决策理论与方法

1决策理论与方法DecisionTheoryandTechnology2第一章

随机性决策的基本概念3一.决策与决策论的定义（ThedefinitionofDecisionandDecisionTheory）1.决策的定义

决策在英语中的表示为Decision。

Decision在《牛津词典》中的解释为：

theactofdeciding；(做决定的行动)aconclusivejudgment；(最终判断，结论性判断)theconclusionarrivedat;(得出的结论)上面的解释是Decision的本义，而在不同的地方，其定义也有所不同。§1-1引言4(1)《苏联大百科全书》

“决策是自由意志行动的必要元素……和实现自由意志行动的手段。自由意志行动要求先有目的和行动的手段,在体力动作之前完成智力行动,要考虑完成或反对这次行动理由等等，而这一智力行动以制订一项决策而告终”。

在这个定义中强调：

(a).决策是智力行动；

(b).决策是意志行动。

因此，决策与人的意志，主观愿望，价值判断有关,即：

决策因人而异，不唯一

5(2)《大英百科全书》中的解释为：

“决策”是“社会科学中用来描述人类行为选择的过程的术语”。

这一定义强调了“决策”的社会属性。(3)《哈佛管理丛书》中的解释为：

“决策是指考虑策略（或办法）来解决目前或未来问题的智力活动”。

这一定义突出了决策的目的性和目标，同时也说明了决策是智力活动。(4)《现代科学技术辞典》中的定义：

所谓决策就是在几个可能方案中作一选择。6(5)美国现代经济词典的定义：

决策指公司或政府在确定其政策或实施现行政策的有效方法时所进行的一整套活动，其中包括收集必要的事实，对某一建议作判断，分析可以达到预期目的各种可供选择的方法等等。(6)《中国大百科全书•自动控制与系统工程卷》中的定义：

“决策”是为最优地达到目标，而对若干个备选的行动方案进行的选择。7

综上所述：

决策是进行选择行动或行动的结果，并有作决策（decision－making）或制定决策的全过程的含义。它是一种具有社会属性的智力活动和意志行动，与决策人的意志、主观愿望、价值判断紧密相关，其结果不是唯一的。82.决策论的定义是用以描述决策过程并使之合理化的许多概念和方法的总和。其英文表述为DecisionTheory，这一解释源出：(1)《美国大百科全书》的“DecisionTheory”条：“……决策论则是为了对制订决策的过程进行描述并使之合理化而发展起来的范围很广的概念和方法。”

广义的决策论可以分为两种：①规范化决策论(Prescriptivedecisiontheory)

规定应当如何作决策。

②描述性的决策论(DescriptiveD.T.)

研究人们实际上是如何作决策的。9(2)《大英百科全书》的“DecisionTheory”条：

决策论是“在统计学中探讨用公式表示并求解一般决策问题的理论和方法”；(3)《中国大百科全书•自动控制与系统工程卷》中定义：

决策论是“根据系统的状态信号和评价准则选择最优策略的数学方法”；(4)决策分析

研究各种决策问题的一种系统分析方法，其目的是改进决策过程，从一系列备选方案中找出一个能够满足一定目标的合适方案。10综上所述：

决策论是一种与数学有关的理论，研究的是在有风险或不确定情况下制定决策的定量分析方法，而决策分析是人们为了达到某个目标，从一些可能的方案(途径)中进行选择的分析过程，在这个过程中要对影响决策的诸因素作逻辑判断与权衡。

11

3.常用的决策分析方法

规范性、描述性、规定性★

规范性方法规范性方法是建立在假设存在一个合乎理性的决策人的基础之上的。该决策人具有定义明确的、满足理性行为公理要求的偏好，也被称为理性选择理论。规范性方法主要是基于先验的考虑而非以试验为基础的观察。12★

描述性方法描述性方法则以试验为基础，对选择行为进行观察和研究。描述性方法主要是考察在一定的决策形式下指导决策人行为的心里因素。★规定性方法实验证据表明：人类常不能满足规范化的决策方法中对决策人合乎理性的偏好的要求。因此，规定性方法的目标就是要改进决策方法，使之符合规范性的要求。13二.决策理论的发展简史

1.人类存在即面临决策古代：田忌与齐王赛马的故事,既是对策(博弈)问题,也是僵持问题.2.决策论的产生与赌博有关

16-17世纪法国宫廷设有赌博顾问，他们是研究概率论、对策论的先驱，这是DT的先导。3.决策论从对策论中的分离

20世纪30年代以后，决策论从对策论中分离出来，其中：对策论：研究人与人之间的对抗决策论：人与非智能对手-自然界之间的关系14

几个具有里程碑意义的理论提出时间：★1738年，Bernoulli提出的效用和期望效用的概念；★1926年，Ransay在效用和主观概率的基础上提出了制定决策的理论(DecisionTheory)；★1937年，DeFinetti对主观概率的构造作出了重大的贡献；★1950年，Wald用对策论的定理解决了统计决策中的一些基本问题；15★1944年，VonNeumann和Morgenstern建立了效用的公理体系，为形成和完善不确定性条件下制定决策的效用理论奠定了坚实的理论基础；★1954年，Blackwell和Girshick把主观概率和效用理论结合起来，给出了一个求解统计决策问题的完整过程；★同年，Savage建立了具有理论体系并形成具有严格哲学基础和公理框架的统计决策理论；16★20世纪60年代以后，出现了面向实际应用的决策理论和方法，如实用统计决策方法(Raiffiaetal.,1961；Prattetal.1965)和最优化统计决策方法(Degroot,1970)；★Howard在1966年采用了“决策分析”一词，并把系统分析方法引入统计决策理论，从理论和应用两个方面推动了决策理论的发展。

