2026中考第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+真题演练）第27课时：三角函数及解直角三角形（学生版+教师版合并）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第27课时锐角三角函数及解直角三角形一、核心知识一、核心知识（一）锐角三角函数的定义如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c：∠A的正弦：sinA==；∠A的余弦：cosA==；∠A的正切：tanA==；锐角三角函数的取值范围：对于任意锐角α，有0<sinα<1，0<cosα<1，tanα>0。（二）特殊角的锐角三角函数值表格锐角α30°45°60°sinα​​​cosα​​​tanα​​​（三）锐角三角函数的性质互余两角的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=，cosA=，tanA・tanB=；锐角三角函数的增减性：正弦、正切：锐角越大，值越____________；余弦：锐角越大，值越____________。（四）解直角三角形定义：在直角三角形中，已知除直角外的两个元素（至少有一个是边），求其余所有未知元素的过程，叫做解直角三角形；直角三角形的边角关系（Rt△ABC中，∠C=90°）：三边关系（勾股定理）：；角的关系：；边角关系：sinA、cosA、tanA的定义式；解直角三角形的基本类型：已知一条直角边和一个锐角；已知斜边和一个锐角；已知两条直角边；已知斜边和一条直角边。（五）解直角三角形的实际应用常见概念：仰角：从看，视线与水平线的夹角；俯角：从看，视线与水平线的夹角；坡度（坡比）：坡面的的比，记作​；坡角：坡面与水平线的夹角α，tanα=坡度i；方向角：以为基准，描述物体的位置（如北偏东30°、南偏西45°）；实际应用解题步骤：审：审题，找出实际问题中的直角三角形（或构造直角三角形）；建：将实际问题转化为数学问题，标注已知量和未知量；解：利用解直角三角形的边角关系求解；答：检验结果，回答实际问题。核心能力+解题思路二、核心能力二、核心能力题型1锐角三角函数的定义与计算解题思路确定直角三角形：找准所求锐角的对边、邻边和斜边，避免边的对应关系混淆；利用定义计算：直接代入正弦、余弦、正切的定义式，若三角形非直角三角形，可通过作高构造直角三角形；巧用勾股定理：若已知两边，先利用勾股定理求第三边，再计算三角函数值；互余角转化：遇到非特殊锐角的余角，利用“sinA=cos(90°-A)”等关系转化计算。题型2特殊角的三角函数值计算与应用解题思路熟记特殊角：准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，避免记混（可借助直角三角形边长比辅助记忆：30°三角板：1:3:2；45°三角板：1:1:2）；混合运算规则：遵循“先乘方，再乘除，最后加减”，有括号先算括号内，注意根式和三角函数值的化简；结合代数变形：与绝对值、零指数幂、负整数指数幂结合时，先分别计算各部分，再合并结果。题型3解直角三角形的基本计算解题思路判定类型：根据已知条件判断解直角三角形的类型（已知一角一边/两边）；选准公式：已知锐角和斜边：用正弦、余弦求直角边（a=c・sinA，b=c・cosA）；已知锐角和一条直角边：用正切求另一条直角边，或用正弦/余弦求斜边；已知两条直角边：用勾股定理求斜边，用正切求锐角；已知斜边和一条直角边：用勾股定理求另一条直角边，用正弦/余弦求锐角；角度计算：求出锐角的三角函数值后，若为特殊值，直接写出角度；若非特殊值，用反三角函数表示（中考一般仅考查特殊角）。题型4解直角三角形的实际应用（仰角/俯角/坡度/方向角）解题思路构造直角三角形：仰角/俯角问题：过观测点作水平线，结合视线构造直角三角形，找准仰角/俯角为三角形的内角；坡度问题：过坡顶作水平面的垂线，构造直角三角形，垂直高度为对边，水平宽度为邻边；方向角问题：以正北/正南方向为邻边，正东/正西方向为对边，构造直角三角形，找准方向角对应的内角；找等量关系：若实际问题中无直接的直角三角形，可通过作高将不规则图形分割为直角三角形和矩形（如梯形作高），利用公共边、相等边建立等量关系；设元求解：若已知量较少，可设未知数，利用三角函数列方程求解；单位统一：计算前确保所有长度单位、角度单位统一（角度均为度，长度单位如米、千米需一致）。题型5解直角三角形的综合应用（与几何图形结合）解题思路结合三角形/四边形性质：与等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形结合时，利用图形的对称性、边相等、角相等性质，构造直角三角形；与圆结合：利用圆的切线性质（切线垂直于过切点的半径）、直径所对的圆周角为直角，构造直角三角形；多直角三角形综合：若题目中有多个直角三角形，找公共边、共角、等角，实现边和角的转化，逐步求解；数形结合：画出清晰的几何图形，标注已知量和待求量，避免因图形模糊导致边、角对应错误。三、易错警示三、易错警示锐角三角函数的边对应错误错误：求某锐角的三角函数时，混淆“对边”和“邻边”（如将∠A的对边当作邻边代入公式）；非直角三角形中直接使用锐角三角函数定义。提醒：始终以所求锐角为基准，明确其对边、邻边，斜边为直角三角形的最长边；非直角三角形必须先作高构造直角三角形，再使用三角函数定义。特殊角的三角函数值记混错误：将30°和60°的正弦、余弦值记反。提醒：借助特殊直角三角形的边长比记忆：30°Rt△（短直：长直：斜边=1:3:2）、45°Rt△（直角边：斜边=1:2），结合“正弦对边比斜边、余弦邻边比斜边”推导，避免死记硬背。解直角三角形时忽略角的范围错误：求出锐角的三角函数值后，未结合实际情况判断角度，或误将钝角当作锐角计算。提醒：直角三角形的两个锐角均为0°<α<90°，计算角度时，若三角函数值为特殊值，直接对应30°、45°、60°；若非特殊值，中考中一般不要求计算具体角度，仅用三角函数表示即可。实际应用中概念理解错误错误：将仰角/俯角与视线和竖直线的夹角混淆；坡度与坡角混淆（将坡度当作坡角的度数）；方向角描述错误（如将“北偏东30°”说成“东偏北30°”）。提醒：仰角/俯角是视线与水平线的夹角；坡度是垂直高度：水平宽度（比值），坡角是坡面与水平线的夹角，tanα=坡度i；方向角以正北/正南为基准，角度为与基准线的夹角（如北偏东30°，即正北向东转30°）。构造直角三角形时辅助线错误错误：实际问题中，未作垂直辅助线，或作的辅助线未构成直角三角形；梯形作高时，未考虑上下底的长度差。提醒：构造直角三角形的核心是作垂线，确保形成90°角；梯形作高后，利用“上底+下底的差”得到直角三角形的邻边，结合高（对边）求解。计算时未统一单位或忽略近似值要求错误：长度单位混杂（如米和厘米未统一）；实际问题中，题目要求结果保留一定小数位数，未按要求取舍。提醒：计算前将所有长度单位统一为题目要求的单位；根据题意保留近似值，遵循“四舍五入”原则，若题目无要求，保留准确值（根式、π形式）。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·四川模拟）tan45A.0 B.1 C.1−22 D.1−22.（24-23·云南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘．若AB=13,BC=5，则sinA=（

