2025-2026年江苏省人教版高中数学高二年级第10单元函数图像与性质同步练习题

2025-2026年江苏省人教版高中数学高二年级第10单元函数图像与性质同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=sin(x+π/3)，下列关于其图像的说法正确的是（）A．图像关于直线x=π/6对称B．图像关于点(π/3,0)中心对称C．图像向左平移π/3个单位后与y=x对称D．图像向右平移π/3个单位后与y=sin(x)相同解析：f(x)=sin(x+π/3)的图像是y=sin(x)向左平移π/3个单位得到的，因此选项D正确。选项A错误，因为y=sin(x)的对称轴是x=kπ+π/2，平移后对称轴变为x=kπ+π/6；选项B错误，因为中心对称点应为(π/3,±1)；选项C错误，平移π/3个单位后得到y=sin(x+2π/3)，与y=x不构成对称关系。2.函数g(x)=|cos(2x-π/4)|的图像与x轴的交点个数为（）A．4B．6C．8D．10解析：令g(x)=0，即|cos(2x-π/4)|=0，可得cos(2x-π/4)=0，解得2x-π/4=kπ+π/2，即x=kπ/2+3π/8(k∈Z)。在[0,2π]区间内，k取0,1,2,3,4，共5个解，每个解对应两个交点（正负号不同），故交点个数为10个。3.函数h(x)=√(1-x^2)在[-1,1]上的反函数为（）A．y=cos(x)B．y=-cos(x)C．y=arccos(x)D．y=-arccos(x)解析：h(x)=√(1-x^2)是单位圆上半部分的函数，其反函数为下半圆的对应关系，即y=-√(1-x^2)，反函数为y=-arccos(x)。选项A和B是单位圆上半部分，选项C是上半圆的反正弦形式。4.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,∞)D．(0,1)∪(1,2)解析：令t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在(1,3)上t单调递增，且t>0。若f(x)单调递增，则需log_a(t)单调递增，即a>1。又因为a≠1，故a>1。选项C正确。5.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于（）对称A．x轴B．y轴C．原点D．直线x=π/4解析：f(x)=tan(π/4-x)=-tan(x-π/4)，图像是y=tan(x-π/4)的对称变换。tan函数图像关于原点对称，故f(x)图像关于原点对称。6.函数g(x)=sin|x|+cos|x|的值域为（）A．[-√2,√2]B．[-2,√2]C．[0,√2]D．[-√2,2]解析：令t=|x|，则g(t)=sin(t)+cos(t)=√2sin(t+π/4)，值域为[-√2,√2]。由于t≥0，故g(x)的值域为[-√2,√2]。7.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0，得x=-1,1。f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点，极值点个数为2个。8.函数y=2^x与y=1-x在坐标平面上的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：联立方程2^x=1-x，构造函数f(x)=2^x+x-1，f(0)=0，f(1)=2>0，f(-1)=1/2-1<0，f(-2)=1/4-1<0。f(x)在(-∞,-1)单调递减，在(-1,0)单调递增，且f(-1)<0，f(0)=0，故有唯一解。9.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向右平移π/ω个单位后与y轴对称，则φ的取值可能为（）A．π/2B．π/4C．3π/4D．π/6解析：平移后f(x)=sin[ω(x-π/ω)+φ]=sin(ωx+φ-π)，需满足φ-π=kπ+π/2(k∈Z)，即φ=kπ+3π/2。当k=0时，φ=3π/2，不在选项中；当k=-1时，φ=-π/2，不在选项中；当k=-2时，φ=-3π/2，即φ=π/2。选项A正确。10.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像是（）A．一条折线B．一个圆C．一条射线D．一条直线解析：f(x)=|x-1|+|x+1|分段为：x<-1时，f(x)=-2x；-1≤x≤1时，f(x)=2；x>1时，f(x)=2x。图像是过点(-1,2)、(1,2)的折线。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=cos(2x+π/3)的最小正周期为________。参考答案：π解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。2.函数g(x)=√(x^2+1)-x的值域为________。参考答案：[0,1]解析：令t=x^2+1≥1，则g(t)=√t-t，在t≥1上单调递减，且g(1)=0，g(∞)→-∞，值域为[0,1]。3.函数f(x)=sin(x+π/6)cos(x+π/6)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：f(x)=1/2sin(2x+π/3)，周期T=2π/2=π。但需注意sin函数的周期为2π，故最小正周期为2π。4.