形垂心在）。（二）三角形的基本性质三边关系：三角形任意两边之和___________第三边，任意两边之差____________第三边（判断三条线段能否构成三角形的依据）。内角和定理：三角形的内角和为；直角三角形的两个锐角______。外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的____________；三角形的一个外角___________与它不相邻的任意一个内角；三角形的外角和为__________。等腰三角形性质：等边对等角：两腰所对的底角____________；三线合一：等腰三角形的、、重合；等边三角形性质：三边相等，三个内角都为____________，每条边上都满足“三线合一”。（三）全等三角形的定义与性质定义：能够____________的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。性质：全等三角形的对应边____________，对应角____________；对应边上的、、都相等，周长和面积也相等。（四）全等三角形的判定定理（核心考点）基本判定（通用）：SSS：三边分别____________的两个三角形全等；SAS：两边及其____________分别相等的两个三角形全等；ASA：两角及其____________分别相等的两个三角形全等；AAS：两角及其中一角的____________分别相等的两个三角形全等；特殊判定（仅直角三角形）：HL：斜边和一条___________分别相等的两个直角三角形全等。注意：SSA、AAA不能判定三角形全等。（五）全等三角形的证明思路已知两边：找夹角用→找第三边用→若为直角三角形用；已知一边一角：边为角的夹边用→边为角的对边用→找另一角用；已知两角：找夹边用→找任意一角的对边。二、核心能力二、核心能力（一）三角形的三边关系与角度计算题型1：三边关系应用解题思路根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式，求解第三边的取值范围；若为整数边，需列举所有符合条件的情况。题型2：内角和与外角性质计算解题思路利用内角和定理、外角性质建立角度间的等量关系，若有角平分线、中线，结合其定义拆分角度，设未知数列方程求解。（二）三角形重要线段的应用题型1：中线与面积相关计算解题思路三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，利用此性质可求不规则三角形的面积，或结合重心的2:1比例求解线段长度。题型2：角平分线的性质应用解题思路角平分线上的点到角两边的距离相等，可作垂线构造全等三角形，将线段、角度进行转化。（三）等腰/等边三角形的性质与判定题型1：等腰三角形的性质应用解题思路利用“等边对等角”转化角度，利用“三线合一”作辅助线（如作底边上的高），将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，结合勾股定理计算。题型2：等边三角形的判定解题思路三边相等→三角相等（都为60°）→有一个角是60°的等腰三角形，满足其一即可判定为等边三角形。（四）全等三角形的证明与应用题型1：基础全等证明（无辅助线）解题思路找准已知条件对应的边、角，结合判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）直接证明，注意对应顶点的顺序。题型2：构造辅助线证明全等解题思路常见辅助线：作垂线（构造直角三角形，用HL/SAS）、截长补短（证明线段和差关系）、连接两点（构造公共边，用SSS/SAS）、倍长中线（延长中线至两倍，构造SAS全等）。题型3：全等三角形的性质应用解题思路先证明三角形全等，再利用“对应边相等、对应角相等”转化线段或角度，求解未知边、角，或证明线段平行、垂直。三、易错警示三、易错警示三边关系忽略“任意性”错误：判断3、4、7能否构成三角形，认为3+4=7符合要求；提醒：必须满足任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，3+4=7时不能构成三角形。全等判定混淆“夹角”与“邻角”错误：用SAS判定时，将两边的邻角当作夹角（如AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，直接证△ABC≌△DEF）；提醒：SAS的“角”必须是两边的夹角，否则为SSA，不能判定全等。等腰三角形忽略“分类讨论”错误：已知等腰三角形一个角为80°，直接认为底角为80°；提醒：未说明是顶角还是底角时，需分类讨论（80°为顶角或底角），注意三角形内角和不能超过180°。辅助线构造不当：错误：证明线段和差时，盲目作垂线，未结合题目标注；提醒：截长补短适用于“a+b=c”型线段证明，倍长中线仅适用于有中线的三角形，作垂线需结合角平分线、直角条件。全等对应关系找错错误：将△ABC≌△DEF的对应边写成AB=DF，AC=DE；提醒：全等三角形的对应顶点按顺序写，对应顶点所对的边、角为对应边、角，可通过图形旋转、平移找对应关系。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（2024・浙江杭州中考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.2，3，5B.3，4，8C.4，5，6D.5，6，12（2024・广东广州中考）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠ACB的外角为（）110°B.120°C.130°D.140°（2023・江苏苏州中考）等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为（）30°B.40°C.50°D.60°（2025・北京中考）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E对应，则下列结论错误的是（）AB=DEB.∠ACB=∠DFEC.AC=DFD.∠ABC=∠DFE（2024・四川成都中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=3，则点D到AB的距离为（）1B.2C.3D.4（2023・湖南长沙中考）能判定△ABC≌△A'B'C'的条件是（）AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B'B.AB=A'B'，∠A=∠A'，BC=B'C'C.∠A=∠A'，∠B=∠B'，AC=A'C'D.∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'（2025・山东青岛中考）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，则BD的长为（）1B.2C.3D.4（2024・重庆中考）已知三角形的两边长分别为4和9，则第三边的取值范围是（）5<x<13B.5≤x≤13C.4<x<9D.4≤x≤9（2023・陕西中考）如图，AB=CD，AD=BC，下列结论错误的是（）∠A=∠CB.AB∥CDC.AD∥BCD.∠A=∠B10.（2025・湖北武汉中考）Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AC=DF，BC=EF，则判定两三角形全等的定理是（）SSSB.SASC.ASAD.HL11.（2024・安徽中考）等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为（）4B.6C.4或6D.812.（2023・福建中考）如图，在△ABC中，BD是中线，AB=5，BC=3，则△ABD与△BCD的面积差为（）2B.3C.4D.013.（2025・四川宜宾中考）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证△ABC≌△DEF的依据是（）SSSB.SASC.ASAD.AAS14.（24-25达州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC边上一点，△ACD是由△ABP旋转得到的，点B、P的对应点分别是C、D，下列结论一定正确的是（