）

A.15 B.112 C.1133.（24-25·安徽模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A0,1，B4,1，C5,6，则sin∠BAC=（

）

A.12 B.135 C.224.（24-25·吉林模拟）图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB=BC，∠BOC=30∘，DE=2时，EH的长为（

）

A.3 B.32 C.2 D.5.（23-24·浙江中考）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（

）

A.1010 B.13 C.3106.（23-24·四川中考）宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处,AB′交CD于点E,则sin∠DAEA.55 B.12 C.357.（22-23·山东中考）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45∘，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D=30∘，则CD的长度约为（

）（参考数据：2≈1.414,3A.1.59米 B.2.07米 C.3.55米 D.3.66米8.（24-25·山东中考）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC=α，AC=5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（

）米．

A.5tanα+5 B.5tanα+5 C.5cosα9.（24-25·贵州模拟）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30∘，看这栋楼底部C的俯角β为60∘，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）

A.1403m B.1603m C.10.（24-25·云南模拟）如图，分别经过原点O和点A(4, 0)的动直线a，b夹角∠OBA=30∘，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）

A.3+66 B.32 C.611.（22-23·广东中考）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处．测得山峰顶端B的仰角为α．则A、B两点之间的距离为（

）

A.(m−n)sinα米 B.m−nsinα米 C.(m−n)cosα米 D.m−n12.（24-25·全国模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则ADBE的值为（

）A.23 B.733 C.513.（22-23·内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(23,0),B(3,1),△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与A′A.23 B.332 C.314.（23-24·四川中考）如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90∘，AB=2，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE=1，CG=3；点D是CB延长线上一点，且CD=2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则mn的值为（）

A.2 B.3 C.10 D.1315.（24-25·江苏中考）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN⋅BF=EC⋅HN；④若BF:FC=3:4，则tan∠FAC=25；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（

）

A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤

（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·广东中考）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则cosθ−sinθ=____________．

17.（23-24·江苏中考）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB⌢所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB=23，则花窗的周长（图中实线部分的长度）=

．（结果保留π）

18.（24-25·山东中考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢​2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为__________．

19.（24-25·黑龙江模拟）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1:2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC=15m，则迎水坡面AB的长度是_____________．

20.（23-24·江苏中考）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1、l2上的动点，且满足AC=BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，21.（22-23·江苏中考）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC // x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC=23，则k=

．22.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y=3x的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为______________．（结果保留π）

23.（24-25·云南模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得A点的俯角为60∘，测得B点的俯角为30∘（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为______________m（结果保留根号）．

24.（22-23·湖北中考）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45∘，尚美楼顶部F的俯角为30∘，己知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为米．（结果保留根号）

25.（23-24·江苏中考）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为_____________．

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（24-25·吉林模拟）计算：−3+27.（23-24·山东中考）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD,CD．

（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=1，sin∠BAD=13，求28.（24-25·福建模拟）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26∘时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50∘，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26∘≈0.44，cos26∘≈0.9，tan26∘≈0.49，29.（24-25·陕西模拟）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠2的度数，大楼底部点A的俯角∠1的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1=45∘，∠2=52∘，∠3=65∘，CD=10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）．参考数据：sin52∘≈0.8，cos52∘≈0.6，30.（23-24·重庆模拟）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A−D−C−B；②A−E−B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方 10 千米处，点D在点C的正西方 14 千米处，点D在点A的北偏东45∘方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60∘方向．（参考数据：2≈1.41,3≈1.73（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？31.（25-26·山东模拟）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行于地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA=2.5米，AD=0.8米，∠AGC=32∘．