函数h(x)=log_1/2(x^2-3x+2)的定义域为________。参考答案：(0,1)∪(2,+∞)解析：x^2-3x+2>0，解得x<1或x>2。5.函数y=2^x与y=3^x的图像在(0,1)区间内的交点个数为________。参考答案：1解析：令f(x)=2^x-3^x，f(0)=0，f(1)=-1/3，f(x)在(0,1)单调递减，故有唯一解。6.函数f(x)=tan(π/3-x)的图像关于________对称。参考答案：直线x=π/3解析：tan函数图像关于垂直平分线对称，即x=π/3。7.函数g(x)=|sin(x)|的图像的对称轴方程为________。参考答案：x=kπ+π/2(k∈Z)解析：|sin(x)|图像的对称轴是sin(x)=0的解，即x=kπ+π/2。8.函数f(x)=sin^2(x)+cos^2(x)的图像是________。参考答案：直线y=1解析：由三角恒等式sin^2(x)+cos^2(x)=1，图像为y=1的水平直线。9.函数h(x)=√(x^2-4x+4)的值域为________。参考答案：[0,2]解析：h(x)=√(x-2)^2，值域为[0,2]。10.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围是________。参考答案：(2,∞)解析：见第4题解析。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x+π/2)的图像与y=sin(x)的图像完全相同。（×）解析：f(x)=cos(x)，是y=sin(x)向左平移π/2个单位得到的，图像不同。2.函数g(x)=tan(x)的图像关于原点对称。（√）解析：tan函数是奇函数，图像关于原点对称。3.函数h(x)=|x|在(-1,1)上单调递增。（√）解析：|x|在(-1,0)单调递减，在(0,1)单调递增，但(-1,1)整体上不单调。4.函数f(x)=log_2(x+1)的图像是y=log_2(x)的图像向左平移1个单位得到的。（√）解析：由对数函数性质可知正确。5.函数g(x)=sin(2x)的图像的对称中心是(π/4,0)。（×）解析：对称中心是(π/4+kπ/2,0)，k∈Z。6.函数h(x)=cos(x)在(0,π)上单调递减。（√）解析：cos(x)在(0,π)单调递减。7.函数f(x)=x^3在R上单调递增。（√）解析：f'(x)=3x^2≥0，且f'(x)=0的点不改变单调性，故单调递增。8.函数g(x)=log_a(x^2-1)在(1,2)上单调递增，则a>1。（√）解析：对数函数单调性由底数决定，a>1时单调递增。9.函数h(x)=sin(x)+cos(x)的值域为[-√2,√2]。（√）解析：h(x)=√2sin(x+π/4)，值域为[-√2,√2]。10.函数f(x)=tan(x)的图像与y=x的图像有无数个交点。（√）解析：tan(x)=x的解为x=kπ+π/4(k∈Z)，有无数个交点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程。参考答案：周期：T=2π/2=π；单调递增区间：kπ-π/8<x<kπ+3π/8(k∈Z)；对称轴：x=kπ+π/8(k∈Z)。2.求函数g(x)=|x^2-2x|的图像与x轴的交点坐标。参考答案：令g(x)=0，即|x^2-2x|=0，得x=0或x=2，交点为(0,0)、(2,0)。3.求函数h(x)=log_3(x^2-3x+2)的定义域。参考答案：x^2-3x+2>0，解得x<1或x>2，定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。4.求函数f(x)=tan(π/3-x)的图像的对称中心。参考答案：对称中心为(x,y)，需满足f(x)+f(2π/3-x)=0，解得x=π/3，y=0，对称中心为(π/3,0)。5.求函数g(x)=sin|x|的奇偶性。参考答案：g(x)是偶函数，因为g(-x)=sin|-x|=sin|x|=g(x)。6.求函数h(x)=cos(2x+π/3)的图像的对称轴方程。参考答案：对称轴为2x+π/3=kπ+π/2，即x=kπ/2-π/6(k∈Z)。7.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。参考答案：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得x=1±√3/3。f''(1-√3/3)>0，f''(1+√3/3)<0，故x=1-√3/3为极小值点，x=1+√3/3为极大值点。8.求函数g(x)=log_2(x+1)的图像的对称中心。参考答案：令f(x)=log_2(x+1)，f(-x)+f(2-x)=0，解得x=0，y=f(1)=1，对称中心为(0,1)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，若其图像向右平移π/ω个单位后与y轴对称，求φ的取值。解：平移后f(x)=sin[ω(x-π/ω)+φ]=sin(ωx+φ-π)，需满足φ-π=kπ+π/2，即φ=kπ+3π/2。2.已知函数g(x)=|cos(x)|，求其单调递增区间。解：|cos(x)|在[kπ-π/2,kπ+π/2]上单调递减，在[kπ+π/2,(k+1)π-π/2]上单调递增，k∈Z。3.已知函数h(x)=log_a(x^2-2x+3)，若其在(1,3)上单调递增，求a的取值范围。解：令t=x^2-2x+3，在(1,3)上t单调递增，且t>0。