第03讲 二次函数（二）

高斯教育学科教师辅导讲义

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辅导科目：学科教师：五块石1

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授课主题第03讲二次函数（二）

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够错题回顾

二次函数（2）

丫£知识精讲

一.二次函数与三角形

等腰三角形存在性问题：

题型说明：本类题型考察的方向有两个；①考查“分类时论”的基本思想；②考查”方程的思

想”.分类讨论主要讨论谁为腰，然后利用两腰相等或勾股定理建立方程.

解决此类问题的基本思路：①分类讨论看是否存在多种可能；②将各边用参数表示出来；③建

立方程；④检验是否符合题意.

直角三角形的存在性问题：

题型说明：本类题型考察的方向有两个；①考查“分类讨论”的基本思想；②考查“勾股定理

解决此类问题的基本思路：①分类讨论看是否存在多种可能，哪个顶点为直角顶点.②利用勾

股定理和相似构造方程.

等腰直角三角形存在性问题：

题型说明：本类题型主要考查等腰直角三角形的特殊性，如45。，斜边上的高等于斜边的一半

等，往往这些条件都是解决本类问题的关键条件.

相似三角形存在性问题

题型说明：本类题型主要考察相似三角形的对应关系，保证对应顶点对应在起来，这样就涉及到分

类讨论的思想，分类的标准就是点与点之间的对应.

二.二次函数与四边形

平行四边形存在性问题

题型说明：在解决此类问题时，需要注意“平行四边形''的四个顶点中是有一个动点或二个动

点.如果只有一个动点，则先求点坐标，然后代入检验；如果有两个动点，则常用的方法有两个，

①引入坐标代入函数解析式后建立方程，注意最后要检验；②从已知条件直接进行分析

动点与平行四边形存在性问题常见模型：

两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形

i考虑分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相

等找出所有的存在的情况.

ii设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，代入另一个点所在函数关系

②三周一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形

i考虑分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点

大三角：（见图1）连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行

线交点即为要找的点.

ii利用中点公式法，求出点坐标.

中点公式法：设出尸点坐标，利用线段尸8、AC的中点都为O点，即可求出P点坐标.

图P

P21图2

其他四边形存在性问题

题型说明：除了经常考察平行四边形的存在性以及梯形之外，像菱形，矩形，正方形也经常出

现在二次函数的动点问题中，充分应用相关图形的性质是解决问题的关键.

三.二次函数与面积问题

题型说明：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐标在

不在二次函数的图像上，这些都是在考试中容易失分的地方.

根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联系，尤其是正切的运

用.这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直

角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相

似求.掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了.而次部分求面积的时候要先找到点的坐标

的具体位置以及如何通过面积求坐标.

解决此类问题的基本思路：①直接法，若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过

坐标能找到对应的的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来；②组合法，通过简单的重新组合

就能求出面积；③变换，同底等高或等底等高的转换.

方法点拨

及杂事件求概率的方法运用频率估算概率。判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率

与概率的整合.

三点剖析

一.考点：二次函数与三角形，二次函数与四边形，二次函数与面积问题，二次函数与圆，函数新

定义问题.

二.重难点：二次函数与三角形，二次函数与四边形，二次函数与面积问题，二次函数与圆，函数

新定义问题.

三.易错点：

1.事件的判断；

2.客观规律的判断；

3.抛硬币时，正正反和正反正属于两种不同的情况；

4.两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与

事件的可能性的比值.

题模精讲

题模一：二次函数与三角形综合

例LLI如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N

(3,5)

(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；

(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(-2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、

0、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.