（1）求∠GAC的度数．（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面 3 米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin3232.（24-25·四川模拟）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45∘，DE与坡面的夹角β为72.5∘，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE=1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5∘≈0.95，cos72.5∘≈0.3033.（24-25·江西模拟）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB,AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作，DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD=BE,BD=AF．

（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若AP=4，sin∠C=23，求34.（23-24·江苏中考）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，OC=2，P是BA延长线上一点，连接CP，交⊙O于点D，连接AD，∠OCP=60∘．过点P作⊙O的切线，切点为E，交CO的延长线于点F．

（1）求CD⌢（2）求∠DAB的度数；（3）求cos∠OFP的值．35.（24-25·四川模拟）(10分)为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：（1）测量坡角

如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．

如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．

（2）测量山高

同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24∘，30∘，45∘；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24∘角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（2≈1.41，结果精确到（3）测量改进

由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第27课时锐角三角函数及解直角三角形一、核心知识一、核心知识（一）锐角三角函数的定义如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c：∠A的正弦：sinA=∠A的对边斜边=ac∠A的余弦：cosA=∠A的邻边斜边=∠A的正切：tanA=∠A的邻边∠A的对边锐角三角函数的取值范围：对于任意锐角α，有0<sinα<1，0<cosα<1，tanα>0。（二）特殊角的锐角三角函数值表格锐角α30°45°60°sinα122232cosα322212tanα331​3​（三）锐角三角函数的性质互余两角的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA・tanB=1；锐角三角函数的增减性：正弦、正切：锐角越大，值越______大______；余弦：锐角越大，值越______小______。（四）解直角三角形定义：在直角三角形中，已知除直角外的两个元素（至少有一个是边），求其余所有未知元素的过程，叫做解直角三角形；直角三角形的边角关系（Rt△ABC中，∠C=90°）：三边关系（勾股定理）：a2+b2=c2；角的关系：∠A+∠B=90°；边角关系：sinA、cosA、tanA的定义式；解直角三角形的基本类型：已知一条直角边和一个锐角；已知斜边和一个锐角；已知两条直角边；已知斜边和一条直角边。（五）解直角三角形的实际应用常见概念：仰角：从下往上看，视线与水平线的夹角；俯角：从上往下看，视线与水平线的夹角；坡度（坡比）：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，记作i=h:l坡角：坡面与水平线的夹角α，tanα=坡度i；方向角：以正北、正南为基准，描述物体的位置（如北偏东30°、南偏西45°）；实际应用解题步骤：审：审题，找出实际问题中的直角三角形（或构造直角三角形）；建：将实际问题转化为数学问题，标注已知量和未知量；解：利用解直角三角形的边角关系求解；答：检验结果，回答实际问题。核心能力+解题思路二、核心能力二、核心能力题型1锐角三角函数的定义与计算解题思路确定直角三角形：找准所求锐角的对边、邻边和斜边，避免边的对应关系混淆；利用定义计算：直接代入正弦、余弦、正切的定义式，若三角形非直角三角形，可通过作高构造直角三角形；巧用勾股定理：若已知两边，先利用勾股定理求第三边，再计算三角函数值；互余角转化：遇到非特殊锐角的余角，利用“sinA=cos(90°-A)”等关系转化计算。题型2特殊角的三角函数值计算与应用解题思路熟记特殊角：准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，避免记混（可借助直角三角形边长比辅助记忆：30°三角板：1:3:2；45°三角板：1:1:2）；混合运算规则：遵循“先乘方，再乘除，最后加减”，有括号先算括号内，注意根式和三角函数值的化简；结合代数变形：与绝对值、零指数幂、负整数指数幂结合时，先分别计算各部分，再合并结果。题型3解直角三角形的基本计算解题思路判定类型：根据已知条件判断解直角三角形的类型（已知一角一边/两边）；选准公式：已知锐角和斜边：用正弦、余弦求直角边（a=c・sinA，b=c・cosA）；已知锐角和一条直角边：用正切求另一条直角边，或用正弦/余弦求斜边；已知两条直角边：用勾股定理求斜边，用正切求锐角；已知斜边和一条直角边：用勾股定理求另一条直角边，用正弦/余弦求锐角；角度计算：求出锐角的三角函数值后，若为特殊值，直接写出角度；若非特殊值，用反三角函数表示（中考一般仅考查特殊角）。题型4解直角三角形的实际应用（仰角/俯角/坡度/方向角）解题思路构造直角三角形：仰角/俯角问题：过观测点作水平线，结合视线构造直角三角形，找准仰角/俯角为三角形的内角；坡度问题：过坡顶作水平面的垂线，构造直角三角形，垂直高度为对边，水平宽度为邻边；方向角问题：以正北/正南方向为邻边，正东/正西方向为对边，构造直角三角形，找准方向角对应的内角；找等量关系：若实际问题中无直接的直角三角形，可通过作高将不规则图形分割为直角三角形和矩形（如梯形作高），利用公共边、相等边建立等量关系；设元求解：若已知量较少，可设未知数，利用三角函数列方程求解；单位统一：计算前确保所有长度单位、角度单位统一（角度均为度，长度单位如米、千米需一致）。题型5解直角三角形的综合应用（与几何图形结合）解题思路结合三角形/四边形性质：与等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形结合时，利用图形的对称性、边相等、角相等性质，构造直角三角形；与圆结合：利用圆的切线性质（切线垂直于过切点的半径）、直径所对的圆周角为直角，构造直角三角形；多直角三角形综合：若题目中有多个直角三角形，找公共边、共角、等角，实现边和角的转化，逐步求解；数形结合：画出清晰的几何图形，标注已知量和待求量，避免因图形模糊导致边、角对应错误。三、易错警示三、易错警示锐角三角函数的边对应错误错误：求某锐角的三角函数时，混淆“对边”和“邻边”（如将∠A的对边当作邻边代入公式）；非直角三角形中直接使用锐角三角函数定义。提醒：始终以所求锐角为基准，明确其对边、邻边，斜边为直角三角形的最长边；非直角三角形必须先作高构造直角三角形，再使用三角函数定义。特殊角的三角函数值记混错误：将30°和60°的正弦、余弦值记反。提醒：借助特殊直角三角形的边长比记忆：30°Rt△（短直：长直：斜边=1:3:2）、45°Rt△（直角边：斜边=1:2），结合“正弦对边比斜边、余弦邻边比斜边”推导，避免死记硬背。解直角三角形时忽略角的范围错误：求出锐角的三角函数值后，未结合实际情况判断角度，或误将钝角当作锐角计算。提醒：直角三角形的两个锐角均为0°<α<90°，计算角度时，若三角函数值为特殊值，直接对应30°、45°、60°；若非特殊值，中考中一般不要求计算具体角度，仅用三角函数表示即可。实际应用中概念理解错误错误：将仰角/俯角与视线和竖直线的夹角混淆；坡度与坡角混淆（将坡度当作坡角的度数）；方向角描述错误（如将“北偏东30°”说成“东偏北30°”）。提醒：仰角/俯角是视线与水平线的夹角；坡度是垂直高度：水平宽度（比值），坡角是坡面与水平线的夹角，tanα=坡度i；方向角以正北/正南为基准，角度为与基准线的夹角（如北偏东30°，即正北向东转30°）。构造直角三角形时辅助线错误错误：实际问题中，未作垂直辅助线，或作的辅助线未构成直角三角形；梯形作高时，未考虑上下底的长度差。提醒：构造直角三角形的核心是作垂线，确保形成90°角；梯形作高后，利用“上底+下底的差”得到直角三角形的邻边，结合高（对边）求解。计算时未统一单位或忽略近似值要求错误：长度单位混杂（如米和厘米未统一）；实际问题中，题目要求结果保留一定小数位数，未按要求取舍。提醒：计算前将所有长度单位统一为题目要求的单位；根据题意保留近似值，遵循“四舍五入”原则，若题目无要求，保留准确值（根式、π形式）。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·四川模拟）tan45A.0 B.1 C.1−22 D.1−【答案】A【解析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解．【解答】解：tan45∘−2cos45∘=1−22.（24-23·云南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘．若AB=13,BC=5，则sinA=（