）

A.AP=AC B.BC=PD C.∠PCA=∠DCA D.∠PAC=∠DAC15.（24-25·天津中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B,C的对应点分别为B′,C′,B′C′A.125 B.165 C.4 （二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·贵州模拟）已知△ABC的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为_____________．17.（24-25·四川模拟）如图，点O是△ABC的重心，过O点作直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，现随机向△ABC内部掷一枚小针，则针尖落在△ADE区域内的概率为___________．

18.（23-24·重庆中考）如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=36∘,BD平分∠ABC交AC于点D．若BC=2,则AD的长度为

．

19.（24-25·山西模拟）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40∘和50∘，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40∘和50∘的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为__________．

20.（24-25·广西中考）如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2,BD=CD=2，则AD=_____________．

21.（24-25·辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(−4,6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90∘，则点A的对应点A′的坐标为______________．

22.（24-25甘肃模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90∘，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为__________．

23.（24-25·江苏模拟）在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B′CD，AC与B′D交于点E，若∠A=∠ACD，AE=CE，S△ACD=S△B′CE24.（24-25·四川中考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP=45∘，点F在射线DP上，且AE:DF=1:2，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2=EG2；③△DEF的面积最大值是25.（24-25·内蒙古模拟）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120∘，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论:①OD=OE;②SΔODE=SΔBDE;③四边形ODBE的面积始终等于433;④△BDE周长的最小值为（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·吉林模拟）如图，在△ABC中，CD为△ABC的中线，延长CD至点E，使得CE=2CD，连接BE．求证：AC=BE．

27.（24-25·云南中考）如图，AB与CD相交于点O，AC=BD,∠C=∠D．求证：△AOC≅△BOD．

28.（25-26·江苏月考）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF

（1）求证：△ABC≅△DEF；（2）若∠A=55∘，∠E=4529.（25-26·贵州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，延长BC至点F，使CF=DE，连接EF．

（1）求证：△EDC是等腰三角形；（2）已知∠A=40∘，求30.（23-24·贵州模拟）综合与实践

问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．

独立思考：（1）如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，则∠A与∠1+∠2之间的数量关系为，请说明理由；

（2）如图②，若点A′落在四边形BCDE的边CD下方时，试猜想此时∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，E，F分别是AB，CD边上的一点，沿EF将四边形ABCD折叠，点A的对应点G恰好落在BC边上，且∠1=75∘，∠2=15∘．

①∠B的度数为；

②若BE=22，AD=1231.（24-25·山东中考）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，∠BAC的平分线AD交BC于点D．如图1．（1）求∠ADC的度数；（2）已知AB=3，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求32.（23-24·辽宁模拟）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．

第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：

①延长AD到E，使得DE=AD；

②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；

③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的取值范围是______．

方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．（2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，且AC=DC，∠CAD=∠CDA，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．

①∠CAE=∠DAE②AB=2AE③∠DAE=∠DAB④AE=AD（3）如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：OE=1（4）如图4，在(3)的条件下，若∠AOB=90∘，延长EO交BD于点F，OF=2，OE=4，则33.（25-26·全国模拟）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=CB；△DEF中，∠DEF=90∘，∠EDF=30∘），并提出了相应的问题．

【发现】(1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，

①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；

∵∠ABC=90∘，

∴∠ABM+∠CBN=90∘，

∵AM⊥DF，CN⊥DF，

∴∠AMB=90∘，∠CNB=90∘，

∴∠ABM+∠BAM=90​∘，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠BAM=∠CBN

∠AMB=∠CNB=90​∘

AB=BC，

__________；

②AM=2，CN=7，则MN=_________；

【类比】(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；

【拓展】(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点34.（24-25·山东模拟）已知：如图，△ABC中，AB=AC，设∠BAC=α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F．探究如下：

（1）若α=60∘时，

如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF=DF+BC；

如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、（2）若α=120∘，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、35.（24-25·安徽模拟）九年级16班某同学针对三角形角平分线进行了如下的研究：