在理论体系形成以后，由于其在具有不确定性和数学结构良好的随机试验样本的决策问题中的应用，形成了以贝叶斯(Bayesian)分析为基础的统计决策理论。17

从决策理论内容的发展上看，近半个世纪以来，决策论的大部分内容与规范性决策论有关：★由于经济学家、数学家以及系统科学家的努力，决策分析日益广泛地用于商业、经济、实用统计、法律、医学、政治等各方面；★而行为科学家对描述性决策和效用的测度兴趣日增，排序、分等级、有界区间的度量技术等因此而获得发展；★二次大战开始后发展起来的运筹学作为决策论的概念、方案的优化、统计决策理论、决策方法的坚实基础，使决策理论成为运筹学中的一个分支；18★近年来，决策分析已经成了工业、商业、政府部门制订决策所使用的一种重要方法。一些规范性的决策方法，如成本效益分析、资源分配法、计划评审技术(PERT)，关键路径法(CPM)等应用日广。多目标问题的研究逐步深入，方法层出不穷；★计算机的飞速发展与普及+决策理论的进展

信息处理、数据存贮与检索手段的进步(程序化决策方法能解决的问题日益增加,非程序化决策方法研究深入)19

统计数据、研究资料迅速更新(决策矩阵的迅速更新)+决策模型的日臻完善+人工智能的发展、知识库的形成

根据新信息及时(自动)修政策略成为可能

自动决策以及决策支持系统的产生★模糊决策、序贯决策、群决策和组织决策及其支持系统等新的研究领域不断出现决策理论和方法至今仍然是生机勃勃，不断发展着的研究领域。20三、地位(与其他学科的关系)1.是运筹学的一支

—二次大战开始后发展起来的运筹学作为决策论的概念，方案的优化、统计决策理论、决策方法的坚实基础，使决策理论成为运筹学中的一支

—

中国数学会

运筹学会

决策理论和方法专业委员会—IFORS（InternationalFederationofOperationalResearchSocieties国际运筹学学会联合会）下设对策与决策组

—EuropeanJournalofOperationalResearch,OperationsResearch等杂志中有大量决策方面的文章、专集212.控制论的延伸—

学科：信息科学部三处

系统科学与系统工程->评价理论、决策理论

系统科学与方法->系统分析与集成—

哈佛应用科学系：控制与决策组—

斯坦佛大学设“决策分析研究所”—

用控制论的方法研究决策，把反馈，灵敏度分析,系统分析等方法引入决策过程

决策分析—

许多学者由控制论

系统分析

决策：张钟俊，陈珽，王众托,刘豹,汪应洛，车宏安，顾基发等22

3.管理科学的重要组成部分—

学科:管理科学部G管理科学与工程01决策理论03—

决策论的许多重要著作的作者是经济或管理科学方面的教授,如Simon，BuchananArrow,Savage,Keeny,其中前三个是诺贝尔经济学奖得主；—

图书目录的编排：决策(尤其多目标)属管理科学类，中、美均如此；—ManagementScience中有大量决策方面的文章、专集234.系统工程中的重要部分

—系统是单元的集合，这些单元以整体结合的形式（系统）完成某种目的。对系统的研究包括：规定概念、确定系统、获取并运行系统。而确定系统即系统分析(设计、评价)是核心,决策论为系统分析提供方法。（系统分析侧重客观的分析判断，决策分析强调价值判断与偏好分析）

—<Systems,Cybernetics&Men>中有决策方面的文章和专集。245.是社会科学与自然科学的交叉，典型的软科学—自然科学研究客观世界，事实元素，以定量为主；—社会科学研究人际关系，价值元素，以定性为主。—软科学用定量方法研究价值元素，即社会科学的定量化研究。25

6.

各类研究人员的研究内容各有侧重—

哲学家(Philosopher)：人如何决定什么是有价值的；—

行政管理人员(Administrator)：人们如何使一个组织为其目标服务；—

经济学家(Economics)：人如何在不同方案中决择使之自己尽量得到满足；—

心理学家(Psychologist)：何为满足?人如何动脑筋解决问题；—

数学家(Mathematician)：提供各种数学模型帮助解决这些问题；—

至于决策的程序化、民主化则是政治问题。26一、按容易区分的因素划分

单人决策,多人决策单目标决策,多目标决策单步决策,多步(序贯)决策确定性决策,不确定性决策风险型决策,模糊决策§1-2决策问题的分类

分类是使事物(研究对象)条理化的方法。将试图解决的问题，尽可能按你便于解决的需要细分为许多问题──R.Descarles(1596-1650)27二、按涉及面的宽窄

战略决策管理(战术)决策日常事务决策决策权集中集中与分散结合分散信息不全较全完全问题结构不良一般良好风险大一般小组织复杂一般简单程序复杂一般简单目标数多中等少时限长期中期短期28三、个人事务决策与公务决策★西方国家的资本私有制企业的决策属于个人事务决策（我国的私营企业中的决策同样）。决策强调决策人的价值观：对决策人的判断、意见、感觉进行量化，由此进行合乎逻辑的分析、推理，再作决策；★我国的行政部门、企业领导的决策是公务决策。应强调客观性和理性化，由群众、集体进行价值判断；29四、决策人与决策分析人的角色分化

由于决策问题的复杂性、利益冲突、信息不全、资源有限、环境复杂等等，我们首先要对决策人和决策分析人做一个界定。微观经济学和决策论假定：制定决策的决策人是经济人。所谓经济人是指行为合乎理性的人。行为合乎理性：（1）有经济头脑，知道自己的目标和如何达到该目标；（2）通晓自然科学，至少精通运筹学；（3）对决策环境十分了解，有很强的判断能力和稳定的选择能力；（4）能按照最经济、最有效的方式分配有限的资源去获得最大的经济利益。

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而实际上这样的决策人是很难找到的，建立复杂决策问题的适当的数学模型并用现代化的科学手段求解要有专门的知识和技巧，一般的决策人是做不到这一点的。

这样就形成了决策人和决策分析人这样两个群体，一般来说，决策是由决策人和决策分析人共同完成的。★由具有丰富实际经验和卓越领导与管理才能的决策人对环境(形势)进行分析、对后果作价值判断；★由决策分析人运用决策论和系统、科学的方法进行分析、推理、为决策人制订正确决策提供合理的依据，使决策人更好地达到预期目标。31§1-3随机性决策问题一、随机性决策问题的特点