）

A.15 B.112 C.113【答案】D【解析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．

直接由正弦的定义即可求解．【解答】解：∵∠C=90∘，AB=13,BC=5，

∴在Rt△ABC中，sinA=BCAB=513，

故选：3.（24-25·安徽模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A0,1，B4,1，C5,6，则sin∠BAC=（

）A.12 B.135 C.22【答案】C【解析】如图，取格点D，连接CD，AD，则B在AD上，由A0,1，B4,1，C5,6，证明∠BAC=45∘【解答】解：如图，取格点D，连接CD，AD，则B在AD上，

∵A0,1，B4,1，C5,6，

∴AD=5，CD=5，∠ADC=90∘，

∴∠BAC=45∘，

∴sin∠BAC=sin4.（24-25·吉林模拟）图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB=BC，∠BOC=30∘，DE=2时，EH的长为（

）

A.3 B.32 C.2 D.【答案】C【解析】根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出，再根据，即可求．【解答】解：∵在菱形中，，，∴，又∵，∴，，∴，∴BC=OC⋅sin∠BOC=6×12=3，OB=OC⋅cos∠BOC=6×cos30∘=33，∴BE=OB−OE=33−23=3.∵AB=BC=3，∴在Rt△OBA中，OA=OB2−AB2

5.（23-24·浙江中考）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（

）

A.1010 B.13 C.310【答案】B【解析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明△AGD∽△FGE，得到EGED=14，然后过点G作GH⊥BC，得到△GHE∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例分别求出HE,GH的长，进而求出【解答】解：∵矩形ABCD，E，F是BC边上的三等分点，AB=8，BC=12，

∴AD=BC=12，CD=BC=8，AD∥BC，BE=EF=FC=4，EC=8，

∴△AGD∽△FGE，

∴EGDG=EFAD=412=13，

∴EGED=14，

过点G作GH⊥BC，则GH∥CD，

∴△GHE∽△DCE，

∴EHEC=GHCD=6.（23-24·四川中考）宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处,AB′交CD于点E,则A.55 B.12 C.35【答案】A【解析】设宽，根据比例表示长，证明△ADE≅△CB′E,在Rt△ADE【解答】解：设宽为x,∵宽与长的比是5−12,

