保险精算课件

*第一節保險精算概述

一、保險精算的產生與發展

所謂精算，就是運用數學、統計學、金融學及人口學等學科的知識和原理，去解決工作中的實際問題，進而為決策提供科學依據。保險精算是以數學、統計學、金融學、保險學及人口學等學科的知識和原理，去解決商業保險和社會保障業務中需要精確計算的專案，如研究保險事故的出險規律、保險事故損失額的分佈規律、保險人承擔風險的平均損失及其分佈規律、保險費和責任準備金等保險具體問題的計算。*第一節保險精算概述

一、保險精算的產生與發展

壽險精算是從壽險經營的窘境中應運而生的。當時，壽險的保費採用賦課制，未將年齡大小、死亡率高低等與保費掛鉤，有關計算單一、粗糙，考慮的因素少，因而使壽險經營缺乏嚴密的科學基礎。17世紀後半葉，世界上有兩位保險精算創始人研究人壽保險計算原理取得突破性進展，一位是荷蘭的政治家維德(JeandeWitt)，他宣導了一種終身年金現值的計算方法，對國家的年金公債發行提供了科學依據；另一位是英國天文學家赫利（EdmundHalley），他在研究人的死亡率的基礎上發明了生命表，從而使年金價值的計算更精確。18世紀40年代至50年代，辛浦森（ThomasSimpson）根據赫利的生命表，製作出依照死亡率增加而遞增的費率表，陶德森(JamesDodson)依據年齡之差等因素而找出計算保險費的方法。*第一節保險精算概述

一、保險精算的產生與發展與壽險精算相比，非壽險精算相對落後。但由於所定的保險費率較高，保費收入不僅超過收支相抵的適當水準，還包括了充足的準備金以應付各種意外損失，因而使保險業仍有利可圖。進入20世紀以來，情況發生了根本的變化。首先，出現了前所未有的巨大風險；其次，在日益完善的保險市場上，保險人之間的競爭愈演愈烈；再者，還存在著保險費率的劇烈下降，奉行客戶至上主義，甚至政府對某些險種的費率實行管制等多種因素。因此，當代的保險人不再可能收取顯著高於適當水準的保費並在業務中保持。隨著統計理論及其不斷成熟，保險人在確定保險費率、應付意外損失的準備金、自留限額、未到期責任準備金和未決賠款準備金等方面，都力求採用更精確的方式取代以前的經驗判斷。

*第一節保險精算概述

一、保險精算的產生與發展

顧名思義，精算師是在保險公司專司精算職責的人。通常，精算師在保險公司的傳統職能是計算保險費率和評估公司每年度的責任準備金。隨著國際保險市場的開放和保險精算的發展，有些國家已經開始授予一定的法定職能於精算師。發生這種轉變的主要原因有：①政府監管部門的職責主要是確保保險市場的整體穩定、定價合理、保險公司的財務穩定和能夠為投保人提供保障。②壽險品種和保險市場的發展日趨複雜，政府部門難以隨時審核每家保險公司的經營情況。③部分國家和地區的精算師學會對其會員制定專業指引和守則，以確保其會員可以正確履行精算師的職能；同時，接受過專業訓練的精算師，因為經常參與公司的業務，可以熟悉保險公司的整體運作。④為了增強保險公司的競爭能力，有關保險條例必須根據每家公司的不同情況靈活處理，同時必須顧及保險公司財政狀況的穩定。*第一節保險精算概述二、保險精算的基本任務

保險精算最初的定義是“通過對火災、盜竊以及人的死亡等損失事故發生的概率進行估算以確定保險公司應該收取多少保費。”在壽險精算中，利率和死亡率的測算是厘定壽險成本的兩個基本問題。由於利率一般是由國家控制的，所以在相當長的時期裏利率並不是保險精算所關注的主要問題，而死亡率的測算即生命表的建立成為壽險精算的核心工作，現在也仍然是精算研究的課題。非壽險精算始終把損失發生的頻率、損失發生的規模以及對損失的控制作為它的研究重心。現在，非壽險精算已經發展了兩個重要分支：一是損失分佈理論；二是風險理論。伴隨著金融深化的利率市場化，保險基金的風險也變為精算研究的核心問題。在這方面要研究的問題包括投資收益的敏感性分析和投資組合分析、資產和負債的匹配等。*第一節保險精算概述

三、保險精算的基本原理保險精算最基本的原理可簡單歸納為收支相等原則和大數法則。所謂收支相等原則就是使保險期內純保費收入的現金價值與支出保險金的現金價值相等。由於壽險的長期性，在計算時要考慮利率因素，可分別採取三種不同的方式：①根據保險期間末期的保費收入的本利和（終值）及支付保險金的本利和（終值）保持平衡來計算；②根據保險合同成立時的保費收入的現值和支付保險金的現值相等來計算；③根據在其他某一時點的保費收入和支付保險金的“本利和”或“現值”相等來計算。所謂大數法則，是用來說明大量的隨機現象由於偶然性相互抵消所呈現的必然數量規律的一系列定理的統稱。*第一節保險精算概述