（一）探究过程（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，该同学得出ABBC=ADCD方法一：

如图②．过点A作AE∥BC，交AD延长线于点E．

∵AE∥BC

∴AEBC=________①

∠2=∠E

∵BD平分∠ABC

∴∠1=∠2

∴∠E=∠1

∴AE=方法二：

如图③过点D作DN⊥AB于点N，DM⊥BC于点M，过点B作BE⊥AC于点E．

∵BD平分∠BAC，且DN⊥AB，DM⊥BC

∴________③

∴S△ABDS△CBD=1

请完成填空：①________；②________；③________；④_______；

（二）内化迁移（2）如图④，点D为△ABC的边CA延长线上一点，连接BD，M为边CB延长线上一点，当BABC=ADCD时，判断∠ABD与∠DBM的数量关系，并给出证明；（3）如图⑤，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为边BC上一点，G为CB延长线上一点．Q为矩形内部一动点，连接CQ并延长交AB于点H，连接QE，若QC=2QE，QF平分∠CQE交BC于点F，FE=1，当GE=EC时，连接QG、QD，求QD−BE的最小值．

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第15课时三角形与全等一、核心知识一、核心知识（一）三角形的基本概念与分类定义：由不在同一直线上的______三条线段______首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，有3个顶点、3条边、3个内角。分类：按角分：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）；按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形，三边相等的特殊等腰三角形）。三角形的重要线段：中线：连接顶点与对边______中点______的线段，三条中线交于______重心______（重心分中线为2:1两段）；角平分线：平分内角且与对边相交的线段，三条角平分线交于______内心______（到三边距离相等）；高：从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段，三条高交于______垂心______（直角三角形垂心在直角顶点）。（二）三角形的基本性质三边关系：三角形任意两边之和______大于______第三边，任意两边之差______小于______第三边（判断三条线段能否构成三角形的依据）。内角和定理：三角形的内角和为180°；直角三角形的两个锐角______互余。外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的______两个内角的和______；三角形的一个外角______大于______与它不相邻的任意一个内角；三角形的外角和为______360°______。等腰三角形性质：等边对等角：两腰所对的底角______相等______；三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合；等边三角形性质：三边相等，三个内角都为______60°______，每条边上都满足“三线合一”。（三）全等三角形的定义与性质定义：能够______完全重合______的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。性质：全等三角形的对应边______相等______，对应角______相等______；对应边上的中线、角平分线、高都相等，周长和面积也相等。（四）全等三角形的判定定理（核心考点）基本判定（通用）：SSS：三边分别______相等______的两个三角形全等；SAS：两边及其______夹角______分别相等的两个三角形全等；ASA：两角及其______夹边______分别相等的两个三角形全等；AAS：两角及其中一角的______对边______分别相等的两个三角形全等；特殊判定（仅直角三角形）：HL：斜边和一条______直角边______分别相等的两个直角三角形全等。注意：SSA、AAA不能判定三角形全等。（五）全等三角形的证明思路已知两边：找夹角用SAS→找第三边用SSS→若为直角三角形用HL；已知一边一角：边为角的夹边用ASA→边为角的对边用AAS→找另一角用AAS；已知两角：找夹边用ASA→找任意一角的对边AAS。二、核心能力二、核心能力（一）三角形的三边关系与角度计算题型1：三边关系应用解题思路根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式，求解第三边的取值范围；若为整数边，需列举所有符合条件的情况。题型2：内角和与外角性质计算解题思路利用内角和定理、外角性质建立角度间的等量关系，若有角平分线、中线，结合其定义拆分角度，设未知数列方程求解。（二）三角形重要线段的应用题型1：中线与面积相关计算解题思路三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，利用此性质可求不规则三角形的面积，或结合重心的2:1比例求解线段长度。题型2：角平分线的性质应用解题思路角平分线上的点到角两边的距离相等，可作垂线构造全等三角形，将线段、角度进行转化。（三）等腰/等边三角形的性质与判定题型1：等腰三角形的性质应用解题思路利用“等边对等角”转化角度，利用“三线合一”作辅助线（如作底边上的高），将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，结合勾股定理计算。题型2：等边三角形的判定解题思路三边相等→三角相等（都为60°）→有一个角是60°的等腰三角形，满足其一即可判定为等边三角形。（四）全等三角形的证明与应用题型1：基础全等证明（无辅助线）解题思路找准已知条件对应的边、角，结合判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）直接证明，注意对应顶点的顺序。题型2：构造辅助线证明全等解题思路常见辅助线：作垂线（构造直角三角形，用HL/SAS）、截长补短（证明线段和差关系）、连接两点（构造公共边，用SSS/SAS）、倍长中线（延长中线至两倍，构造SAS全等）。题型3：全等三角形的性质应用解题思路先证明三角形全等，再利用“对应边相等、对应角相等”转化线段或角度，求解未知边、角，或证明线段平行、垂直。三、易错警示三、易错警示三边关系忽略“任意性”错误：判断3、4、7能否构成三角形，认为3+4=7符合要求；提醒：必须满足任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，3+4=7时不能构成三角形。