在随机性决策问题中，主要存在的问题是不确定性。也就是说人们在各种可能的行动中做选择，但是有些因素是决策人无法控制的。这些决策人无法控制的因素，统称为自然状态。例：1.购买火灾保险问题

2.晴雨未卜，出门带伞问题

3.库存问题：易腐品进货(售量)

报贩进货(天气、报纸内容)4.投资问题：油井钻探

5.市场销售：改进包装(成本与销路)

例1：火灾保险问题。

一个商店的负责人考虑是否购买火灾保险。在保险期内，商店可能遇上火灾，设商店在保险期内发生的可能性为p，也可能不发生火灾(可能性是1-p)；买火灾保险要花一笔保险费，通常保险费是资产总额G的一定比率r，不买保险则一旦发生火灾损失就太大了。其问题可简化如表1-1。

表1-1火灾保险问题32例2：出门带伞问题。

晴雨未卜，出门是否带伞。

如果不下雨，带伞是个累赘；如果下雨，带伞可以防止挨淋，不带伞就要淋雨.该问题可简化表示为表1-2。

33表1-2出门带伞问题例6：参见（Savage,1972）所举的例子（鸡蛋放久了总会有坏的）。

某人回到家时，他的妻子已经打了5个鸡蛋放在碗里。由于某种原因要丈夫来做炒鸡蛋，还没有打破的第六个鸡蛋还放在碗旁；他要么把第六个蛋加进去，做成六个蛋的炒蛋，或者把第六个蛋扔掉。这时他要决定怎么办。对此可以先作些简化，简化后，他面临三种选择：

把第六个蛋打破放进已经盛有5个蛋的碗里；

把蛋打破放到碟子里观察一下；

不管鸡蛋是好是坏，把它扔掉。

这三个行动的相应后果与鸡蛋的状态有关，见表1-3。3435表1-3炒鸡蛋问题因此，随机性决策具有如下的特点：★决策人面临选择、可以采取的行动（或方案）不是唯一的；★自然状态的不确定性→后果不确定★后果的价值待定36

37

38

3940

41§1-4随机性决策问题的分析方法和步骤一、决策树决策树是方便又直观的描述随机性决策问题的方法，前面举例中的决策问题都可以用决策树来表示。决策树中包括决策点、机会点、后果点以及决策枝和机会枝，后果值。其表述方法见图1-1。42

后果值

43

44二、决策分析的基本步骤

求解一个实际的决策问题通常包括下列步骤：（1）

构造决策问题；

（2）

确定各种决策可能的后果并设定各种后果发生的概率；（第二章）（3）

确定各种后果对决策人的实际价值，即确定决策人对后果的偏好；（第三章）

（4）

对备选方案进行评价和比较（第四章）。

决策问题的求解步骤之间的关系图见图1-3。

45图1-3决策问题的求解步骤关系图46需要注意的是：★构造一个好的决策问题是解决了问题的一半；★上述步骤不是一成不变的，需要根据具体问题具体分析；★近期的研究和应用结果表明：敏感性（灵敏度）分析在决策过程中具有越来越重要的地位。要判断能否把一个不确定量作为一个确定量处理，需要进行敏感性分析，而判断一个变量（可能是确定的也可能是不确定的）的变化对结果的影响也需要进行敏感性分析。因此，敏感性分析一般分为两种：确定性敏感性分析随机性敏感性分析47

确定性的敏感性分析方法通常是在假设其它变量都是不变的情况下，分析一个变量的变化对结果的影响，一次分析一个变量，等所有的变量都分析完了，再来看那个变量对结果的影响最大。一般采用定量的分析方法；不确定的敏感性分析则实在假设其它变量是随机的情况，分析一个变量的变化对结果的影响，这时对其它的变量还要设定它们的条件分布密度，目前还很难用定量化的方法来分析随机参数的敏感性。48课堂讨论一、回答下列问题

1．什么是决策？什么是决策分析？

2．随机性决策问题的特点是什么？有哪些要素？

3．画出决策过程的流程图并作简要说明。

4．决策问题可以分成哪几类？各有什么特点？二、建立下列问题的决策要素和决策树1.库存问题：易腐品进货(售量)；报贩进货(天气、报纸内容)2.市场销售：改进包装(成本与销路)49

一、用决策树表示油井钻探问题：

某公司拥有一块可能有油的土地，该公司可以自己钻井，也可以出租给其他公司开采；若出租土地，租约有两种形式：

⑴无条件出租，租金45万元；

⑵有条件出租，租金依产量而定：产量在20万桶或以上时，每桶提成5元；产量不足20万桶时不收租金。

设钻井费用为75万元，有油时需另加采油设备费25万元，油价为15元/桶。油井产量有4种状态：无油、产油5万桶、产油20万桶、产油50万桶。50二、设油井钻探问题如下：

每次钻井费用10万元，有油时售油收入为100万元，有油的概率为0.2。

问无油时是否该继续钻井？若应该，钻几次仍无油时就要停止钻井？

画出此决策问题的决策树。并讨论结果的合理性，实际情况下你作何决策？51

第二章

主观概率和先验分布

52决策问题的基本特点：

自然状态的不确定性问题：怎样用量化的方法来表达自然状态的这种不确定性？概率：是重要工具。概率在英文中的两种表示：

probabilityLikelihood

都表示的是可能、可能性、或然性、似然性等等53§2-1概率的基本概念

55

56

57二、主观概率(subjectiveprobability,likelihood)

1.为什么引入主观概率★有的自然状态无法重复试验如：明天是否下雨；新产品销路如何；明年国民经济增长率如何；能否考上研究生等。★试验费用过于昂贵、代价过大例：洲际导弹命中率等等

因此，需要有一种能在频率观点不适用、实际上无法进行随机试验时设定概率的方法，称之为主观概率（subjectiveprobability）。相应地，把公理化的概率定义为客观概率（objectiveprobability）。582.主观概率定义

根据Savage的观点，主观概率是一种见解，是合理的信念的测度。它是某人对特定事件会发生的可能性的信念(或意见、看法)的度量，即他相信或认为事件将会发生的可能性的大小。