【答案】(1)抛物线与x轴没有交点

(2)将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线，

或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线

【解析】解：

(1)由抛物线过M、N两点，

把M、N坐标代入抛物线解析式可得卜+b+5=3，解得卜=1,

.9a+38+5=5[Z?=—3

••・抛物线解析式为y=x2・3x+5,

令y=0可得x2-3x+5=O,

该方程的判别式为△:(-3)2-4XlX5=9-20=-1K0,

・••抛物线与x轴没有交点；

(2)•••△AOB是等腰直角三角形，A(-2,0),点B在y轴上，

・・・B点坐标为(0,2)或(0,-2),

可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n,

①当抛物线过点A(-2,0),B(0,2)时，代入可得上=2,解得卜：

4-2m+〃=0[〃=2

工平移后的抛物线为y=x2+3x+2,

・••该抛物线的顶点坐标为(-士3，-1,而原抛物线顶点坐标为(3士，1-1),

2424

・••将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；

I二+…，解得｛m=1

②当抛物线过A(-2,0),B(0,-2)时，代入可得，

??=-2

・•・平移后的抛物线为y=x?+x-2,

・••该抛物线的顶点坐标为(-1,-,而原抛物线顶点坐标为(2,-),

2424

••・将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线

例1.1.2如图，在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线y=-x2+4mx(m>0)与x轴的另一个交点

为点A,过点P(1,m)作直线PB±x轴，交抛物线于点B,作点B关于抛物线对称轴的对称点C

(点B、C不重合),连结BC,当点P、B不重合时，以BP、BC为边作矩形PBCQ,设矩形PBCQ的

周长为1.

(1)当时,求点A的坐标.

(2)当BC=」时，求这条抛物线所对应的函数表达式.

2

(3)当点P在点B下方时，求1与m之间的函数关系.

(4)连结CP,以CP为直角边作等腰直角三角形PCU,直接写出点M落在坐标轴上时m的值.

y

【答案】(1)A点坐标为(4,0)

(2)当BC="!■时，4m-2=—.m=-,这条抛物线的解析式为y=・x?+2x.

2282

当BC="!■时，2・4m=L.m=-,这条抛物线的解析式为y=-x?+3x.

2282

(3)1=-2m+2.

22

(4)m=—,m=—.

35

【解析】(1)当m=l时，，抛物线的解析式为y=-x?+4x.

当y=0时，・X2+4X=0,解得W=0,X2=4,即A点坐标为(4,0):

(?)当y=-x'dmx中x=l时，y=4tn-I,R(1,4m-1).且抛物线的对■称轴为x=-—

2x(—1)

=2m.

当点B在对称轴左侧时，即m>-时，BC=2(2m-1)=4m-2.

2

当BC=g时，4m-2=;.111=(,这条抛物线的解析式为y二・x4Tx.

当Bcf寸，27mg吟，这条抛物线的解析式为y一话x・

(3)当点B在对称轴左侧，同时点P在点B的下方，即,〈mV，时，

32

1=2(2(1-2m)+(4m-1-m)],1=-2m+2.

(4)分三种情况：P在对称轴左侧，P(1,m),B(1,4m-1),C(4m-b4m-1),

BC=4m-2,BP=3m-1,

①若NCPQ=90°,PC=PQ,如图1,

此时，△CBPgZ\PFQ,

此时，AQFP^ACDQ,

DF=CD,即4m-1=4m-1,方程无解;

，此种情况不成立.

③如图3,

B(1,4m-1),P(1,m).C(4m-1,4m-1),

若NCPQ=90°,PC=PQ,△CBPdQFC,

BP=CF,即3m-l=4m-1,解得m=0（舍），

④如图4,

ZCQP=90°,CQ=CP,

△CBP也△PFQ,

BP-QF,

⑤如图5,

ZCQP=90°,CQ=CP,

△CBP^APFQ,

2

BC=PF,即2-4m=m,解得；

5

2

综上所述：m=|,m=—.

5

例1.1.3如图，抛物线y=-2(x-2)2+4交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，其顶点为C,

将抛物线沿x轴向左平移m(ni>0)个单位，点B、C平移后的对应点为I)、E,且两抛物线在x轴

的上方交于点P,连接PA、PD.

(1)判断4PAD能否为直角三角形？若能，求m的值：若不能，说明理由；

(2)若点F在射线CE上，当以A、C、F为顶点的三角形与APAD相似时，求m的值.