三、保險精算的基本原理（一）切比雪夫（Chebyshev）大數法則

設，，…，，…是由兩兩相互獨立的隨機變數所構成的序列，每一隨機變數都有有限方差，並且它們有公共上界：

這一法則的結論運用可以說明，在承保標的數量足夠大時，被保險人所交納的純保險費與其所能獲得賠款的期望值相等。這個結論反過來，則說明保險人應如何收取純保費。

D()≤C，D()≤C，…D()≤C，…，則對於任意的ε>0，都有：*第一節保險精算概述三、保險精算的基本原理（二）貝努利(Bernoulli)大數法則

設Mn是n次貝努利實驗中事件A發生的次數，而p是事件A在每次實驗中出現的概率，則對於任意的ε>0，都有：

在非壽險精算中，往往假設某一類標的具有相同的損失概率，為了估計這個概率的值，便可以通過以往有關結果的經驗，求出一個比率——這類標的發生損失的頻率。而在觀察次數很多或觀察週期很長的情況下，這一比率將與實際損失概率很接近。換句話說，當某個所需要求的概率不能通過等可能分析、理論概率分佈近似估計等方法加以確定時，則可通過觀察過去大量實驗的結果而予以估計，即用比率代替概率。反過來，經估計得到的比率，可由將來大量實驗所得的實際經驗而修正，以增加其真實性。*第一節保險精算概述三、保險精算的基本原理（三）普阿松(Poisson)大數法則

假設某一事件在第一次實驗中出現的概率為P1,在第二次實驗中出現的概率為P2，…，在第n次實驗中出現的概率為Pn。同樣用Mn來表示此事件在n次實驗中發生的次數，則依據普阿松大數法則有：對於任意的ε>0，成立

普阿松大數法則的意思是說：當實驗次數無限增加時，其平均概率與觀察結果所得的比率將無限接近。*第二節

非壽險精算

一、保險費率的厘定

保險費率的厘定，關鍵在於純費率的確定。而純費率的確定通常有兩種方法：一是依據統計資料計算保額損失率，進而確定純費率r；

二是在損失分佈和賠款條件已知的情況下，用賠款金額的期望值E除以保險金額I而得到r，即r=E/I。

如果附加費率在保險費率中的比例為k，則保險費率可由R=r/(1-k)求得。*第二節

非壽險精算一、保險費率的厘定（一）觀察法觀察法是指對個別標的的風險因素進行分析，觀察其優劣，估計其損失概率，直接決定其費率。這種方法的採用，往往是因為保險標的數量較少，無法採用統計資料，因而主要憑藉精算人員的知識與經驗。觀察法所制定的費率，最能反映個別風險的特性，具有靈活、精確的特點，這是因為：①在風險單位數量很少的情況下，不能硬性將風險性質差異很大的各風險單位集中在一塊，統一制定費率，否則，將違反利用大數法則估計損失概率的前提條件；②觀察法制定費率，雖是針對個別標的而言，但精算人員往往根據過去的費率和經驗，以及對此標的有影響的各種風險因素進行仔細的分析，然後才確定費率；③觀察法通常也要利用一些資料，只不過較為粗略而已。*第二節

非壽險精算一、保險費率的厘定（二）分類法

分類法是指將性質相同的風險，分別歸類，而對同一分類的各風險單位，根據它們共同的損失概率，訂出相同的保險費率。分類費率確定之後，經過一定時期，如與實際經驗有所出入，則應進行調整，其調整公式為：

公式中各符號的含義如下：M——調整因素，即保險費應調整的百分比；A——實際損失比率；E——預期損失比率；C——信賴因素。

採用上面的公式來決定費率調整的百分比，關鍵在於確定信賴因素C的大小。*第二節

非壽險精算一、保險費率的厘定（三）增減法增減法是指在同一費率類別中，對被保險人給以變動的費率。其變動或基於在保險期間的實際損失經驗，或基於其預想的損失經驗，或同時以兩者為基礎。增減法對分類費率可能有所增加，但也可能有所減少，主要在於調整個別費率。1.表定法採用表定法時，必須首先在各分類中對各項特殊顯著的風險因素設立客觀標準。當被保險人購買保險時，就以這種客觀標準來測度風險的大小。

*第二節

非壽險精算一、保險費率的厘定（三）增減法

2.經驗法

採用經驗法制定費率，是根據被保險人以往的損失經驗，對按照分類費率制定的費率加以增減變動。所以經驗法主要是一種調整費率的方法。採用經驗法調整費率的公式為：

公式中各符號的含義如下：M——保險費率調整的百分比；A——經驗時期被保險人的實際損失；E——被保險人適用某分類時的預期損失；C——信賴因素；T——趨勢因素（考慮平均賠償金額支出趨勢及物價指數的變動）。*第二節