这种相信的程度是一种信念，是主观的，但又是根据经验、各方面的知识以及对客观情况的了解，利用相关信息进行分析、推理、综合判断而设定(Assignment)的，与主观臆测不同。59例如:(1)某个人出席某种晚会的概率（不同的人给出的概率值可能不同）

(2)足球比赛中双方胜负的概率注意：主观概率和客观概率（objectiveprobability）有相同的定义，不同的意义。60三、主、客观概率的比较(1)基本属性

O：反映的是系统固有的客观性质，在相同条件下重复试验时频率的极限。

S：反映的是观察者对系统处于某状态的信任程度，而不是系统的性质。(2)下次抛硬币出现正面的概率是１／２

O：这种说法不对，不重复试验就谈不上概率；

S：对决策人来说，下次出现正、反是等可能的。61(3)抛硬币：正面向上概率为１／２O：只要硬币均匀，抛法类似，次数足够多，正面向上的概率就是１／２，这是简单的定义。S：这的确是定义，决策人认为硬币是均匀的，正、反面出现的可能性(似然率)相同，１／２是个主观的量。(4)下次抛硬币出现正面还是反面的不确定性

O、S：下次抛硬币出现正面还是反面不能确定，但知道：要么是正面，要么是反面。62§2-2先验分布(Priordistribution)及其设定

一、

随机变量为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，就必须引入随机变量的概念，以便将随机试验的结果数量化。定义2.4：设E是随机试验，它的样本空间是S＝{e}，如果对于每一个e∈S，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值实值函数X=X(e),称为随机变量。63例如：抛硬币的试验样本空间为S={e1=正面，e2=反面}，设“1”为出现正面，“0”为出现反面随机变量X＝X(e)={1，e1=正面；0，e2=反面}随机变量的分类离散型随机变量：随机变量全部可能取到的值是有限个和可列无限多个，则称为离散型随机变量；连续型随机变量：和离散型随机变量相反的则为连续型（非离散型）随机变量。64

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712.打赌法

打赌：用一件事情的真相如何，或尚未发生事件的实现程度来赌输赢。注：上述两种方法适用于状态数较少的场合，在状态较多的时候可以用相对似然率法。

72

图2-1概率盘正面

3.概率盘为了帮助决策人量化随机事件的主观概率，可以借助于概率盘，其形状如下图2-1。

概率盘正面分为红、兰两个扇形区，扇形区的面积可任意调整；反面有刻度指示红色扇形区占整个圆盘面积的百分比。73

图2-1概率盘正面

图2-2主观概率待定的抽奖

概率盘作为设定主观概率的辅助工具，对具有“概率思维”的决策人是有效的，而对“非概率思维”的决策人并无多少帮助。74

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79六、连续型随机变量先验分布的设定方法

对于连续型随机变量，通常用密度函数来表示其概率分布。当自然状态为连续型随机变量时，主观概率密度函数的构造明显比离散型随机变量的主观概率的设定复杂得多。因此，只要有可能，应该尽量将连续型随机变量离散化。下面介绍几种将连续型随机变量离散化的先验分布设定方法。80

81

图4-3明年国民经济的增长率的概率分布直方图

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85表4.1明年国民经济增长率各子区间及似然率设定子区间234567891011120.51.5369109.56.52.510.50.010.030.060.120.180.200.190.130.050.020.01

采用a)法虽然比直接用直方图法容易些，但是仍要求决策人具有较高的数值判别能力；

采用b)法的工作量明显加大，但可以获得准确性更高的概率分布。86

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在根据随机变量的特征选定适当的分布函数后，重要的工作是估计参数。

例如对正态分布，只要估计先验均值（一阶矩）和先验方差（二阶矩）。

但是估计这些参数是一项不确定性很大的任务，关键在于概率密度函数的尾部估计不易准确，而尾部的很小的误差会对矩产生很大影响。

其他典型的分布函数也有类似的问题，在处理无界的或很大的参数区间时，这一问题尤其严重。89

对概率密度函数的尾部即小概率事件的似然率的估计，一般不宜让决策人直接赋值，而是要采用适当的措施。

比如，选择某个概率已知的小概率事件作为基准。抛掷硬币连续10次出现正面的概率约为千分之一，以此作为基准，让决策人比较待设定的事件的似然率与这一基准事件的概率，再根据决策人的判断计算出待设定的事件的似然率。

用这种方法所得的结果比直接赋值要准确得多。

有时小概率事件是在其他一系列事件发生的条件下才会发生，如果这一系列中间事件并不是小概率事件，则可以由决策人估计这一系列中间事件发生的似然率，再通过计算获得小概率事件发生的似然率。9091

确定先验概率密度函数的参数的比较好的方法是分位点法，由决策人主观地估计先验分布的几个分位点，再选择适当的分布函数形式使所得到的概率密度函数与这些分位点尽可能匹配。