【答案】(1)ZiPAD不能成为直角三角形(2)m=3

4

则-

9-

解得x=-1或5,

AA(-I,0),B(5,0),C(2,4),

如图1中，过点P作PQ_LAD于Q,根据对称性可知PA=PD,

•••△PAD是等腰三角形，

4—m

设D(5-m,0),则Q(——,0)，

2

.nJ-m12”、

••P(-------,—+4)，

29

若ZkPAD是直角三角形，则ZkPAD是等腰直角三角形，ZAPD=90°,

，AD=2PQ,

:.(5-in)+1=2(--m2+4)，

9

整理得2m2-9m-18=0,

解得m=6或m=--,

2

Vni>0,

m=6,

当m=6时，P(-1,0)与点A重合，故舍弃.

•••△PAD不能成为直角三角形.

(2)由(1)可知，ZkPAD是等腰三角形，连接AC,则NCADVNPAD=/PDA,

VCEZ/AD,

,ZFCA=ZCAD<ZPAD=ZPDA,

・••以A、C、F为顶点的三角形与APAD相似，只存在ACAFS^PAD这种情形，

.CAPA,

•・---=-----=I，

CbBD

ACA=CF,

如图2中，过点C作CM_Lx轴于点M,则点M(2,0),

,AC=AM2+CM2=5，

，CF=5,

・・・F(-3,4),

过点A作ANJ_CF于点N,则点N(-1,0).

过点A作AG_LPD于点G,则NAPG:NACN,

CN4

tanNAPG=tanZACN=-----=—>

AN3

设PG=3x,则AG=4x,

AAP=7AG2+PG2=5X,

DG=5x-3x=2x,

JAD=\IDG2+AG2=2逐x,

丁;・AD・PQ=；・PD・AG,

APQ=2x/5x=AD,

m2+4=5-m+1,

9

整理得m2-9m+18=0,

解得m=3或m=6.

当m=6时，P(-1,0)与点A重合，故舍弃,

/.m=3.

例1.1.4如图，已知经过点D（2,-6）的抛物线丫=巴（x+1）（x-3）（m为常数，且m>0）与

3

x轴交于点A,B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C.

备用图

(1)填空：m的值为，点A的坐标为.

(2)连接AD,射线AF在x羯的上方且满足NBAF二/BAD,过点D作x轴的垂线交射线AF于点

E.动点M,N分别在射线AB,AF上,求ME+MN的最小值.

(3)1是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作1的垂线，垂足为点G.请探究:

是否存在点P，使得以P，G,A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存

在，说明理由.

【答案】(1)石；(-1,0)(2)3(3)(0,■由)、(2,・石)、(4,幽)或(6,

3

773).

【解析】(1)・・・点口(2,-应)在抛物线y='(x+1)(x-3)(m为常数，且m>0)的图象

3

上，

・•・-=-(2+1)(2-3),

3

解得：m=6，

J抛物线的解析式为y=^(x+l)(x-3).

令抛物线产立(x+l)(x-3)中产0,则有立(x+l)(x-3)=0,

解得：Xl=-1,X2=3.

•・•点A位于点B的左侧，

AA(-1,0),B(3,0).

故答案为：出：(-1.0).

(2)过点D作DN_LAF于点N,交x轴于点M,连接ME,此时ME+MN=DN最小，如图1所示.

•・,点D(2,-次)，ZBAF=ZBAD,

・••点D、E关于x轴对称，

.,•点E(2,出)，

•・,点A(-1,0),

・・・AE=-2y+(0-柯=2应,DE=2收

***SAADE=—DE*(XD-XA)=-AE»DH,

22

，DH=3,

・・・ME+MN的最小值为3.

(3)假设存在.如图2所示.

图2

VA(-1,0),B(3,0),D(2,-6),

AB=4,AD=2而，BD=2,

•••△ABD为1：73：2的直角三角形.

•・•以P,G,A为顶点的三角形与AABD相似,

.\ZPGA=ZADB=90°,

生血竺

*或

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••

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点石

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