燃气轮机测试课件 第2章 测量误差与不确定度

02第2章·原书P18–P29CHAPTERTWO测量误差与不确定度只有在得到测量结果的同时指出测量误差的范围，所得的测量结果才是有意义的。本章回答“测得准不准、误差从哪里来、如何科学表达”。1误差的基本概念（2.1）——三类误差与三种真值2随机误差分析与处理（2.2）——正态分布与置信度3粗大误差分析与处理（2.3）——三准则判别坏值4系统误差分析与处理（2.4）——分类、判定与削弱5函数误差与误差合成（2.5）——传播、分配与最佳方案6测量结果的不确定度评定（2.6）——A/B类与合成扩展第2章

测量误差与不确定度燃气轮机试验与测试技术2.1误差的定义与分类2.1绝对误差=测量结果-真值真值已知的三种情形理论真值：内角和180°、圆周率π等约定真值：国际计量大会规定的七种单位量值相对真值：高一级仪器误差为低一级的1/3~1/10粗大误差明显歪曲测量结果、使该次测量失效的误差，也称疏忽误差；原因有读错记错、操作错误、系统突发故障，应当剔除。系统误差相同条件下多次重复测量时，误差大小和符号保持不变（恒值）或按确定规律变化（变值）；增加测量次数不能减少它。随机误差绝对值和符号不可预知地变化，也称偶然误差；单个值不确定，但一系列重复测量值的分布服从统计规律，其大小表明精密度。随机误差与系统误差并无绝对界限，在一定条件下可以互相转化：随着测量条件改善和认识水平提高，一些过去视为随机误差的误差可分离出来作为系统误差处理。第2章

测量误差与不确定度

·燃气轮机试验与测试技术2.1.3精密度、正确度与准确度精密度相同测量条件下对同一被测量多次测量时，测量值的重复性程度；反映随机误差的大小，随机误差越小、测量值分布越密集，精密度越高。正确度相同测量条件下多次测量时，测量值偏离被测量真值的程度；反映系统误差的大小，系统误差越小，测量结果的正确度越高。准确度精密度和正确度的综合，也称精确度；反映测量结果中系统误差和随机误差的综合数值，即测量结果与真值的一致程度。同一被测量的多次测量中，精密度高准确度不一定高，正确度高准确度也不一定高；只有精密度和正确度都高，准确度才会高。图2-1精密度高、正确度低图2-2精密度低、正确度高图2-3准确度高（精密度高、正确度高）第2章

测量误差与不确定度·燃气轮机试验与测试技术2.2.1随机误差的分布规律图2-4随机误差的概率密度分布曲线：曲线与横坐标之间的总面积等于1，阴影面积表示随机误差落在δ与δ+dδ之间的概率概率密度函数f(δ)=[1/(σ√2π)]·exp(−δ²/2σ²)（2-1）；令δ=x−μ得f(x)（2-2）。式中σ为标准差（均方根误差），μ

为真值（数学期望）；式（2-1）、（2-2）称为概率方程或高斯方程。四条特性对称性（等值性）：绝对值相等的误差概率相同；有界性：误差不超过某一限度；单峰性：误差为零时出现机会最大；抵偿性：n→∞时误差代数和等于零。由概率论中心极限定理可知，大量、微小、独立的随机误差服从正态分布——这是后续所有统计处理的理论前提。第2章

测量误差与不确定度

燃气轮机试验与测试技术2.2.2测量值及其随机误差估计图2-5随机误差的正态分布曲线（σ

决定曲线的“肥瘦”程度）有限次测量的估计当n→∞时，测量值的数学期望等于各测量值的算术平均值（2-3）；实际测量中以等精度有限次重复测量值的算术平均值作为被测量真值的估计值（2-4）。σ越小，分布曲线越窄、越陡，任一单次测量对相对真值的离散程度越小、可靠性越大、精密度越高。估计公式算术平均值x̄=(1/n)·Σxi（2-4）；贝塞尔公式σ(x)=√[Σvi²/(n−1)]（2-6），式中vi=xi−x̄为残差（剩余误差）；测量子样算术平均值的标准差σ(x̄)=σ(x)/√n（2-7）。用多次重复测量取得的子样平均值作为测量结果，比单次测定值具有更高的精密度；但由于是平方根关系，n达到20~30次后再增加，效果就不明显了。第2章

测量误差与不确定度燃气轮机试验与测试技术2.2.3–2.2.4置信度与测量结果的表示表2-1正态分布置信系数与置信水平的关系表（摘录）Z0.00.10.20.30.40.5注：行为置信系数Z的整数位，列为Z的小数位（0.0~0.5）。例2-1查表2-1得φ(1)=0.6827，φ(2)=0.9545，φ(3)=0.9973；相应显著性水平α=1−φ(Z)依次为0.3173、0.0455、0.0027。例2-2

转速20次重复测量：x̄=4752.0r/min，σ(x)=2.0r/min，σ(x̄)=0.447r/min；查表2-1得Z=1.96，a=1.96×0.447≈0.9r/min。结果：x=(4752.0±0.9)r/min（P=95%）。置信区间用±Zσ(x)表示；α(Z)=1−φ(Z)（2-9）。测量结果是以子样平均值为中心、以置信区间半长为误差限的量（2-12）。随机误差超过±3σ的概率小于0.3%，是小概率事件。置信系数Z置信水平φ(Z)00.10.20.30.40.50.60.70.80.900.00.07970.15850.23580.31080.38290.45150.51610.57630.631910.68270.72870.76990.80640.83850.86640.89040.91090.92810.942620.95450.96430.97220.97850.98360.98760.99070.99310.99490.996330.99730.99810.99860.9990.99930.99950.99970.99980.999850.9999第2章