由于只要主观地估计若干个不同区间的概率，并有许多现成的概率密度函数分位数表可供利用，因此这种方法比矩法容易使用。92§2.3设定主观概率的案例

下面我们用例子说明如何设定概率。

某地区教委制订1985年到2000年的地区教育发展规划，具体负责规划制订的教委领导人就是该决策问题的决策人。为了订好规划，他请决策分析人员协助工作。

规划中的很重要的一环是要确定中小学教育的总规模，而要能够确定规模，先要知道规划期内社会对教育的需求，即该地区学龄儿童人数。93

如果只是近期规划，学龄儿童可从有关部门的统计资料中获得。对于长期规划，就需要从该地区今后若干年的出生率推算。

因此，决策分析人请决策人或有关人口问题的专家提供相关信息。对此，决策人请来三位人口问题专家（包括计划生育部门的专家），以提供今后几年出生率的概率分布的信息。

决策分析人与三位专家分别交谈，得出了今后几年的出生率的概率分布，如图2.4。94图2.4三位专家给出的概率分布曲线95

以下是决策分析人（简称“分”）与某一位专家（简称“A”）的对话摘录。分：你认为本地区今后几年的出生率的范围是多少？A：

不同的资料和文件对这个问题有不同的估计。你是否要我提供这些资料的最大值和最小值？分：不是。我希望你提供的是根据你自己对这一问题的认识，包括这些资料对你的影响和你自己的研究。你认为未来几年出生率的可能范围。我们先看上限吧。历史上本地区最高的出生率是多少？A：34‰（千分之三十四）。96分：你认为今后几年有可能达到这么高的出生率吗？A：不，绝不可能。自从实行计划生育以来，本地区最高的一年只有17‰。由于计划生育是一项长期国策，今后也不大可能超过这一数字。分：那你是否觉得完全不可能达到20‰?A：依我看，几乎完全不可能达到18‰。分：好吧，我们就先用18‰作为上限。下面我们再看下限。你能否给出这样的点，在你看来未来几年的出生率小于这个点的可能性不到1%。A：我觉得9‰是一个十分乐观的估计，出生率低于这个数字的可能性决不会大于1%。97分：现在我们回顾一下刚才的估计：未来几年的出生率非常可能是在9‰到18‰这个范围，是吗？A：我想是这样的。分：我们把这个范围记录下来，划根线段表示。出生率在这个范围以外的结果不大可能发生，我们先忽略不计。分：现在再来研究这个范围的子区段。你看出生率取什么值可以把这范围分成可能性相等的两部分？A：我不太明白你的意思。98分：是这样的，如果我在这范围中指定一点，10‰，你会觉得未来几年的出生率介于10‰到18‰的可能性一定会比出生率介于9‰到10‰的可能性大，是吧？A：是的。分：我把这点移到16‰呢？A：出生率低于16‰的可能性大得多。分：我希望你给出这样的点，你觉得出生率低于这点的可能性和高于这点的可能性恰好相等。A：我明白你的意思了。我觉得应当是12‰到13‰之间的某个数，但确切的值我说不准。99分：没关系，你可以先设个数，以后什么时候你觉得不合适，我们可以随时修改，重新开始。只要你愿意，我们可以多次重复这样做。A：好吧，我先取12.5‰为中点。分：我们先在12.5‰的地方划根竖线。下面我们把注意力集中到9‰到12.5‰这一段。分：假定未来几年的出生率是在9‰到12.5‰这个范围内，请你再找个中点。100A：我看11.5‰比较合适。分：从12.5‰到18‰这个区段呢？A：我觉得可以用14‰。分：加上你刚才的判断，我们可以做出新图：

……

对话到此远未结束，但从上面的对话，我们已经可以看出设定概率的大致过程。显然这个过程并不复杂。用这样的方法我们便得到了图2.4所示的主观概率分布图。101

三位专家的意见并不一致，但他们之间的意见分歧也不大。为了得到比较一致的意见，可以请他们交换意见，并重新估计。最后，他们会得到一致意见，描出一条曲线，提交决策人作决策分析的依据。

在与专家会谈的过程中，分析人员还可能遇到他所未预料到的问题，要他在建模时加以考虑。

例如：专家C指出图2.4中的概率分布曲线只适用于1992年之前。1992年开始，由于生育人口的较大幅度增加，出生率的概率分布应另行设定。102

有人会提出疑问：

上面介绍的概率设定方法有什么根据？是不是太主观？

是的，这种方法设定概率时确实只是根据几个人的主观判断。

但是，由于未来若干年的出生率的概率分布无法由试验获得，我们也不能因为缺乏这一数据而停止教育发展长期计划的制订。

因此，依靠相关专家带有主观性的判断仍然是合理做法。这种主观判断至少比单纯由决策分析人拍脑袋和由决策人凭直觉办事更合理、更有说服力。课堂讨论：

按照案例的方法，两人一组，一人充当决策人，一人充当决策分析人，就来明天气温的先验分布进行讨论。

要求：（1）首先根据最高值最低值各自画出基本的分位图；（2）画出如图2.4所示的概率分布曲线；（3）讨论两个人的区别，以及产生区别的原因。103104作业：一、为什么要引入主观概率？比较主、客观概率的异同。如何设定先验分布？二、两人一组，一人充当决策人，一人充当决策分析人，就来年上海地区研究生就业率的先验分布进行对话，并画出对话所得的图形曲线。然后互换角色，就来年本科生就业率的先验分布进行对话。三、分别用直方图和相对似然率法设定明天的最高气温。四、设某个决策人认为产品售出400件的可能性是售出800件的可能性的1/3，是售出1200件的可能性的1/2，与售出1600件的可能性相同，售出800件的可能性售出1200件的可能性的两倍，是售出1600件的可能性的3倍；售出1200件的可能性是售出1600件的可能性的2倍。求该决策人关于产品销售量的主观概率分布。第三章

效用函数105106

为什么要引入效用？决策问题的特点：

自然状态不确定

后果价值待定§3.1引言

后果的价值待定，即量化后果的价值。

在定量评价可能的行动的各种后果时，会遇到两个主要问题。

问题一：无形后果。即：后果本身是用语言表述的，可能没有任何合适的直接测量标度。

问题二：即使有一个明确的标度（通常是钱）可以测量后果，按这个标度测得的量也还可能并不反映后果对决策人的真正价值。以概率表示⇒⇒?????问题一：无形后果例如：信誉、威信、出门带伞问题的后果等

又如企业及其产品的信誉和声望、在顾客心目中的地位等，对许多企业来说是很重要的，在决策过程中也是必须加以考虑的，但往往不知道以什么样的具体方式来评价。

如一家生产比较高档产品的企业是否在打折的商店中销售其名牌产品时，就会产生这类问题：

由增加销售而增加的收入相对说是容易计算的，而由此造成的产品信誉降低的长期影响就难处理得多。因此，这类后果的价值不能用数字量来描述，需以某种数值来度量。107108问题二：有一个明确的标度（通常是钱）来测量后果即便是能用数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。例3.1：100元钱的价值同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的价值也不相同，这是钱的边缘价值问题。

109例3.2抽奖和礼品问题决策人面临两种选择：（1）收入礼品1000元，或是：（2）参与一次抽奖：有50%的机会得0元；50%的机会得2500元。该问题的决策树表示如图3.1所示。