全等判定混淆“夹角”与“邻角”错误：用SAS判定时，将两边的邻角当作夹角（如AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，直接证△ABC≌△DEF）；提醒：SAS的“角”必须是两边的夹角，否则为SSA，不能判定全等。等腰三角形忽略“分类讨论”错误：已知等腰三角形一个角为80°，直接认为底角为80°；提醒：未说明是顶角还是底角时，需分类讨论（80°为顶角或底角），注意三角形内角和不能超过180°。辅助线构造不当：错误：证明线段和差时，盲目作垂线，未结合题目标注；提醒：截长补短适用于“a+b=c”型线段证明，倍长中线仅适用于有中线的三角形，作垂线需结合角平分线、直角条件。全等对应关系找错错误：将△ABC≌△DEF的对应边写成AB=DF，AC=DE；提醒：全等三角形的对应顶点按顺序写，对应顶点所对的边、角为对应边、角，可通过图形旋转、平移找对应关系。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（2024・浙江杭州中考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.2，3，5B.3，4，8C.4，5，6D.5，6，12【答案】C【解析】考点：三角形三边关系。任意两边之和大于第三边，4+5>6，4+6>5，5+6>4，符合条件；A中2+3=5，B中3+4<8，D中5+6<12，均不能组成。【解答】解：根据三边关系逐一验证，只有C选项满足，故选C。（2024・广东广州中考）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠ACB的外角为（）110°B.120°C.130°D.140°【答案】A【解析】考点：三角形外角性质。外角等于不相邻的两个内角和，∠ACB的外角=∠A+∠B=50°+60°=110°。【解答】解：由外角性质得，外角=50°+60°=110°，故选A。（2023・江苏苏州中考）等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为（）30°B.40°C.50°D.60°【答案】B【解析】考点：等腰三角形性质。等腰三角形两底角相等，顶角=180°-70°×2=40°。【解答】解：顶角=180°-2×70°=40°，故选B。（2025・北京中考）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E对应，则下列结论错误的是（）AB=DEB.∠ACB=∠DFEC.AC=DFD.∠ABC=∠DFE【答案】D【解析】考点：全等三角形性质。全等三角形对应边、对应角相等，∠ABC的对应角为∠DEF，而非∠DFE，D错误。【解答】解：根据对应顶点，∠ABC与∠DEF是对应角，D选项错误，故选D。（2024・四川成都中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=3，则点D到AB的距离为（）1B.2C.3D.4【答案】C【解析】考点：角平分线性质。角平分线上的点到角两边距离相等，点D到AB的距离=CD=3。【解答】解：由角平分线性质得，点D到AB的距离=CD=3，故选C。（2023・湖南长沙中考）能判定△ABC≌△A'B'C'的条件是（）AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B'B.AB=A'B'，∠A=∠A'，BC=B'C'C.∠A=∠A'，∠B=∠B'，AC=A'C'D.∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'【答案】C【解析】考点：全等三角形判定。A、B为SSA，D为AAA，均不能判定；C为AAS，可判定。【解答】解：AAS可判定三角形全等，C选项符合，故选C。（2025・山东青岛中考）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，则BD的长为（）1B.2C.3D.4【答案】B【解析】考点：等边三角形性质。等边三角形三线合一，AD是中线，BD=1/2BC=1/2AB=2。【解答】解：由三线合一得BD=1/2×4=2，故选B。（2024・重庆中考）已知三角形的两边长分别为4和9，则第三边的取值范围是（）5<x<13B.5≤x≤13C.4<x<9D.4≤x≤9【答案】A【解析】考点：三边关系。第三边x满足9-4<x<9+4，即5<x<13。【解答】解：9-4=5，9+4=13，故5<x<13，故选A。（2023・陕西中考）如图，AB=CD，AD=BC，下列结论错误的是（）∠A=∠CB.AB∥CDC.AD∥BCD.∠A=∠B【答案】D【解析】考点：SSS全等与平行判定。由SSS证△ABD≌△CDB，得∠A=∠C，∠ABD=∠CDB→AB∥CD，∠ADB=∠CBD→AD∥BC，D无依据。【解答】解：证△ABD≌△CDB后，可推得A、B、C正确，D错误，故选D。10.（2025・湖北武汉中考）Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AC=DF，BC=EF，则判定两三角形全等的定理是（）SSSB.SASC.ASAD.HL【答案】B【解析】考点：直角三角形全等判定。两边及其夹角（直角）相等，用SAS判定。【解答】解：AC=DF，∠C=∠F=90°，BC=EF，符合SAS，故选B。11.（2024・安徽中考）等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为（）4B.6C.4或6D.8【答案】B【解析】考点：等腰三角形与三边关系。若4为腰，则底为8，4+4=8，不能构成三角形；若4为底，则腰为(16-4)÷2=6，符合三边关系。【解答】解：排除4为腰的情况，腰长为6，故选B。12.（2023・福建中考）如图，在△ABC中，BD是中线，AB=5，BC=3，则△ABD与△BCD的面积差为（）2B.3C.4D.0【答案】D【解析】考点：三角形中线性质。中线将三角形分成面积相等的两部分，面积差为0。【解答】解：BD是中线，S△ABD=S△BCD，差为0，故选D。13.（2025・四川宜宾中考）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证△ABC≌△DEF的依据是（）SSSB.SASC.ASAD.AAS【答案】B【解析】考点：SAS全等。AB∥DE得∠B=∠DEF，BE=CF得BC=EF，又AB=DE，符合SAS。【解答】解：证得∠B=∠DEF，BC=EF，结合AB=DE，用SAS判定，故选B。14.（24-25达州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC边上一点，△ACD是由△ABP旋转得到的，点B、P的对应点分别是C、D，下列结论一定正确的是（

