2025-2026年考研数学一线性代数二次型与二次方程组测试题

2025-2026年考研数学一线性代数二次型与二次方程组测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。）1.设矩阵A为三阶实对称矩阵，且满足A²-3A+2E=O，其中E为三阶单位矩阵。若矩阵A的特征值中有两个为1，则矩阵A的秩为（）。A.1B.2C.3D.无法确定解析：根据矩阵特征多项式f(λ)=det(λE-A)=(λ-1)²(λ-2)，可知矩阵A的特征值为1（重根）、2。由于矩阵A为实对称矩阵，其特征值必为实数且能对角化。根据秩的定义，矩阵的秩等于其非零特征值的个数。当特征值为1（重根）时，若A可逆，则秩为3；若A不可逆，则秩为2。由A²-3A+2E=O可得(A-2E)(A-E)=O，若A可逆，则A-2E与A-E均可逆，矛盾。因此A不可逆，秩为2。2.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃在正交变换下可化为标准形f=y₁²+3y₂²+7y₃²，则实数a的值为（）。A.-1B.1C.3D.5解析：二次型f对应的矩阵为A=[[1,1,2],[1,2,a],[2,a,0]]。由题意，矩阵A与[[1,0,0],[0,3,0],[0,0,7]]合同，因此|A|=|[[1,0,0],[0,3,0],[0,0,7]]|=21。计算|A|=1×(2a-2)-1×(a-4)+2×(2-4)=2a-2-a+4-4=a-2，解得a=23。但需注意，题目给定标准形为y₁²+3y₂²+7y₃²，对应特征值为1,3,7，因此a=5。3.设向量组α₁=[1,0,1,0]，α₂=[0,1,0,1]，α₃=[1,1,1,1]，α₄=[0,0,1,1]，则该向量组的秩为（）。A.1B.2C.3D.4解析：将向量组写成矩阵形式B=[[1,0,1,0],[0,1,1,0],[1,0,1,1],[0,1,1,1]]，通过行变换化为阶梯形：[[1,0,1,0],[0,1,1,0],[0,0,0,1],[0,0,0,0]]，非零行数为3，故秩为3。4.已知线性方程组Ax=b的增广矩阵通过行变换化为[[1,2,3,4],[0,1,2,3],[0,0,0,1]]，则该方程组的解的情况为（）。A.无解B.唯一解C.无穷多解D.不能确定解析：增广矩阵的秩为3，系数矩阵的秩为2，由于增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，根据有解判定定理，该方程组无解。5.设二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵为A=[[2,1,1],[1,2,1],[1,1,3]]，则该二次型的正惯性指数为（）。A.0B.1C.2D.3解析：计算矩阵A的特征值：det(λE-A)=(λ-1)(λ-4)(λ-2)=0，特征值为1,4,2。正特征值个数为3，故正惯性指数为3。6.设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，且向量β₁=α₁+α₂，β₂=α₂+α₃，β₃=α₃+α₁，则向量组β₁,β₂,β₃的秩为（）。A.1B.2C.3D.无法确定解析：构造矩阵B=[[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]]，计算det(B)=1×(1×1-1×0)-1×(0×1-1×1)+0×(0×0-1×1)=1+1=2≠0，故β₁,β₂,β₃线性无关，秩为3。7.已知矩阵A=[[a,b],[c,d]]满足A²=E，其中E为2阶单位矩阵，且a+d=0，则矩阵A的逆矩阵A⁻¹为（）。A.[[a,-b],[c,-d]]B.[[-a,b],[-c,d]]C.[[1,0],[0,1]]D.[[-1,0],[0,-1]]解析：由A²=E可得A⁻¹=A。又由a+d=0，若A可逆，则det(A)=ad-bc=1，解得b=c=0，a=±1。当a=1时，A=[[-1,0],[0,-1]]；当a=-1时，A=[[1,0],[0,1]]。由于题目未指明a的正负，故A⁻¹=A。8.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃在正交变换下可化为标准形f=2y₁²+y₂²-4y₃²，则实数a,b的值分别为（）。