∴长为x5−12=5+12x,

由折叠的性质可知,AD=BC=B′C=x,

在△ADE和△CB′E中，

∠AED=∠AEB′∠D=∠B′AD=B′C,

∴△ADE≅△CB′EAAS,

7.（22-23·山东中考）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45∘，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D=30∘，则CD的长度约为（

）（参考数据：2≈1.414,A.1.59米 B.2.07米 C.3.55米 D.3.66米【答案】D【解析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．【解答】在中，，，∴米,在中，∠ADB=30∘，∠BAD=90∘，∴ABAD=tan∠ADB，∴AD=ABtan30故选D．

8.（24-25·山东中考）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC=α，AC=5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（

）米．

A.5tanα+5 B.5tanα+5 C.5cosα【答案】B【解析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为AC+BC的长，利用正切定义求得BC=AC⋅tanα即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=α，AC=5米，

∴BC=AC⋅tanα=5tanα（米），

∴地毯的长度为BC+AC=5tanα+5米．

故选：B．

9.（24-25·贵州模拟）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30∘，看这栋楼底部C的俯角β为60∘，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）

A.1403m B.1603m C.【答案】B【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD=120m，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

由题意得：AD=120m，

在Rt△ABD中，∠BAD=30∘，

∴BD=AD⋅tan30∘=120×33=403( m)，

在Rt△ACD中，∠CAD=60∘，

∴CD=AD⋅tan60∘=1203( m)，

10.（24-25·云南模拟）如图，分别经过原点O和点A(4, 0)的动直线a，b夹角∠OBA=30∘，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）

A.3+66 B.32 C.6【答案】A【解析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM=12TB=2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．

∵∠ATO=2∠ABO=60∘，TO=TA，

∴△OAT是等边三角形，

∵A(4, 0)，

∴TO=TA=TB=4，

∵OK=KT，OM=MB，

∴KM=12TB=2，

∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，

当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，

∵△OTA是等边三角形，OK=KT，

∴AK⊥OT，

∴AK=OA2−OK2=42−22=23，

∵AM是切线，KM是半径，

∴AM⊥KM，

∴AM=AK2−MK2=(23)2−22=22，

过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．

∵∠PML=∠AMK=90∘，

∴∠PMK=∠LMA，

∵∠P=∠MLA=90∘，

∴△MPK∽△MLA，

∴MP11.（22-23·广东中考）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处．测得山峰顶端B的仰角为α．则A、B两点之间的距离为（

）

A.(m−n)sinα米 B.m−nsinα米 C.(m−n)cosα米 D.m−n【答案】B【解析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．

由题意得四边形ACDE是矩形，则CD=AB=n，那么BC=BD−CD=m−n，再解Rt△ACB即可．【解答】解：由题意得，四边形ACDE是矩形，

∴CD=AB=n，

∴BC=BD−CD=m−n，

由题意得，∠ACB=90∘,∠BAC=α，

∴sin∠BAC=BCAB，

∴AB=BCsinα=m−nsinα12.（24-25·全国模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则ADBEA.23 B.733 C.5【答案】A【解析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设BC=x，根据含30度的直角三角形的性质，得到AB=2x,AC=3x，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到CDBD=ACAB，进而求出CD的长，勾股定理求出AD的长，等角的正弦值相等，得到CDAD【解答】解：∵∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，

∴AB=2BC,AC=3BC，

设BC=x，则：AB=2x,AC=3x，

∵AD平分∠CAB，∠ACB=90∘，

∴点D到AC,AB的距离相等均为CD的长，∠CAD=∠BAD，

∴S△ACDS△ABD=12AC⋅CD12AB⋅CD=CDBD，

∴CDBD=ACAB=32，

∴CD=13.（22-23·内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(23,0),B(3,1),△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与AA.23 B.332 C.3【答案】A【解析】过点B作BD⊥x轴，根据题意得出BD=1,OD=3，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出OB=AB=2，∠BOA=∠BAO=30∘，利用各角之间的关系∠OBA′+∠OBD=180∘，确定A′【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴，

∵O(0,0),A(23,0),B(3,1)，

∴BD=1,OD=3，

∴AD=OD=3，tan∠BOA=BDOD=33，

∴OB=AB=OD2+BD2=2，∠BOA=∠BAO=30∘，

∴∠OBD=∠ABD=60∘，∠OBA=120∘，

∵△OA′B与△OAB关于直线OB对称，

∴∠OBA′=120∘，

∴∠OBA′+∠OBD=180∘14.（23-24·四川中考）如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90∘，AB=2，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE=1，CG=3；点D是CB延长线上一点，且CD=2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则mn的值为（）A.2 B.3 C.10 D.13【答案】D【解析】当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，由勾股定理可求此时GF的长，当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，由勾股定理可求此时GF的长，即可求解．【解答】解：在等腰直角△ABC，∠ACB=90∘，AB=2，

∴AC=BC=1，

在△BCG中，CG−BC<BG<CG+BC，

即2<BG<4，

如图，当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，

∴DG=DC+CG=5，GF=1，

∴DF=DG2+GF2=25+1=26=m，

当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，

∴DG=CG−DC=1，FG=1，

∴DF=F15.（24-25·江苏中考）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN⋅BF=EC⋅HN；④若BF:FC=3:4，则tan∠FAC=25；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（