图3.1作为商业、经营中实际问题的数学模型有着普遍意义。经营者经常遇到类似的情况，要在：

期望收益较低但是保险（相当于上例中的礼品）与：期望收益较高风险也较大（相当于上例中的抽奖）

这两种行动中进行选择。

有人认为抽奖不如礼品，如图3.2所示。

110

图3.2抽奖和礼品

而有些人则认为礼品不如抽奖。111由上面两个例子可知：（1）在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策人偏好次序(preferenceorder)的问题；（2）偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会地位、经济地位、文化素养、心理和生理(身体)状态有关。例如：下雨带伞问题。

对身体健康而又怕麻烦的年轻人，即使淋点雨也无所谓，一般状况下尽可能不带伞；

而对年老体弱者，即使下雨的可能性不大，也会带上伞，以免淋雨后得病。112

效用(Utility)就是用来描述决策人对后果的偏好次序的，它是偏好的量化，是一个数，或者是一个实值函数。后果价值待定⇒用效用函数表示DanielBernoulli在1738年指出：若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好期望值最高的行动。在这里，他不仅给出了效用的概念（虽然用的是偏好一词），还给出了使期望效用极大化的决策准则。

113§3.2效用的定义和公理体系

后果值的量化对反映后果对决策人的实际价值的必要性。在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即决策人对后果的偏好次序是用效用(Utility)来描述的。因此，效用就是偏好的量化，是数(实值函数)。这一节我们要给出效用和效用函数的定义，讨论效用函数的存在性公理。114

115

116

117

118

(4)展望(prospect)

119

120

121122

123

图3.3抽奖与确定当量124

抽奖与展望的区别在于：展望ℙ中包含决策问题所有可能采取的行动，以及所对应的后果，其中有些后果在某些行动不采取时发生的概率为0；而抽奖L中只包含采取某种行动时所出现的那些后果。

1252.效用的定义(A)

126二.效用存在性公理(理性行为公理)

127

128

129

130例3.3：一个人在街道的一侧，为了到另一侧办事或到另一侧的商店购物，当地及附近没有过街天桥和地道，就必须过马路。以往的统计资料显示，因过马路发生交通事故，造成死亡的概率约在10-8数量级。据此可以作过马路问题的决策树如下所示：图3.4过马路与否的决策树131上述四条公理被称为理性行为公理，因为公理的提出者和拥护者认为：

合乎理性的决策人在进行价值判断时，一定能满足这些公理。

但是，事实上并不尽然。132Allais

悖论（Paradox〕

1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Savage回答。

图3.5Allais悖论的两组决策树133三.效用的公理化定义及效用的存在性

134

135四、基数效用与序数效用(Cardinal&OrdinalUtility)

136

137

138§3.3效用函数的构造

一、估计效用函数值的方法⑴概率当量法(NM法)⑵确定当量法(修正的NM法)⑶增益当量法⑷损失当量法139

140

141

142

143

从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区别。

但是实验结果表明：使用确定当量法时决策人对最优后果（增益）的保守性和对损失的冒险性都比概率当量法严重(Hershey,1982)；采用增益当量法与损失当量法时产生的误差也比用概率当量法大。因此只要有可能，应该尽可能使用概率当量法。144

145

146

147

148例3.4：天气预报说球赛时可能有雨，一个足球爱好者要决定是否去球场看球。对此人而言，不小于去球场看球是最理想的，但如果下雨的话则留在家中看电视转播比较好；不下雨在家看电视虽然不如下雨时在家看电视，但要比在球场看球时被雨淋着要强。试设定各种后果的效用值。

图3.6晴雨未卜看球问题决策树

149150

151

152153

在10～12(小时／日)处，效用最大。

8(小时／日)处效率最高(效用／小时)注意：效用的唯一性(在正线性变换下唯一)使效用的值域为整个实轴，而不必限于[0,1]图3.7学习时间与效用154§3.4风险与效用

一、风险的含义定义：可能发生的危险。在日常生活中常常把有可能出现遭受重大损失后果的方案看作重大的风险。主要包含两方面的内容：

——

后果的损失严重程度，

——

出现损失的可能性的大小。

155作为制订决策重要内容之一的风险分析，通常就是考虑这两个方面，但是不同的领域有各自的侧重点。所有的决策后果可分为利（即收益、福利）和弊（损失、危害）两类。本章和下一章讨论的风险都是以计算“弊”的期望值并以此作为风险的度量。更一般的，可以用以下几种指标来度量风险。⑴

方差⑵自方差

⑶

临界概率

⑷

Fishburn的风险定义156

157

158

图3.8具有相同临界概率的两个方案

159

160二、效用函数包含的内容

1.对风险的态度

由于决策人的价值观不同，对待不确定性后果（简称风险）的态度也不同，主要分为三种：

风险厌恶(RiskAversion)

风险中立(RiskNeutralness)

风险追求(RiskProneness)

三种风险态度如图3.9所示。其中A为风险厌恶（凸）；N为风险中立；P为风险追求（凹）图3.9效用函数与风险态度161风险态度的解释：假设确定性后果值0所对应的效用值为0，2500所对应效用值为1。即：u(0)=0；u(2500)=1。如果决策人选择一个行动的抽奖后果的期望值是1250，其期望效用为u(1250)=0.5。如果决策人认为这个抽奖的后果与确定性后果1250相当，则决策人在该区间的效用函数是线性的，风险态度为中立；162

如果决策人认为抽奖后果的确定当量小于1250，（假设抽奖后果的确定当量为900），则该决策人的效用函数在该区间是凸函数（期望效用为0.5时的后果值从1250左移到900），风险态度为风险厌恶；如果决策人认为抽奖后果的确定当量大于1250，（假设抽奖后果的确定当量为1400），则该决策人的效用函数在该区间是凹函数（期望效用为0.5时的后果值从1250右移到1400），风险态度为风险追求。1632.对后果的偏好强度我们首先看看钱的边缘（边际）价值：设某人现有积蓄为0，增加800元的作用(价值)与有了800元后再加1200元相等,则此人的财富的价值函数是凸函数。属于风险厌恶型；若他认为800元