A.a=1,b=2B.a=2,b=1C.a=-1,b=-2D.a=-2,b=-1解析：二次型对应的矩阵A=[[1,1,1],[1,a,1],[1,1,b]]，标准形对应的矩阵B=[[2,0,0],[0,1,0],[0,0,-4]]。由A与B合同，且|A|=|B|=-8，解得a=2,b=1。9.已知线性方程组Ax=0的基础解系为x₁=[1,0,1,0]，x₂=[0,1,0,1]，则该方程组的系数矩阵A的秩为（）。A.1B.2C.3D.4解析：基础解系含2个线性无关解向量，故解空间的维数为2。根据秩-零度定理，系数矩阵的秩为4-2=2。10.设二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,2,1],[1,1,3]]，则该二次型的负惯性指数为（）。A.0B.1C.2D.3解析：计算矩阵A的特征值：det(λE-A)=(λ-1)(λ-4)(λ-2)=0，特征值为1,4,2。负特征值个数为0，故负惯性指数为0。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置。）1.若向量组α₁=[1,1,1]，α₂=[1,2,3]，α₃=[1,k,4]线性相关，则实数k的值为________。参考答案：2解析：向量组线性相关当且仅当其行列式为0。计算det([[1,1,1],[1,2,3],[1,k,4]])=1×(2×4-3×k)-1×(1×4-3×1)+1×(1×3-2×1)=8-3k-4+3+3-2=10-3k，解得k=2。2.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，矩阵B=[[a,b],[c,d]]满足AB=BA，则实数a,b,c,d的值分别为________。参考答案：a=5,b=6,c=3,d=4解析：计算AB=[[1,2],[3,4]][[a,b],[c,d]]=[[a+2c,b+2d],[3a+4c,3b+4d]]，BA=[[a,b],[c,d]][[1,2],[3,4]]=[[a+3b,2a+4b],[c+3d,2c+4d]]。由AB=BA可得a+2c=a+3b，b+2d=2a+4b，3a+4c=3b+4d，3b+4d=2c+4d。解得a=5,b=6,c=3,d=4。3.若线性方程组Ax=b有解，且系数矩阵A的秩为2，增广矩阵的秩为3，则该方程组的解的情况为________。参考答案：无解解析：根据有解判定定理，增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时方程组无解。由于秩(A)=2，秩(增广矩阵)=3，故方程组无解。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃在正交变换下可化为标准形f=y₁²+2y₂²+5y₃²，则实数a,b的值分别为________。参考答案：a=1,b=2解析：二次型对应的矩阵A=[[1,a,1],[a,1,b],[1,b,1]]，标准形对应的矩阵B=[[1,0,0],[0,2,0],[0,0,5]]。由A与B合同，且|A|=|B|=10，解得a=1,b=2。5.已知向量组α₁=[1,0,1]，α₂=[0,1,1]，α₃=[1,1,k]线性无关，则实数k的取值范围为________。参考答案：k∈R且k≠1解析：向量组线性无关当且仅当其行列式不为0。计算det([[1,0,1],[0,1,1],[1,1,k]])=1×(1×k-1×1)-0+1×(0-1)=k-1-1=k-2，解得k≠2。又由α₁,α₂线性无关，k≠1。6.设矩阵A=[[1,1,1],[1,2,1],[1,1,3]]，则矩阵A的逆矩阵A⁻¹为________。参考答案：[[1/2,-1/2,-1/4],[-1/2,1/2,1/4],[0,0,1/4]]解析：计算det(A)=1×(2×3-1×1)-1×(1×3-1×1)+1×(1×1-2×1)=6-2-1=3。伴随矩阵为[[5,-2,-1],[-2,2,0],[-1,0,1]]，故A⁻¹=(1/3)×[[5,-2,-1],[-2,2,0],[-1,0,1]]。7.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃在正交变换下可化为标准形f=y₁²+3y₂²+7y₃²，则实数a,b的值分别为________。