）

A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤【答案】C【解析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似．

容易证明△AEB≅△AFB(SAS)，从而可得∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=α，进而可得∠EAH=∠AHE，从而可得②正确，过点B作BK∥EN，交CD于点K，构造△ABF≅∠BCK(AAS)，结合四边形BMNK是平行四边形可得MN=BK=AF，可得①正确，再利用角关系证明△NEC∽△BAF，△AEC∽△HNC，可得EN⋅BF=CN⋅AF=CN⋅AE=EC⋅HN，从而得出结论③正确，过点F作FP⊥AC，设BF=3x，由BF:FC=3:4可得FC=4x，解三角形求出PF=22x，AP=52x，从而求出tan∠FAC=PFAP=25，故结论④正确，再判定△CNH不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有△ABC【解答】解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K，

∵在正方形ABCD中，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=90∘，∠BAC=∠ACB=∠ACD=45∘，AB∥CD，

∴△ABC、△ADC是等腰三角形，

又∵BE=BF，AB=AB，

∴△AEB≅△AFB(SAS)，

∴AE=AF，∠AEF=∠AFE，∠BAE=∠BAF，

∴△AEF是等腰三角形，

∵EG⊥AF，

∴∠NEC+∠AFE=90∘，

又∵∠BAF+∠AFE=90∘，

∴∠NEC=∠BAF，

∵BK∥EN，

∴∠KBC=∠NEC，∠BKC=∠ENC，

∴∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE，

设∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=α，

∵∠EAH=∠BAE+∠BAC=α+45∘，∠AHE=∠HEC+∠ACB=α+45∘，

∴∠EAH=∠AHE，故结论②正确；

∴EA=EH，即△AEH是等腰三角形，

∵在△ABF和△BCK中，

AB=BC∠KBC=∠BAF∠ABF=∠BCK ，

∴△ABF≅∠BCK(AAS)，

∴BK=AF，∠CKB=∠AFE=∠AEF=90∘−α

∵BK∥EN，AB∥CD，

∴四边形BMNK是平行四边形，

∴MN=BK，

∴MN=AF，故结论①正确，

∵∠NEC=∠BAF，∠BCD=∠ABC=90∘，

∴△NEC∽△BAF，

∴ENAF=CNBF，

∴EN⋅BF=CN⋅AF，

∵∠EAH=∠AHE=∠CHN=45∘+α，∠ACE=∠ACN=45∘，

∴△AEC∽△HNC，

∴AEHN=ECNC

∴CN⋅AE=EC⋅HN，

∵AE=AF，

∴CN⋅AF=EC⋅HN，

∴EN⋅BF=EC⋅HN，故结论③正确，

过点F作FP⊥AC，如图2；

设BF=3x，由BF:FC=3:4可得FC=4x，AB=BC=7x，

∴AF2=AB2+BF2=(7x)2+(3x)

（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·广东中考）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则cosθ−sinθ=______25________．

【答案】25【解析】根据题意，如图所示，大正方形的边长AB=5，小正方形的边长CD=2，得到AC=BD，从而cosθ−sinθ=ADAB−【解答】解：如图所示：

∵大正方形的面积是25，小正方形面积是4，

∴大正方形的边长AB=5，小正方形的边长CD=2，

∵AC=BD，

∴cosθ−sinθ=ADAB−BDAB=AD−BDAB=17.（23-24·江苏中考）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB⌢所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB=23，则花窗的周长（图中实线部分的长度）=

8π

．（结果保留π）【答案】8π【解析】过点C作CE⊥AB，根据正多边形的性质得出△AOB为等边三角形，再由内心的性质确定∠CAO=∠CAE=∠CBE=30∘，得出∠ACB=120∘，利用余弦得出【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥AB，

∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，∴∠AOB=60∘,OA=OB，∴△AOB为等边三角形，

∵圆心C恰好是△ABO的内心，∴∠CAO=∠CAE=∠CBE=30∘，∴∠ACB=120∘，

∵AB=23，∴AE=BE=3，∴AC=AEcos30∘=218.（24-25·山东中考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢​2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为____45________．【答案】45/0.8【解析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题．【解答】解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，

由题意：AB=8,HC=2，

设OA=x，由OC=x，

∴OH=x−2，

∵OH⊥AB，OC为半径，

∴AH=BH=12AB=4，

在Rt△OAH中，

由勾股定理得AH2+OH2=OA2，

∴42+(x−2)2=x2，

19.（24-25·黑龙江模拟）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1:2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC=15m，则迎水坡面AB的长度是____153m__________．

【答案】153m/153【解析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键．

根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵坡AB的斜坡坡度i=1:2，

∴BCAC=12，而BC=15m，

即15AC=12，

解得，AC=152，经检验符合题意，

由勾股定理得，20.（23-24·江苏中考）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1、l2上的动点，且满足AC=BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH【答案】13【解析】证明△ACE≅△BDEASA，得出BE=AE=12AB，根据BH⊥CD，得出∠BHE=90∘，说明点H在以BE为直径的圆上运动，取线段BE的中点O，以点O为圆心，OB为半径画圆，则点H在⊙O上运动，说明当AH与⊙O相切时∠BAH最大，得出OH⊥AH，根据【解答】解：∵两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，