测量误差与不确定度燃气轮机试验与测试技术2.3粗大误差分析与处理2.3可疑测量值的判别三步1物理方法鉴别：查差错与瞬变原因2补充测量：重复测量或更换仪器3统计检验方法：建立判据后处理三种准则都以正态分布为基础。拉依达准则（3σ准则）最常用；遵循逐个剔除原则，一次只能剔除一个数据；计算方法简便迅速，适用于正态分布、测量次数较多的情况，但n<10时失效。格拉布斯准则理论严谨、概率意义明确，经试验证明判断粗大误差较好；求出格拉布斯鉴别值T(n,α)·σ(x)，残差最大值大于鉴别值即剔除；T(n,α)中n随数据剔除而变化（表2-2）。t检验准则判断时隔离被怀疑的测量值，用剩余n−1个测量值求x̄′与σ(x)′，计算t检验鉴别值K(α,n)·σ(x)′并进行比较。对可疑测量值的剔除不能靠主观臆断，不能人为地、毫无根据地去除误差大的测量值，以期得到所谓“符合规律”的测量结果。第2章

测量误差与不确定度燃气轮机试验与测试技术2.4系统误差的分类、判定与削弱图2-7各类特征的系统误差：曲线a恒定；b、c累计；d周期性；e复杂规律按变化规律分类恒定系统误差（曲线a）：大小和方向不随时间和条件改变。变值系统误差：累计（曲线b、c，线性与非线性）、周期性（曲线d）、复杂变化规律（曲线e，为前三者的组合）。产生原因：仪器、设备、试验装置不完备或环境条件变化；试验方案、方法、原理不完善。判定恒定系统误差用试验对比法（标准器件法、标准仪器法）与改变外界测量条件法；变值系统误差用残差观察法（适用于系统误差比随机误差大的情况）、马利科夫准则判累计系统误差C=Σvi−Σvi（2-13）、阿贝-赫梅特准则判周期性系统误差A=Σvivi+1（2-14）。削弱方法：零式法、替代法、变换法、补偿法、对称观测法、半周期法。修正值法只能消除已定的系统误差，且不具有通用性。第2章

测量误差与不确定度燃气轮机试验与测试技术2.5.1–2.5.2函数误差与误差合成函数系统误差间接测量量y=f(x1,x2,…,xm)（2-22）；函数系统误差εy=Σ(∂f/∂xi)·εi（2-23）。∂f/∂xi为误差传播系数：与εy量纲相同时起误差放大或缩小作用，不同时起误差单位换算作用。函数随机误差y+δy=f(x1+δ1,…,xm+δm)（2-24）；按泰勒级数展开并略去二阶以上小量得δy=Σ(∂f/∂xi)·δi（2-25）。各输入量标准差为σi，协方差Dij=ρij·σiσj，则y的标准差σy含协方差项（2-26）；各输入量随机误差相对独立时Dij=0，简化为σy=√Σ[(∂f/∂xi)²·σi²]（2-27）；各随机误差都为正态分布时可得函数极限误差公式（2-28）。合成标准差σ=√Σ(aiσi)²（2-29），互不相关时σ=√Σ(aiσi)²（2-30）；各分量量纲一致且相关系数为0时ai=1，σ=√Σσi²（2-31）。极限误差合成：δi=kiσi（2-32）、δ=kσ（2-33），代入得δ=k√Σ(aiσi)²（2-34）。各单项极限误差的置信系数ki不仅与置信水平有关，也与随机误差的分布有关。第2章

测量误差与不确定度燃气轮机试验与测试技术2.5.3–2.5.5误差分配与最佳测量方案图2-11弓高弦长法测量工件直径：函数式D=l²/(4h)+h，据此确定最佳测量方案未定系统误差合成其取值具有随机性、有抵偿作用，可按随机误差公式合成（2-35~2-40）。误差分配三步①按等影响原则分配：使各分项误差对函数误差的影响相等（2-43~2-45）；②

按可能性调整：难以实现的分项适当扩大、容易实现的尽可能缩小；③

验算调整后的总误差，超差则再缩小可缩小的误差项。最佳方案：选误差项数少的函数公式，并使误差传播系数尽量小。例2-4两轴中心距测量：方法一σL=0.91μm、方法二1.09μm、方法三0.64μm——方法三最小，因其误差项数少、函数式简单且不含内尺寸。第2章

测量误差与不确定度

燃气轮机试验与测试技术2.6.1–2.6.2不确定度概念与标准不确定度评定2.6测量不确定度：表征合理赋予被测量值分散性的参数。A类评定：用统计分析的方法。B类评定：用不同于统计分析的其他方法。不确定度来源被测量定义不完整；实现定义的方法不理想；取样代表性不够；对环境影响的测量与控制不完善；模拟仪器读数的人为偏差；仪器计量性能局限；标准值与标准物质不准；引用常数不准确；测量原理与程序的近似或假定；重复观测值的随机变化；系统误差修正不完善；粗大误差未被剔除；测量条件变化。相关术语标准不确定度：用标准差表示的不确定度。合成标准不确定度：各分量方差与协方差加权和的正平方根。扩展不确定度：测量结果取值区间的半宽度。包含因子：对合成标准不确定度所乘的倍数因子，一般取2~3。A、B两类只是计算不确定度的两种不同途径，都基于某种概率分布，本质上并没有区别，不能把它们混淆为随机误差和系统误差。第2章

测量误差与不确定度燃气轮机试验与测试技术2.6.3–2.6.5合成、扩展不确定度与结果表示合成标准不确定度uC(y)=√[Σui²+2ΣΣρij·ui·uj]（2-61）；间接测量时uC(y)=√[Σ(ai·u(xi))²+2ΣΣai·aj·ρij·u(xi)·u(xj)]（2-62），ai为灵敏系数（误差合成中