参考答案：a=1,b=3解析：二次型对应的矩阵A=[[1,a,1],[a,1,b],[1,b,1]]，标准形对应的矩阵B=[[1,0,0],[0,3,0],[0,0,7]]。由A与B合同，且|A|=|B|=21，解得a=1,b=3。8.已知线性方程组Ax=0的基础解系为x₁=[1,0,1,0]，x₂=[0,1,0,1]，则该方程组的系数矩阵A的秩为________。参考答案：2解析：基础解系含2个线性无关解向量，故解空间的维数为2。根据秩-零度定理，系数矩阵的秩为4-2=2。9.设向量组α₁=[1,1,1]，α₂=[1,2,3]，α₃=[1,3,k]线性相关，则实数k的值为________。参考答案：2解析：向量组线性相关当且仅当其行列式为0。计算det([[1,1,1],[1,2,3],[1,3,k]])=1×(2×k-3×3)-1×(1×k-3×1)+1×(1×3-2×1)=2k-9-k+3+3-2=k-5，解得k=2。10.设二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,2,1],[1,1,3]]，则该二次型的正惯性指数为________。参考答案：3解析：计算矩阵A的特征值：det(λE-A)=(λ-1)(λ-4)(λ-2)=0，特征值为1,4,2。正特征值个数为3，故正惯性指数为3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将判断结果填在答题卡相应位置。正确的填"√"，错误的填"×"。）1.若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁也线性无关。（）参考答案：√解析：构造矩阵B=[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]，计算det(B)=1×(1×1-0×1)-0+1×(1×1-1×0)=1+1=2≠0，故向量组线性无关。2.若矩阵A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A也可逆。（）参考答案：√解析：若A可逆，则det(A)≠0，而A=det(A)A⁻¹，故A也可逆。3.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值均为正，则该二次型的正惯性指数为3。（）参考答案：√解析：正惯性指数等于正特征值的个数，若所有特征值均为正，则正惯性指数为3。4.若线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。（）参考答案：×解析：有解时，增广矩阵的秩可以大于系数矩阵的秩，只有当解唯一时才相等。5.若向量组α₁,α₂,α₃线性相关，则向量组α₁,α₂,α₃中任意两个向量都线性相关。（）参考答案：×解析：向量组线性相关只需存在非零系数使线性组合为0，不一定所有向量都两两相关。6.若矩阵A与矩阵B合同，则矩阵A与矩阵B的特征值相同。（）参考答案：×解析：合同变换不改变特征值，但相似变换才保持特征值。7.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值为1,2,3，则该二次型的负惯性指数为0。（）参考答案：√解析：负惯性指数等于负特征值的个数，若所有特征值均为正，则负惯性指数为0。8.若线性方程组Ax=0的解空间维数为2，则系数矩阵A的秩为2。（）参考答案：×解析：根据秩-零度定理，系数矩阵的秩为4-2=2。9.若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁也线性无关。（）参考答案：√解析：构造矩阵B=[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]，计算det(B)=1×(1×1-0×1)-0+1×(1×1-1×0)=1+1=2≠0，故向量组线性无关。10.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值为1,2,3，则该二次型的正惯性指数为3。（）参考答案：√解析：正惯性指数等于正特征值的个数，若所有特征值均为正，则正惯性指数为3。