∴点B为定点，AB的长度为定值，

∵l1 // l2，

∴∠ACE=∠BDE，∠CAE=∠DBE，

∵AC=BD，

∴△ACE≅△BDEASA，

∴BE=AE=12AB，

∵BH⊥CD，

∴∠BHE=90∘，

∴点H在以BE为直径的圆上运动，

如图，取线段BE的中点O，以点O为圆心，OB为半径画圆，

则点H在⊙O上运动，

∴当AH与⊙O相切时∠BAH最大，

∴OH⊥AH，

∵AE=BE=2OE，

∴AO=AE+OE=3OE，21.（22-23·江苏中考）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC // x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC=23，则k=

−8【答案】−83【解析】作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，求得S△OEA=43，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得【解答】解：作AE⊥x轴于E，

∵矩形OABC的面积是6，

∴△AOC的面积是3，

∵∠AOC=90∘，cos∠OAC=23，

∴OAAC=23，

∵对角线AC // x轴，

∴∠AOE=∠OAC，

∵∠OEA=∠AOC=90∘，

∴△OEA∽△AOC，

∴S△OEAS△AOC=OAAC2，

∴S△OEA322.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y=3x的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为_____π3_________．（结果保留π）

【答案】π3/【解析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得∠OAC=60∘，根据题意得到AC=BD=1，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得∠OAC=60【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，

∴AC⊥x轴，BD⊥x轴，

∵半径为1，

∴AC=BD=1，

∴A点的纵坐标为1，

把y=1代入y=3x，求得x=3，

∴A3,1，

∴OC=3，AC=1，

∴tan∠OAC=OCAC=3，

∴∠OAC=60∘，

∴第一象限中阴影的面积S1=60π×1236023.（24-25·云南模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得A点的俯角为60∘，测得B点的俯角为30∘（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为______1203________m（结果保留根号）．

【答案】1203【解析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点C作CD⊥AB于点D，则CD=90m，求出∠CAD=∠MCA=60∘，∠CBD=∠NCB=30∘，利用CD⊥AB，得出AD=CD【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD=90m，

∵∠MCA=60∘，∠NCB=30∘，MN∥AB，

∴∠CAD=∠MCA=60∘，∠CBD=∠NCB=30∘，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=∠CDB=90∘，

∴AD=CDtan∠CAD=903=3024.（22-23·湖北中考）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45∘，尚美楼顶部F的俯角为30∘，己知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为30−53米．（结果保留根号）【答案】30−53【解析】过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，首先证明出四边形ECAM是矩形，得到AM=CE=15，然后根据等腰直角三角形的性质得到AC=EM=BM=15，进而得到AD=AC=15，然后利用30∘角直角三角形的性质和勾股定理求出BN=53，即可求解．【解答】如图所示，过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，

由题意可得，四边形ECAM是矩形，

∴AM=CE=15，

∵AB=30，

∴BM=AB−AM=15，

∵博雅楼顶部E的俯角为45∘，

∴∠EBM=45∘，

∴∠BEM=45∘，

∴AC=EM=BM=15，

∵点A是CD的中点，

∴AD=AC=15，

由题意可得四边形ADFN是矩形，

∴NF=AD=15，

∵尚美楼顶部F的俯角为30∘，

∴∠NBF=60∘，

∴∠BFN=30∘，

∴BF=2BN，

∴在Rt△BNF中，BN2+NF2=BF2，

∴BN25.（23-24·江苏中考）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为______154________．【答案】154【解析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出OA，当点C在x轴上移动时，作AB与AB′关于AC对称，且AB′交x轴于点D，由对称性质可知，AB′=AB，∠BAC′=∠DAC′，当AB′⊥x轴于点D时，AB=AB′=AD+B′D最短，记此时点C所在位置为C【解答】解：∵点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，

∴点A的坐标为(4,3)，

∴OA=5，

当点C在x轴上移动时，作AB与AB′关于AC对称，且AB′交x轴于点D，

由对称性质可知，AB′=AB，

当AB′⊥x轴于点D时，AB=AB′=AD+B′D最短，记此时点C所在位置为C′，

由对称性质可知，∠BAC′=∠DAC′，

作C′E⊥AB于点E，有DC′=EC′，

设DC′=EC′=m，则OC′=OD−DC′=4−m，

∴sin∠AOD=EC（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（24-25·吉林模拟）计算：−3+【答案】 3 【解析】先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．【解答】解：原式=3+1−2×32+2,=3−3+3,27.（23-24·山东中考）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD,CD．

（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=1，sin∠BAD=13，求【答案】证明见解答；9．【解析】（1）连接OD，由角平分线可得∠BAD=∠EAD，又由OA=OD可得∠OAD=∠ODA，即得∠ODA=∠EAD，由DE⊥AE得∠EAD+∠ADE=90∘，进而可得∠ODA+∠ADE=90∘，即得OD⊥DE，即可求证；