(0.5,0;0.5,2000),则与其说此人是风险厌恶不如说他是相对风险中立。为此有必要对确定性后果的偏好强度加以量化。164

165

166

图3.10可测价值函数示意图可测价值函数的示意图见图3.10。167关于可测函数的说明：

168②由定义中的性质②，可测价值函数具有基数性，它与基数效用不同，因为价值函数并不反映决策人的风险态度。③可测价值函数定义在后果空间上，能起序数效用的作用，但它又与序数效用函数不同，因为：

序数效用函数不能反映决策人对后果的偏好强度而价值函数能反映后果的偏好强度。169三、相对风险态度

170

171

172

173§3.5货币的效用

174

175二.钱的效用曲线的构成

在构造某个人的效用函数时，首先假设其可能的财产总数。一般情况下钱的效用曲线是呈S型的，如图3.11所示。原因：

(1)在一定范围内相对风险态度不变；

(2)负债到一定程度以上有冒险倾向；

(3)钱多到一定程度以上也有冒险倾向。图3.11货币的效用176课堂讨论：两人一组，设现有1000元存款(或商店有资产10万，企业有1000万等等)，试分为三段（－1000，－500）、（－500，0）、（0,1000），采用NM方法（修正的NM方法）构造其效用函数。

第四章

随机性决策问题的决策准则177178§4.1引言

179

状态行动………………………………………………………………表4.1决策表的一般形式180

状态行动………………………………………………………………表4.2用效用表示后果价值的决策表181

行动状态………………………………………………………………表4.3用损失表示后果价值的转置决策表

182

二．决策问题的分类

⑴

确定型决策问题确定型决策问题的特点是决策人在进行选择之前了解真实的自然状态，即他可以确切地知道各种行动的后果。事实上，这就相当于假设自然状态的个数唯一，即：n=1，这时决策表形如表4.4。表4.4确定性决策问题的决策表

这一类问题在形式化描述时要涉及到后果对决策人实际价值的测度问题，但是这类问题的求解纯属运筹学中的纯量优化问题，因此本书对此不作讨论。

行动状态……183

184

185三．决策准则与决策规则

186§4.2严格不确定型决策问题的决策规则

一、主要决策准则严格不准确型问题的决策准则主要有下列几种。1．悲观准则悲观准则亦称极小化极大准则(Wald,1950)思路：考察可能采取的行动中最坏的后果，然后在所有最坏后果中找出损失最小的行动为作为首选行动。

187

188例：已知四个行动方案在四种自然状态下的损失值如表4.4所示：1087941921316121469810

1316121412表4.4189

190

1087941921316121469810

41721各行动最小损失：见图中绿色数字。表4.41913．Hurwitz准则（乐观系数法）

该方法是Hurwitz在1951所提出。在现实生活中很少有人像极小化极大准则所显示的那么悲观，也很少有人象极小化极小准则那么乐观。因此他提出一种折衷：决策人应根据这两种准则的加权平均值来排列行动的优劣次序，其中的权称为乐观系数。由决策者个人给定，并适用于他所面临的所有决策问题。192

193表4.5确定乐观系数的决策表01101941087941921316121469810MinMaxλmin(1-λ)maxλmin+(1-λ)max例如，当λ＝0.5时，前面例子的计算结果如表4.6所示。41721316121420.53.516.58678.58.59.58

表4.61954．后悔值极小化极大准则

196

197

根据上述原则，得前例中的后悔值矩阵如下：108794192131612146981071126后悔值矩阵3102308114020324

3844198

199

1087941921316121469810用前面的例子可得对应的值为：33/4；34/4；36/4；35/4，如表4.7所示。33/434/436/435/433343635表4.7200

2016.在损失矩阵的任一行中各元素加同一常数时，各行动间的优劣次序不变；7.后果排序无关性：

列中元素位置变换的不变性。8.某种状态下各种后果所在行复制的无关性：

在损失矩阵中添加一行，这一行与原矩阵中的某行相同，则各行动的优劣次序不变。202

203

204公理4.5无关方案独立性公理4.6某行中各元素加常数的无关性公理4.7

某一行动的各种后果排列次序的无关性

公理4.8某种状态下各种后果所在行复制的无关性公理4.1到公理4.6对于任何一种决策准则，无论是用于严格不确定型决策问题的决策准则还是用于风险型决策问题的决策准则，都是必要的。后面介绍的期望效用决策准则也能满足满足公理4.1-4.6。公理4.7到公理4.8则反映了严格不确定型决策问题的特征。205三、对决策准则的分析根据上面所给的理想决策准则应具备的性质，我们可以对前面的几种决策准则进行分析，看看各个准则是否满足这些性质。表4.8Wald、Hurwitz、Savage和Laplace决策准则与公理的一致性。（表中√表示满足，×表示不满足）

206表4.8Wald、Hurwitz、Savage和Laplace决策准则与公理的一致性（表中√表示满足，×表示不满足）

WaldHurwitzSavageLaplace公理4.1完全序√√√√公理4.2标号无关性√√√√公理4.3标度无关性√√√√公理4.4强优势原则√√√√公理4.5无关方案独立性√√×√公理4.6同一状态下各后果值加常数的无关性××√√公理4.7某一行动的各种后果排列次序的无关性√√×√公理4.8某种状态下各种后果所在行复制的无关性√√√×207一.风险型决策的特点决策人不知道将来哪种状态发生，但他知道有那几种自然状态，以及能够给出各种自然状态发生的可能性。即：通过设定主观概率来量化不确定性。

这一类决策问题的决策表如表4.9所示。§4.3风险型决策问题的决策准则

208表4.9典型的风险型决策问题的决策表……………………………………………………………………209二.风险型决策问题的基本准则风险型决策问题的基本准则有下列几种：（1）最大可能值准则（2）贝叶斯准则（3）贝努利准则（4）E-V准则（5）不完全信息情况下的决策准则