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡相应位置。）1.已知向量组α₁=[1,0,1]，α₂=[0,1,1]，α₃=[1,1,k]，问k为何值时该向量组线性相关？参考答案：k=2解析：向量组线性相关当且仅当其行列式为0。计算det([[1,0,1],[0,1,1],[1,1,k]])=1×(1×k-1×1)-0+1×(0-1)=k-1-1=k-2，解得k=2。2.若矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求矩阵A的逆矩阵A⁻¹。参考答案：A⁻¹=[[-2,1],[1.5,-0.5]]解析：计算det(A)=1×4-2×3=-2。伴随矩阵为[[4,-2],[-3,1]]，故A⁻¹=(-1/2)×[[4,-2],[-3,1]]=[[-2,1],[1.5,-0.5]]。3.若线性方程组Ax=b有解，且系数矩阵A的秩为2，增广矩阵的秩为3，则该方程组的解的情况为？参考答案：无解解析：根据有解判定定理，增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时方程组无解。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃在正交变换下可化为标准形f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求实数a,b的值。参考答案：a=1,b=2解析：二次型对应的矩阵A=[[1,a,1],[a,1,b],[1,b,1]]，标准形对应的矩阵B=[[1,0,0],[0,2,0],[0,0,5]]。由A与B合同，且|A|=|B|=10，解得a=1,b=2。5.已知向量组α₁=[1,0,1]，α₂=[0,1,1]，α₃=[1,1,k]线性无关，求实数k的取值范围。参考答案：k∈R且k≠2解析：向量组线性无关当且仅当其行列式不为0。计算det([[1,0,1],[0,1,1],[1,1,k]])=1×(1×k-1×1)-0+1×(0-1)=k-1-1=k-2，解得k≠2。6.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值为1,2,3，求该二次型的正惯性指数。参考答案：3解析：正惯性指数等于正特征值的个数，若所有特征值均为正，则正惯性指数为3。7.已知线性方程组Ax=0的基础解系为x₁=[1,0,1,0]，x₂=[0,1,0,1]，求该方程组的系数矩阵A的秩。参考答案：2解析：基础解系含2个线性无关解向量，故解空间的维数为2。根据秩-零度定理，系数矩阵的秩为4-2=2。8.设向量组α₁=[1,1,1]，α₂=[1,2,3]，α₃=[1,3,k]，问k为何值时该向量组线性相关？参考答案：k=2解析：向量组线性相关当且仅当其行列式为0。计算det([[1,1,1],[1,2,3],[1,3,k]])=1×(2×k-3×3)-1×(1×k-3×1)+1×(1×3-2×1)=2k-9-k+3+3-2=k-5，解得k=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡相应位置。）1.已知向量组α₁=[1,0,1]，α₂=[0,1,1]，α₃=[1,1,k]，问k为何值时该向量组线性相关？并求其一个线性组合使组合为0。参考答案：k=2时线性相关。取k=2，则向量组为[1,0,1],[0,1,1],[1,1,2]，其行列式为0。取线性组合：1×[1,0,1]+(-1)×[0,1,1]+(-1)×[1,1,2]=[0,0,0]。2.若矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求矩阵A的逆矩阵A⁻¹，并用其解方程Ax=b，其中b=[5,11]。参考答案：A⁻¹=[[-2,1],[1.5,-0.5]]。x=A⁻¹b=[[-2,1],[1.5,-0.5]]×[5,11]=[-21,6]。3.若线性方程组Ax=b有解，且系数矩阵A的秩为2，增广矩阵的秩为3，则该方程组的解的情况为？请说明理由。参考答案：无解。根据有解判定定理，增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时方程组无解。这里秩(增广矩阵)=3>秩(A)=2，故无解。