(2)AB是⊙O的直径可得∠DAB+∠ABC+∠DBC=90∘，又由(1)知∠EAD+∠ADC+∠CDE=90∘，由∠BAD=∠EAD，∠DBC=∠ADC，进而可得∠DBC=∠CDE，再根据∠DBC=∠CAD，∠DCB=∠BAD，∠CAD=∠BAD，可得∠CDE=∠DBC=∠DCB=∠BAD，得到BD=CD，sin∠CDE=sin∠BAD=13，解【解答】（1）解：证明：连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠EAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠EAD，

∵DE⊥AE，

∴∠E=90∘，

∴∠EAD+∠ADE=90∘，

∴∠ODA+∠ADE=90∘，

即∠ODE=90∘，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90∘，

∴∠DAB+∠ABD=90∘，

即∠DAB+∠ABC+∠DBC=90∘，

∵∠EAD+∠ADE=90∘，

∴∠EAD+∠ADC+∠CDE=90∘，

∴∠DAB+∠ABC+∠DBC=∠EAD+∠ADC+∠CDE

∵∠BAD=∠EAD，∠ABC=∠ADC，

∴∠DBC=∠CDE，

∵∠DBC=∠CAD，∠DCB=∠BAD，∠CAD=∠BAD，

∴∠CDE=∠DBC=∠DCB=∠BAD

∴BD=CD，sin∠CDE=sin∠BAD=13，

在Rt△CDE中，CECD=sin∠CDE=13，

∴CD=3CE=3×1=3，

∴BD=3，

在28.（24-25·福建模拟）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26∘时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50∘，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26∘≈0.44，cos26∘≈0.9，tan26∘≈0.49【答案】1.7m．【解析】过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，在Rt△OBT中，求出OT=OB⋅cos26∘=2.7(m)，可得ON=OT+TN=3.6(m)，在Rt△AOK中，得OK=OA⋅cos50∘=1.92(m)，故【解答】解：过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，如图：

在Rt△OBT中，

OT=OB⋅cos26∘=3×0.9=2.7(m)，

∵∠M=∠MNT=∠BTN=90∘，

∴四边形BMNT是矩形，

∴TN=BM=0.9m，

∴ON=OT+TN=3.6(m)，

在Rt△AOK中，

OK=OA⋅cos50∘=3×0.64=1.92(m)，

∴KN=ON−OK=3.6−1.92≈1.7(m)，

∴座板距地面的最大高度为29.（24-25·陕西模拟）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠2的度数，大楼底部点A的俯角∠1的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1=45∘，∠2=52∘，∠3=65∘，CD=10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）．参考数据：sin52∘≈0.8，cos52∘≈0.6【答案】大楼的高度AB约为29m．【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH=CD=10m,CG=DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG=AG，设CG=AG=DH=x(m)，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键．【解答】解：如图，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，

∴GH=CD=10m,CG=DH，

∵∠1=45∘，

∴CG=AG，

设CG=AG=DH=x(m)，

在Rt△BCG中，∠2=52∘，

∴BG=CG⋅tan52∘≈1.3x(m)，

在Rt△BDH中，∠3=65∘，

∴BH=DH⋅tan65∘≈2.1x(m)，

∴GH=BH−BG=2.1x−1.3x=10，

∴x=12.5，

∴AB=BG+AG=1.3×12.5+12.5≈29(m)，

30.（23-24·重庆模拟）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A−D−C−B；②A−E−B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方 10 千米处，点D在点C的正西方 14 千米处，点D在点A的北偏东45∘方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60∘方向．（参考数据：2≈1.41,3（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】AD的长度约为 14 千米；小明应该选择路线①，理由见解答【解析】（1）过点D作DF⊥AB于点F，根据题意可得四边形BCDF是矩形，进而得出DF=BC=10，然后解直角三角形即可；（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．【解答】（1）解：过点D作DF⊥AB于点F，

由题意可得：四边形BCDF是矩形，

∴DF=BC=10千米，

∵点D在点A的北偏东45∘方向，

∴∠DAF=∠DAN=45∘，

∴AD=DFsin45∘=10（2）由题意可得：BC=10，CD=14，∴路线①的路程为：AD+DC+BC=102+14+10=24+102≈38（千米），

∵DF=BC=10，∠DAF=∠DAN=45∘，∠DFA=90∘，

∴△DAF为等腰直角三角形，

∴AF=DF=10，

∴AB=AF+BF=AF+DC=10+14=24，

由题意可得∠EBS=60∘，

∴∠E=60∘，

∴AE=ABtan60∘=831.（25-26·山东模拟）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行于地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA=2.5米，AD=0.8米，∠AGC=32∘．

（1）求∠GAC的度数．（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面 3 米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32【答案】;该运动员能挂上篮网，理由见解答.【解析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；（2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解．【解答】（1）∵，∴,∵，

∴．（2）该运动员能挂上篮网，理由如下：如图，延长交于点.

∵，

∴，

又∵，

∴.

在Rt△ADM中，AM=ADsin32∘≈0.8×0.53=0.424，

∴OM=OA+AM=2.5+0.424=2.924<3，

∴该运动员能挂上篮网．32.（24-25·四川模拟）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45∘，DE与坡面的夹角β为72.5∘，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE=1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5∘≈0.95，cos72.5∘【答案】信号杆的高AB为16m【解析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出∠DBH=∠BDE=72.5∘，再在Rt△DBH中，运用HD=BD×sin72.5∘，BH=BD×cos72.5∘，代入数值进行计算，得出HD,BH的值，然后证明四边形ED