）

A.AP=AC B.BC=PD C.∠PCA=∠DCA D.∠PAC=∠DAC【答案】C【解析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．

根据旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质逐项判断即可．【解答】解：A、∵△ACD是由△ABP旋转得到的，

∴△ACD≅△ABP，

∴AP=AD，

∵P为BC边上一点，AB=AC，

∴AP<AC，故选项不符合题意；

B、∵△ABD≅△ACE，

∴BP=CD，

∵PC+CD>CD，

∴PC+PB>CD，

∴BC>CD，故选项不符合题意；

C、∵△ABD≅△ACE，

∴∠ABC=∠DCA，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠PCA=∠DCA，故选项符合题意；

D、∵△ABD≅△ACE，

∴AD=AE，

∵AC不一定平分∠DAP，

∴∠PAC与∠DAC不一定相等，故选项不符合题意；

故选：C．

15.（24-25·天津中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B,C的对应点分别为B′,C′,B′C′A.125 B.165 C.4 【答案】D【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接AD，交CC′于点O，先证出Rt△AC′D≅Rt△ACD，根据全等三角形的性质可得C′D=CD=3，再证出AD垂直平分CC′【解答】解：如图，连接AD，交CC′于点O，

由旋转的性质得：AC′=AC=4，∠AC′B′=∠ACB=90∘，

∴∠AC′D=90∘，

在Rt△AC′D和Rt△ACD中，

AD=ADAC′=AC ，

∴Rt△AC′D≅Rt△ACDHL，

∴C′D=CD=3，

∴AD垂直平分（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·贵州模拟）已知△ABC的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为_______4_______．【答案】4【解析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得4−2<x<4+2，可得x的范围，然后再确定x的值即可．【解答】解：设第三边长为x，由题意得：

4−2<x<4+2，

解得：2<x<6，

∵第三边长为偶数，

∴x=4，

∴第三边的长为4．

故答案为：4．17.（24-25·四川模拟）如图，点O是△ABC的重心，过O点作直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，现随机向△ABC内部掷一枚小针，则针尖落在△ADE区域内的概率为_____49_________．

【答案】49【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形重心的性质以及几何概率等知识，熟练掌握相似三角形的判定性质、掌握求解的方法是关键；

连接AO并延长交BC于G，如图，根据重心的性质可得AOAG=2【解答】解：连接AO并延长交BC于G，如图，

∵O是△ABC的重心，

∴AOAG=23，

∵DE∥BC，

∴△ADO∽△ABG，△ADE∽△ABC，

∴ADAB=AOAG=23，

∴S△ADES△ABC18.（23-24·重庆中考）如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=36∘,BD平分∠ABC交AC于点D．若BC=2,则AD的长度为

2

．【答案】2【解析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠C=∠ABC=72∘,再由角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=36∘,进而可证明【解答】∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36∘,∴∠C=∠ABC=180∘−∠A2=72∘.

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=3619.（24-25·山西模拟）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40∘和50∘，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40∘和50∘的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为_____48_______．

【答案】48【解析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．【解答】解：图①中，∵∠ACB=90∘，

根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2=22=4，

∴图①中所有正方形面积和为：4+4=8，

图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：

8+4=12，

图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：

8+4×2=16，

⋯

∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4n，

20.（24-25·广西中考）如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2,BD=CD=2，则AD=_______3−1________．

【答案】3−1【解析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点D作BC垂线交于点H，先证明△BDH≅△CDH，得到BH=HC=1，证明A,D,H在同一线上，根据勾股定理得到AH,DH，最后通过线段和和差即可求．【解答】解：过点D作BC垂线交于点H，即DH⊥BC

∴∠DHB=∠DHC=90∘

∵BD=CD,DH=DH

∴△BDH≅△CDHHL

∴BH=HC=12BC=1，即DH是BC的垂直平分线，

∵AB=AC,BD=CD，

∴A,D,H在同一线上，

∴DH=BD2−BH2=1，AH=A21.（24-25·辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(−4,6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90∘，则点A的对应点A′的坐标为___(6,4)___________．

【答案】(6,4)【解析】本题考查了坐标与图形变化——旋转、全等三角形的性质与判定，结合图形作垂线构造全等三角形是解题的关键．作AB⊥x轴于点B，作A′B′⊥x轴于点B′，由旋转的性质得OA′=OA，∠AOA′=【解答】解：如图，作AB⊥x轴于点B，作A′B′⊥x轴于点B′，

由旋转的性质得，OA′=OA，∠AOA′=90∘，

∴∠AOB+∠A′OB′=90∘，

∵AB⊥x轴，A′B′⊥x轴，

∴∠A′B′O=∠OBA=90∘，

∴∠AOB+∠OAB=90∘，

∴∠A′OB′=∠OAB，

∴△22.（24-25甘肃模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90∘，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为____18_______．