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃在正交变换下可化为标准形f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求实数a,b的值。参考答案：a=1,b=2。二次型对应的矩阵A=[[1,a,1],[a,1,b],[1,b,1]]，标准形对应的矩阵B=[[1,0,0],[0,2,0],[0,0,5]]。由A与B合同，且|A|=|B|=10，解得a=1,b=2。5.已知向量组α₁=[1,0,1]，α₂=[0,1,1]，α₃=[1,1,k]线性无关，求实数k的取值范围。参考答案：k∈R且k≠2。向量组线性无关当且仅当其行列式不为0。计算det([[1,0,1],[0,1,1],[1,1,k]])=1×(1×k-1×1)-0+1×(0-1)=k-1-1=k-2，解得k≠2。6.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值为1,2,3，求该二次型的正惯性指数。参考答案：3。正惯性指数等于正特征值的个数，若所有特征值均为正，则正惯性指数为3。7.已知线性方程组Ax=0的基础解系为x₁=[1,0,1,0]，x₂=[0,1,0,1]，求该方程组的系数矩阵A的秩。参考答案：2。基础解系含2个线性无关解向量，故解空间的维数为2。根据秩-零度定理，系数矩阵的秩为4-2=2。8.设向量组α₁=[1,1,1]，α₂=[1,2,3]，α₃=[1,3,k]，问k为何值时该向量组线性相关？并求其一个线性组合使组合为0。参考答案：k=2时线性相关。取k=2，则向量组为[1,1,1],[1,2,3],[1,3,2]，其行列式为0。取线性组合：1×[1,1,1]+(-1)×[1,2,3]+(-1)×[1,3,2]=[0,0,0]。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：由A²-3A+2E=O可得(A-2E)(A-E)=O，若A可逆，则A-2E与A-E均可逆，矛盾。因此A不可逆，秩为2。2.B解析：二次型对应的矩阵A=[[1,1,1],[1,2,1],[1,1,3]]，标准形对应的矩阵B=[[1,0,0],[0,3,0],[0,0,7]]。由A与B合同，且|A|=|B|=21，解得a=1,b=3。3.C解析：将向量组写成矩阵形式B=[[1,0,1,0],[0,1,1,0],[1,1,1,1],[0,0,1,1]]，通过行变换化为阶梯形：[[1,0,1,0],[0,1,1,0],[0,0,0,1],[0,0,0,0]]，非零行数为3，故秩为3。4.A解析：增广矩阵的秩为3，系数矩阵的秩为2，由于增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，根据有解判定定理，该方程组无解。5.D解析：计算矩阵A的特征值：det(λE-A)=(λ-1)(λ-4)(λ-2)=0，特征值为1,4,2。正特征值个数为3，故正惯性指数为3。6.C解析：构造矩阵B=[[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]]，计算det(B)=1×(1×1-1×0)-1×(0×1-1×1)+0×(0×0-1×1)=1+1=2≠0，故β₁,β₂,β₃线性无关，秩为3。7.B解析：由A²=E可得A⁻¹=A。又由a+d=0，若A可逆，则det(A)=ad-bc=1，解得b=c=0，a=±1。当a=1时，A=[[-1,0],[0,-1]]；当a=-1时，A=[[1,0],[0,1]]。由于题目未指明a的正负，故A⁻¹=A。8.A解析：二次型对应的矩阵A=[[1,1,1],[1,2,1],[1,1,3]]，标准形对应的矩阵B=[[2,0,0],[0,1,0],[0,0,-4]]。由A与B合同，且|A|=|B|=-8，解得a=1,b=2。9.B解析：基础解系含2个线性无关解向量，故解空间的维数为2。根据秩-零度定理，系数矩阵的秩为4-2=2。10.A解析：计算矩阵A的特征值：det(λE-A)=(λ-1)(λ-4)(λ-2)=0，特征值为1,4,2。负特征值个数为0，故负惯性指数为0。二、填空题1.2解析：向量组线性相关当且仅当其行列式为0。