若h(x)单调递增，则需log_a(t)单调递增，即a>1。故a>1。4.已知函数f(x)=tan(π/4-x)，求其图像的对称中心。解：令f(x)+f(π/2-x)=0，解得x=π/4，y=f(π/4)=1，对称中心为(π/4,1)。5.已知函数g(x)=sin|x|+cos|x|，求其值域。解：g(x)=√2sin(x+π/4)，值域为[-√2,√2]。6.已知函数h(x)=x^3-3x^2+2x，求其极值。解：h'(x)=3x^2-6x+2，令h'(x)=0，得x=1±√3/3。h(1-√3/3)=2√3/3-5/3，h(1+√3/3)=-2√3/3+5/3，极大值为2√3/3-5/3，极小值为-2√3/3+5/3。7.已知函数f(x)=log_2(x+1)，求其图像的对称中心。解：令f(x)+f(2-x)=0，解得x=0，y=f(1)=1，对称中心为(0,1)。8.已知函数g(x)=|x-1|+|x+1|，求其图像的对称轴方程。解：g(x)是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴为x=0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.C3.D4.C5.C6.A7.C8.B9.A10.A二、填空题1.π2.[0,1]3.2π4.(0,1)∪(2,+∞)5.12.直线x=π/37.x=kπ+π/2(k∈Z)8.直线y=13.[0,2]10.(2,∞)三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.周期π，单调递增区间kπ-π/8<x<kπ+3π/8，对称轴x=kπ+π/82.交点(0,0)、(2,0)3.定义域(-∞,1)∪(2,+∞)4.对称中心(π/3,0)5.偶函数6.对称轴x=kπ/2-π/67.极大值点x=1+√3/3，极小值点x=1-√3/38.对称中心(0,1)五、应用题1.φ=kπ+3π/2(k∈Z)2.单调递增区间[kπ+π/2,(k+1)π-π/2]3.a>14.对称中心(π/4,1)5.值域[-√2,√2]6.极大值2√3/3-5/3，极小值-2√3/3+5/37.对称中心(0,1)8.对称轴x=0【解析】一、单项选择题1.平移变换性质，D正确；A错误，对称轴应为x=kπ+π/6；B错误，中心对称点为(π/3,±1)；C错误，平移π/3个单位后与y=x不构成对称关系。2.绝对值函数图像性质，|cos(2x-π/4)|=0等价于cos(2x-π/4)=0，解得2x-π/4=kπ+π/2，x=kπ/2+3π/8，在[0,2π]区间有5个解，每个解对应两个交点，共10个交点。3.反函数求解，h(x)=√(1-x^2)是单位圆上半部分，反函数为下半圆对应关系，即y=-√(1-x^2)，反函数为y=-arccos(x)。4.对数函数单调性，t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,3)上单调递增，且t>0。若f(x)单调递增，则需log_a(t)单调递增，即a>1。故a>1。5.三角函数对称性，tan(π/4-x)=-tan(x-π/4)，图像是y=tan(x-π/4)的对称变换，tan函数图像关于原点对称，故f(x)图像关于原点对称。二、填空题1.周期公式T=2π/|ω|=2π/2=π。2.绝对值函数性质，令t=x^2+1≥1，则g(t)=√t-t，在t≥1上单调递减，且g(1)=0，g(∞)→-∞，值域为[0,1]。3.三角函数恒等变形，f(x)=1/2sin(2x+π/3)，周期T=2π/2=π。但需注意sin函数的周期为2π，故最小正周期为2π。4.对数函数定义域，x^2-3x+2>0，解得x<1或x>2。5.指数函数比较，令f(x)=2^x-3^x，f(0)=0，f(1)=-1/3，f(x)在(0,1)单调递减，故有唯一解。6.三角函数对称性，tan(π/3-x)图像的对称轴是垂直平分线，即x=π/3。7.绝对值函数对称性，|sin(x)|图像的对称轴是sin(x)=0的解，即x=kπ+π/2。8.三角恒等式，sin^2(x)+cos^2(x)=1，图像为y=1的水平直线。9.绝对值函数性质，h(x)=√(x^2-4x+4)=√(x-2)^2，值域为[0,2]。10.对数函数单调性，见第4题解析。三、判断题1.×，f(x)=cos(x)，是y=sin(x)向左平移π/2个单位得到的，图像不同。2.√，tan函数是奇函数，图像关于原点对称。3.×，|x|在(-1,0)单调递减，在(0,1)单调递增，但(-1,1)整体上不单调。4.√，由对数函数性质可知正确。5.×，对称中心是(π/4+kπ/2,0)，k∈Z。6.√，cos(x)在(0,π)单调递减。7.√，f'(x)=3x^2≥0，且f'(x)=0的点不改变单调性，故单调递增。8.√，对数函数单调性由底数决定，a>1时单调递增。9.√，h(x)=√2sin(x+π/4)，值域为[-√2,√2]。10.√，tan(x)=x的解为x=kπ+π/4(k∈Z)，有无数个交点。四、简答题1.周期：T=2π/|ω|=2π/2=π；单调递增区间：kπ-π/8<x<kπ+3π/8(k∈Z)；对称轴：x=kπ+π/8(k∈Z)。2.交点：令g(x)=0，即|x^2-2x|=0，得x=0或x=2，交点为(0,0)、(2,0)。3.定义域：x^2-3x+2>0，解得x<1或x>2，定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。4.对称中心：