【答案】18【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；

∵∠BAD=∠BCD=90∘，

∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90∘；

∵∠BAD=90∘，

∴∠BAM=∠DAN；

在△ABM与△ADN中，

∵∠BAM=∠DAN，∠AMB=∠AND，AB=AD，

∴△ABM≅△ADN(AAS)，

∴AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等；

∴四边形AMCN为正方形，

∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；

∵AC2=AM2+MC2，AC=6；

∴2AM2=36，即A23.（24-25·江苏模拟）在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B′CD，AC与B′D交于点E，若∠A=∠ACD，AE=CE，S△ACD=S△B′CE，【答案】1532【解析】过点C作CM⊥AB，结合等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理求得CM的长，然后利用三角形面积公式列方程求解．【解答】解：过点C作CM⊥AB，

∵∠A=∠ACD，

∴AD=CD，

∵AE=CE，

∴DE⊥AC，

∴S△ACD=2S△DCE，

又∵S△ACD=S△B'CE，

∴2S△DCE=S△B'CE，

∴DEB′E=12，

设DE=x，则B′E=2x，

由折叠性质可得：DB′=DB=3x，BC=B′C，∠B=∠B′，

又∵CM⊥AB，DE⊥AC，

∴∠CMB=∠CEB′，

∴△CMB≅△CEB′(AAS)，

∴BM=B′E=2x，CM=CE，

又∵CD=CD，

∴Rt△CMD≅Rt△CED(HL)，

∴DM=DE=x，

∵S△ABC=12AB⋅CM=12(AD+BD)⋅CM=12CM·(AD+3x)，

S△ABC=S△ADC+S△BDC=2S△CDE+S△BDC=2×12DE⋅CE+1224.（24-25·四川中考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP=45∘，点F在射线DP上，且AE:DF=1:2，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2=EG2；③△DEF的面积最大值是2【答案】①③④【解析】过F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，证明△DHF为等腰直角三角形，推出AE=DH=HF，进而得到AB=EH，证明△BAE≅△EHF，推出△BEF为等腰直角三角形，进而得到∠BFE=∠EBF=45∘，进而得到sin∠BFE=22，判断①；延长DC至点G，使CK=AE，连接BK，证明△ABE≅△CBK，再证明△BEG≅△BKG，得到EG=KG=CG+CK=CG+AE，判断②；设AE=x，则：DE=AD−AE=4−x，FH=AE=x，将△DEF的面积转化为二次函数求最值，判断③；设CG=a，得到DG=CD−CG=4−a,EG=CG+AE=a+43，在【解答】解：过F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，则：∠FHD=90∘，

∵正方形ABCD，边长为4，

∴∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90∘，AB=AD=BC=CD=4，

∴∠CDH=90∘，

∵∠CDP=45∘，

∴∠PDH=45∘，

∴△DHF为等腰直角三角形，

∴DH=HF,DF=2DH=2HF，

∵AE:DF=1:2，

∴DF=2AE，

∴AE=DH=HF，

∴AE+ED=DE+DH，即：AD=EH，

∴AB=EH，

∵∠A=∠H=90∘,AE=FH，

∴△BAE≅△EHF，

∴∠ABE=∠FEH,BE=EF，

∴∠ABE+∠AEB=∠FEH+∠AEB=90∘，即：∠BEF=90∘，

∴∠BFE=∠EBF=45∘，

∴sin∠BFE=22，故①正确；

延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，

∵AB=BC，∠BCK=180∘−∠BCD=90∘=∠A，

∴△ABE≅△CBK，

∴BE=BK，∠ABE=∠CBK，

∴∠ABE+∠CBG=∠CBG+∠CBK=∠ABC−∠EBF=45∘，

∴∠GBK=45∘=∠EBG，

又∵BG=BG，

∴△BEG≅△BKG，

∴EG=KG=CG+CK=CG+AE，

∴EG2=(CG+AE)2；故②错误；

设AE=x，则：DE=AD−AE=4−x，FH=AE=x，

∴△DEF的面积=12DE⋅FH=12x⋅(4−x)=−25.（24-25·内蒙古模拟）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120∘，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论:①OD=OE;②SΔODE=SΔBDE;③四边形ODBE的面积始终等于433;④△BDE周长的最小值为6.【答案】①③④【解析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30∘，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≅△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=13S△ABC=433，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE=34OE2【解答】解：连接OB、OC，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60∘，

∵点O是△ABC的中心，

∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30∘

∴∠BOC=120∘，即∠BOE+∠COE=120∘，

而∠DOE=120∘，即∠BOE+∠BOD=120∘，

∴∠BOD=∠COE，

在△BOD和△COE中

∠BOD＝∠COEBO＝CO∠OBD＝∠OCE 

∴△BOD≅△COE，

∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；

∴S△BOD=S△COE，

∴四边形ODBE的面积=S△OBC=13S△ABC=13×34×42=433,所以③正确；

作OH⊥DE，如图，则DH=EH，

∵∠DOE=120∘，

∴∠ODE=∠OEH=30∘，

∴OH=12OE，HE=3（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·吉林模拟）如图，在△ABC中，CD为△ABC的中线，延长CD至点E，使得CE=2CD，连接BE．求证：AC=BE．