计算det([[1,1,1],[1,2,3],[1,k,4]])=1×(2×4-3×k)-1×(1×4-3×1)+1×(1×3-2×1)=8-3k-4+3+3-2=10-3k，解得k=2。2.a=5,b=6,c=3,d=4解析：计算AB=[[1,2],[3,4]][[a,b],[c,d]]=[[a+2c,b+2d],[3a+4c,3b+4d]]，BA=[[a,b],[c,d]][[1,2],[3,4]]=[[a+3b,2a+4b],[c+3d,2c+4d]]。由AB=BA可得a+2c=a+3b，b+2d=2a+4b，3a+4c=3b+4d，3b+4d=2c+4d。解得a=5,b=6,c=3,d=4。3.无解解析：根据有解判定定理，增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时方程组无解。由于秩(A)=2，秩(增广矩阵)=3，故方程组无解。4.a=1,b=3解析：二次型对应的矩阵A=[[1,a,1],[a,1,b],[1,b,1]]，标准形对应的矩阵B=[[1,0,0],[0,3,0],[0,0,7]]。由A与B合同，且|A|=|B|=21，解得a=1,b=3。5.k∈R且k≠1解析：向量组线性相关当且仅当其行列式为0。计算det([[1,1,1],[1,2,3],[1,3,k]])=1×(2×k-3×3)-1×(1×k-3×1)+1×(1×3-2×1)=2k-9-k+3+3-2=k-5，解得k=5。又由α₁,α₂线性无关，k≠1。6.[[-2,1],[1.5,-0.5]]解析：计算det(A)=1×4-2×3=-2。伴随矩阵为[[4,-2],[-3,1]]，故A⁻¹=(-1/2)×[[4,-2],[-3,1]]=[[-2,1],[1.5,-0.5]]。7.无解解析：根据有解判定定理，增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时方程组无解。由于秩(A)=2，秩(增广矩阵)=3，故方程组无解。8.a=1,b=2解析：二次型对应的矩阵A=[[1,a,1],[a,1,b],[1,b,1]]，标准形对应的矩阵B=[[1,0,0],[0,2,0],[0,0,5]]。由A与B合同，且|A|=|B|=10，解得a=1,b=2。9.k=2解析：向量组线性相关当且仅当其行列式为0。计算det([[1,1,1],[1,2,3],[1,3,k]])=1×(2×k-3×3)-1×(1×k-3×1)+1×(1×3-2×1)=2k-9-k+3+3-2=k-5，解得k=5。又由α₁,α₂线性无关，k≠1。10.3解析：计算矩阵A的特征值：det(λE-A)=(λ-1)(λ-4)(λ-2)=0，特征值为1,4,2。正特征值个数为3，故正惯性指数为3。三、判断题1.√解析：构造矩阵B=[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]，计算det(B)=1×(1×1-0×1)-0+1×(1×1-1×0)=1+1=2≠0，故向量组线性无关。2.√解析：若A可逆，则det(A)≠0，而A=det(A)A⁻¹，故A也可逆。3.√解析：正惯性指数等于正特征值的个数，若所有特征值均为正，则正惯性指数为3。4.×解析：有解时，增广矩阵的秩可以大于系数矩阵的秩，只有当解唯一时才相等。5.×解析：向量组线性相关只需存在非零系数使线性组合为0，不一定所有向量都两两相关。6.×解析：合同变换不改变特征值，但相似变换才保持特征值。7.√解析：负惯性指数等于负特征值的个数，若所有特征值均为正，则负惯性指数为0。8.×解析：根据秩-零度定理，系数矩阵的秩为4-2=2。9.√解析：构造矩阵B=[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]，计算det(B)=1×(1×1-0×1)-0+1×(1×1-1×0)=1+1=2≠0，故向量组线性无关。10.√解析：正惯性指数等于正特征值的个数，若所有特征值均为正，则正惯性指数为3。四、简答题1.k=2时线性相关。取k=2，则向量组为[1,0,1],[0,1,1],[1,1,2]，其行列式为0。取线性组合：1×[1,0,1]+(-1)×[0,1,1]+(-1)×[1,1,2]=[0,0,0]。2.A⁻¹=[[-2,1],[1.5,-0.5]]。计算det(A)=1×4-2×3=-2。伴随矩阵为[[4,-2],[-3,1]]，