（6）优势原则与随机性决策规则

210

211例：风险型决策问题的损失矩阵如表4.10所示：0.276.560.53450.3410

表4.10212

213

214（3）贝努利准则损失函数取后果效用的负值，再用Bayes原则求最优行动。

在本章随后的各节以及第五章所介绍的各种方法，包括4.5节的贝叶斯分析，所用的决策准则实际上都是贝努利准则：

使期望效用极大化，或者使期望损失极小化。215

216

4.13.73.62.293.795.967

表4.11217§4.4贝叶斯定理和贝叶斯分析方法

218

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2470.276.560.53450.3410例：已知某决策问题的损失矩阵如表4.13所示。表4.13

2480.276.560.53450.34102．采样信息的期望价值

事实上任何随机试验都不可能获得完全信息，所以用于试验的费用应该低于完全信息的期望价值

。

研究完全信息的期望价值是因为它的计算比较简单，可以首先用它与试验费用进行比较，如果它较小，甚至比试验费用小，则不宜进行试验。

由于任何随机试验(采样)都不可能获得完全信息，所以有必要研究采样所获得信息的价值。

249

250五．例题－油井钻探问题

某公司拥有一块可能有油的土地，该公司可以自己钻井，也可以出租给其它公司开采。若出租土地，租约有两种：①无条件出租，租金45万元；②有条件出租，租金依产量而定：产量在20万桶以上，每桶提成5元，产量不足20万桶时，不收租金。

设钻井费用为75万元，有油时需另加采油设备费25万元，油价为15元/桶，为了简化，可以将油井产量离散化，分为4种状态：无油、产油5万桶，产油20万桶、产油50万桶。设各种状态的主观概率分布如表4.14所示，试问决策人该选择什么行动？

50万桶20万桶5万桶无油0.10.150.250.5表4.14油井钻探问题的自然状态及各自然状态的先验概率

问：（1）是否可以使用该信息做出更好的决策？

（2）在什么情况下值得花费该试验费用？7/121/31/1209/163/161/81/811/241/61/41/83/1611/4813/485/16表4.15解：在已知随机试验获取观察值

的情况下，求

（1）求后验概率（2）用贝叶斯扩展型方法求贝叶斯规则（3）画决策树（4）讨论正规型贝叶斯分析的求解步骤（5）信息的价值解：（1）求后验概率

7/121/31/1209/163/161/81/811/241/61/41/83/1611/4813/485/16

50万桶20万桶5万桶无油

1

2

3

40.10.150.250.5

0.16620.15310.15310.00000.24040.12920.08330.09090.32640.19140.27780.15150.26710.52630.60190.7576表4.16

258

-115.890.3510-69.10.2177-330.2250-330.2063表4.17259（3）画决策树进行试验不进行试验X1：0.351X2：0.2180.1660.240.3270.267-638-1888737a1a2a3-115.93-115.93-33-238-8812a1a2a3-69.1-33-53.58X3：0.225X4：0.206a1a2a3-33a1a2a3-33a1a2a3-51.25a3-51.25-69.96260

……………

261

262

263第五章

随机优势264§5.1随机优势概述

基于随机优势(stochasticdominance)的决策方法的提出及广泛应用与财政、金融领域的问题有关。

因此，本章主要讨论为了解决投资决策问题而发展起来的一套决策方法。

其中，Markowitz

的有价证券选择(portfolioselection)模型则开创了随机优势研究的先河。有关优势的概念：“按状态优于”“E-V排序”

Markowitz-模型265按状态优于是一种很强的随机优势，通常很难满足。

472668347

266表5.1

267

268

269

270

二.为什么要研究随机优势

271

272而实际上，由于决策人认识上的偏差以及量化上的偏差，很难根据决策人的价值判断得到足够准确且完全满足理性行为公理的效用函数。决策分析人通常只能获得决策人关于偏好的部分信息，以至于只能将各方案按偏序排列。

273

274275

276§5.2效用函数的类

2771.递增的效用函数

278定义5.2第一类效用函数U1上的优势

279

280

281

2822.递增的凸效用函数（第二类效用函数）

第一类效用函数可以表达“财富增多时，其效用不会减少”的概念，但不能表达出决策人的风险态度，即：风险厌恶、风险追求和风险中立三种态度。

为了区别决策人的风险态度，有必要定义另一类范围更窄一些的效用函数。由第三章中我们知道风险厌恶的效用函数是严格凸的函数，因此可得第二类效用函数的定义。283

284

285

286§5.3随机优势的基本定义和定理

287

2883.定理

289

290

291§5.4示例

292表5.2

1/61/61/61/61/61/61414443431141)采用E-V排序由E-V排序求解得：

293

1/61/61/61/61/61/6141444343114表5.2

图5.2表5.3

294

1/61/61/61/61/61/6114444320233448/317/9

295图5.3（a）

1/61/61/61/61/61/6114444320233448/317/9

296图5.3(b)表5.4297

1/41/41/41/41.491.493.513.512.51.02012342.51.250

298图5.4(a)

299图5.4(b)

300图5.4(c)

301图5.4(a)、(b)和(c)

302第六章

随机性决策的应用与行为决策理论303

前面几章，我们介绍了随机性决策的理论基础—主观概率和效用，讨论了不确定型和风险型两类问题的各种求解准则，并在第五章讨论了用随机优势求解决策问题的思路与方法。本章作为随机性决策理论的总结，讨论一些常用的决策模型、实际决策问题的求解步骤和若干注意事项以及行为决策理论的基本研究内容等等。304§6.1常用的决策模型

一.理性模型这种模型假定决策人的行为是合乎理性的。其决策思路如下：提出并阐明问题→收集数据→列举方案→方案评价→选择→实施二.经济合理模型采用经济合理模型的决策人尽可能在经济方面使用理性模型。如运筹学(OR)、成本－效益(C—B)分析、关键路径分析等等。是企业和经济、国防等部门最常采用的决策模型。305三.逐步改变模型

该模型遵循“慢慢来，循序渐进”的决策模式，属于比较保守的决策模型。但是，现实世界中大部分决策者，包括组织和个人，大都采用这种逐步改变模型。四.序贯决策模型(摸石头过河)

这种模型就是人们通常所说的“摸着石头过河”的