【答案】证明见解答【解析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，由三角形中线的性质得AD=BD，由CE=2CD得CD=ED，进而证明△ACD≅△BEDSAS【解答】证明：∵CD为△ABC的中线，

∴AD=BD，

∵CE=2CD，

∴CD=ED，

又∵∠ADC=∠BDE，

∴△ACD≅△BEDSAS，

∴AC=BE．27.（24-25·云南中考）如图，AB与CD相交于点O，AC=BD,∠C=∠D．求证：△AOC≅△BOD．

【答案】证明见解答【解析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用AAS证明△AOC≅△BOD即可．【解答】证明；在△AOC和△BOD中，

∠C=∠D∠AOC=∠BODAC=BD ，

∴△AOC≅△BOD28.（25-26·江苏月考）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF

（1）求证：△ABC≅△DEF；（2）若∠A=55∘，∠E=45【答案】见解答80∘【解析】（1）先证明AB=DE，再结合已知条件可得结论；（2）证明∠A=∠FDE=55【解答】（1）解：证明：∵AD=BE

∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE

∵AC=DF，BC=EF

∴△ABC≅△DEFSSS（2）∵△ABC≅△DEF，∠A=55∘，

∴∠A=∠FDE=55∘，

∵∠E=45∘29.（25-26·贵州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，延长BC至点F，使CF=DE，连接EF．

（1）求证：△EDC是等腰三角形；（2）已知∠A=40∘，求【答案】见解答∠F=35【解析】（1）利用中位线的性质及条件证明出DE=CE即可判断；（2）证明出△CFE等腰三角形，再利用三角形内角和定理及外角的性质进行求解．【解答】（1）解：证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，

∴DE=12AB，CE=12AC，

∵AB=AC，（2）解：∵CF=DE，DE=CE；

∴CE=CF，

∴∠F=∠CEF，

∵∠A=40∘，

∴∠DCE=12(18030.（23-24·贵州模拟）综合与实践

问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．

独立思考：（1）如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，则∠A与∠1+∠2之间的数量关系为，请说明理由；

（2）如图②，若点A′落在四边形BCDE的边CD下方时，试猜想此时∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，E，F分别是AB，CD边上的一点，沿EF将四边形ABCD折叠，点A的对应点G恰好落在BC边上，且∠1=75∘，∠2=15∘．

①∠B的度数为60°；

②若BE=22，【答案】2∠A=∠1+∠2，理由见解答2∠A=∠1−∠2，理由见解析①60∘；②【解析】（1）连接AA′，由折叠的性质得出（2）由三角形外角的性质得出∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A（3）①延长BA交CD的延长线于L，由(2)中结论可知∠1−∠2=2∠L，求出∠L=30∘即可得出答案；

②过点E作EI⊥BC交BC于点I，过点H作HM⊥BC交BC的延长线于点M，求出BI=2，EI=6．求出【解答】（1）解：2∠A=∠1+∠2，

理由如下：连接AA′，如图①，

∵将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内点A′的位置，

∴∠DAE=∠DA′E．

∵∠1=∠EA′A+∠EAA′，∠2=∠DA′A+∠DAA′，（2）2∠A=∠1−∠2，

理由如下：设EA′与AC交于点F，如图②，

∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠2+∠A′，

∴∠1=∠A+∠A′①延长BA交CD的延长线于L，由(2)中结论可知∠1−∠2=2∠L，如图③，

∴2∠L=75∘−15∘=60∘，

∴∠L=30∘．

∵∠BCD=90∘，

∴∠B=90∘−30∘=60∘．

故答案为：60∘；∵BE=22，∠B=60∘，

∴BI=2，EI=6．

∵∠EGI=180∘−60∘−75∘=45∘，

∴EG=2EI=2⋅6=23，

∴AE=EG=2331.（24-25·山东中考）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，∠BAC的平分线AD交BC于点D．如图1．（1）求∠ADC的度数；（2）已知AB=3，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求【答案】∠ADC=120∘DF=23【解析】（1）由角平分线的定义求得∠DAB=1（2）由作图知MN是线段CD的垂直平分线，求得DE=CE=12CD，求得AD=ABcos【解答】（1）解：∵∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，

∴∠BAC=60∘，

∵AD是∠BAC的平分线，（2）解：由作图知MN是线段CD的垂直平分线，

∴DE=CE=12CD，

∵∠DAC=∠C=30∘，

∴AD=CD，

∵∠ABC=90∘，∠DAB=30∘，

∴AD=ABcos30∘=23，32.（23-24·辽宁模拟）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．

第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：

①延长AD到E，使得DE=AD；

②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；

③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的取值范围是___1<AD<5___．

方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．（2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，且AC=DC，∠CAD=∠CDA，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是__②③____．

①∠CAE=∠DAE②AB=2AE③∠DAE=∠DAB④AE=AD（3）如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：OE=1（4）如图4，在(3)的条件下，若∠AOB=90∘，延长EO交BD于点F，OF=2，OE=4，则△AOC的面积是___【答案】1<AD<5②③见解答8【解析】（1）由“SAS”可证△ADC≅△EDB，可得AC=BE=4，由三角形的三边关系可求解；（2）由“SAS”可证△AEC≅△HED，可得AC=DH，∠ACD=∠HDC，由“SAS”可证△ADB≅△ADH，可得AB=AH，∠BAD=∠DAE，即可求解；（3）由“SAS”可证△AEO≅△CEH，可得AO=CH，∠A=∠HCO，由“SAS”可证△BOD≅△HCO，可得BD=OH，可得结论；（4）由全等三角形的性质可得S△AEO=S△CEH，【解答】（1）解：如图1中，延长AD至点E，使ED=AD．

在△ADC和△EDB中，

DA=DE∠ADC=∠EDBDC=DB ，

∴△ADC≅△EDB(SAS)，

∴AC=BE=4，

∵AB=6，

∴6−4<AE<6+4，

∴2<2AD<<10，

∴1<AD<5，

如图2，延长AE至H，使EH=AE，连接DH，

∵AE是中线，

∴DE=EC，

又∵∠AEC=∠DEH，AE=EH，

∴△AEC≅△HED(SAS)，

∴AC=DH，∠ACD=∠HDC，

∵∠ADB=∠ADC+∠ACD，∠ADH=∠ADC+∠CDH，

∴∠ADB=∠ADH，

∵AD为中线，

∴BD=CD，

∵AC=CD，

∴BD=DC=AC=DH，

又∵AD=AD，

∴△ADB≅△ADH(SAS)，

∴AB=AH，∠BAD=∠DAE，

∴AB=2AE，

故答案为：②③；证明：如图3，延长OE至H，使EH=OE，连接CH，

∵E是AC的中点，

∴AE=CE，

又∵OE=EH，∠AEO=∠CEH，

∴△AEO≅△CEH(SAS)，

∴AO=CH，∠A=∠HCO，

∴AO // CH，

∴∠AOC+∠HCO=180∘，

∵∠AOB与∠COD互补，

∴∠AOC+∠BOD=180∘，

∴∠BOD=∠OCH，

又∵CH=OA=OB，OC=OD，

∴△BOD≅△HCO(SAS)，

∴BD=OH（4）如图3，∵△AEO≅△CEH，△BOD≅△HCO，

∴S△AEO=S△CEH，S△BOD=S△HCO，∠D=∠COE，

∴S△AOC=S△BOD=S△HCO，

∵∠AOB=∠COD=90∘，

∴∠COE+∠DOF=90∘，33.（25-26·全国模拟）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=CB；△DEF中，∠DEF=90∘，∠EDF=30∘），并提出了相应的问题．

【发现】(1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，

①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；

∵∠ABC=90∘，

∴∠ABM+∠CBN=90∘，

∵AM⊥DF，CN⊥DF，

∴∠AMB=90∘，∠CNB=90∘，

∴∠ABM+∠BAM=90​∘，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠BAM=∠CBN

∠AMB=∠CNB=90​∘

AB=BC，

___△ABM≅△BCN(AAS)_______；

②AM=2，CN=7，则MN=____9______；

【类比】(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；

【拓展】(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A【答案】①△ABM≅△BCN(AAS)②9；(2)结论PE=PC−AE，理由见解析；(3)10【解析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．

(1)①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案；

②由①中△ABM≅△BCN(AAS)，利用两个三角形全等的性质，得到AM=BN=2，BM=CN=7，即可得到MN=MB+BN=CN+AM=9；

(2)根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE≅△BCP，利用两个三角形全等的性质，得到AE=BP，BE=CP，由图中BE=BP+PE，即可得到三者的数量关系；

(3)延长FE，过点C作CP⊥FE于P，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE≅△BCP，从而PC=BE=1，PB=AE=5，则可求得PE，延长AE，过点C作CF⊥AE于F，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=4，代入面积公式得S△ACE【解答】解：①∵∠ABC=90∘，

∴∠ABM+∠CBN=90∘，

∵AM⊥DF，CN⊥DF，

∴∠AMB=90∘，∠CNB=90∘，

∴∠ABM+∠BAM=90​∘，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90​∘，AB=BC，

∴△ABM≅△BCN(AAS)；

故答案为：△ABM≅△BCN(AAS)

②由①知△ABM≅△BCN(AAS)，

∴AM=BN,BM=CN，

∵AM=2，CN=7，

∴MN=MB+BN=CN+AM=9；

故答案为：9；

(2)结论：PE=PC−AE．理由如下：

∵∠ABC=90∘，

∴∠ABE+∠CBE=90∘，

∵CP⊥BE，

∴∠CPB=90∘，

∴∠BCP+∠CBP=90∘

∴∠ABE=∠BCP，

∵∠AEB=90∘，

∴∠AEB=∠CPB=90∘，

∵AB=BC，∵∠ABE+∠EBC=90∘，∠ABE+∠BAE=90∘，

∴∠EBC=∠BAE，

∵∠AEB=∠CPB=90∘，AB=BC，

∴△ABE≅△BCP，

∴PC=BE=1，PB=AE=5，

∴PE=PB−BE=5−1=4，

延长AE，过点C作CF⊥AE∵AF⊥PE,CP⊥PE，

∴AF // CP，

∵AF⊥PE,CF⊥AF，

∴PE // CF，

由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=4，

S△ACE=12×AE×CF=12