非壽險精算

一、保險費率的厘定（三）增減法3、追溯法

追溯法是與經驗法相對的一種費率調整方式，它以保險期內被保險人的實際損失為基礎，計算被保險人當期應繳的保險費。在使用這種方法時，先在保險期開始前以其他方式確定預繳保險費，然後在保險期滿後，根據實際損失，對已繳保費進行增減變動，其計算公式如下：

RP=［BP+L·LCF］·TM

公式中符號的含義如下：RP——RetrospectivePremium，為計算所得的追溯保險費；BP——BasicPremium，為基本保險費；L——Loss，實際損失金額；LCF——LossConversionFactor，損失換算因數（其數值大於1）；TM——TaxMultiplier，租稅乘數（其數值大於1）。

*第二節

非壽險精算一、保險費率的厘定（三）增減法

4、折扣法顧名思義，折扣法是對個別被保險人採用折扣費率。

二、“大數”的測定在一定的要求之下，“大數”由下麵的公式來測定：

公式中各個符號的含義為：N——在一定條件下應具有的風險單位數。E——（相對於預期損失次數而言）實際損失變動次數與總數的比率，表示所需要的精確度。S——實際損失與預期損失相差的標準差的個數。S的值可以說明對所獲得的結果的信賴程度。p——某一特定標的（風險單位）發生損失的概率。*第二節

非壽險精算三、財務穩定性分析

假定某公司承保的某項業務有n個保險單位，每個保險單位的保險金額為a元，純費率為q。如果損失標準差為σ，則稱aσ為賠償金額標準差，用Q表示，即Q=aσ。把anq（即純保費總額）稱為保險賠償基金，用P表示，即P=anq。賠償金額標準差與保險賠償基金的比值，稱為財務穩定係數，用K表示，即K=Q/P。

一般而言，財務穩定係數K越小，財務穩定性越好；反之，財務穩定係數K越大，財務穩定性越差。假定有n個保險標的，每個保險標的的保險金額為a元，損失概率為p，純費率為q，若損失服從二項分佈，則有：*第二節

非壽險精算

假定保險公司承保有兩類業務，第一類業務承保n1個單位，每個單位的保險金額為a1元，純費率為q1，第二類業務承保n2個單位，每個單位的保險金額為a2元，純費率為q2。則：

第一類業務上的出險次數標準差為：賠償金額標準差為：財務穩定係數為：同樣可以得到：如果把第一類業務與第二類業務合併，則賠償金額標準差為：財務穩定係數為：其中*第二節

非壽險精算

一般地，當有j個業務合併時，有：

四、自留額與分保額的決策

假定在原有業務上，賠償基金為，賠償金額標準差為，則將另外接受n個保險單位，保額為x元，純費率為q，則：其中，*第二節

非壽險精算

合併業務後：要使K1+2仍維持K1的值，則應有：

整理後可得：

當q十分小時，可近似得到：要維持原有的財務穩定性，對於新接受的業務，如果保險金額在x以下，則可全部自留，對於保險金額超過x的新業務，自留額以x為限，超過部分予以分保。

*第三節

壽險精算

為討論問題的方便，本節的計算一律作如下幾個假定：①被保險人的生死遵循預定生命表所示的生死規律；②同一種類的保險合同，全部於該年齡初同時訂立；③保險金於每年度末同時支付；④保險費按預定利率複利生息，並假定年利率為i；⑤假定保險金額均為1元（有特別說明者例外），因而所求得的純保險費就是純保險費率；⑥總是假定生命表中某一年齡的人都向保險公司投保了某種保險，而不管實際情況是否這樣，因為這並不影響結論的正確性。

*第三節

壽險精算一、生命表生命表是根據以往一定時期內各種年齡的死亡統計資料編制的，由每個年齡死亡率所組成的匯總表。生命表中最重要的就是設計產生每個年齡的死亡率。影響死亡率的因素很多，主要有年齡、性別、職業、習性、以往病史、種族等。一般情況下，在設計生命表時，只注重考慮年齡和性別。生命表可以分為國民生命表和經驗生命表。前者是根據全體國民或者以特定地區的人口的死亡統計數據編制的生命表，它主要來源於人口普查的統計資料。後者是根據人壽保險、社會保險以往的死亡記錄(經驗)所編制的生命表。保險公司使用的是經驗生命表。*第三節

壽險精算

ｘ：表示年齡。

：生存數，是指從初始年齡至滿ｘ歲尚生存的人數。：死亡數，是指ｘ歲的人在一年內死亡的人數。：死亡率，表示ｘ歲的人在一年內死亡的概率。Px:生存率。表示ｘ歲的人在一年後仍生存的概率，即到ｘ＋１歲時仍生存的概率。：平均餘命或生命期望值。表示ｘ歲的人以後還能生存的平均年數。若假設死亡發生在每一年的年中，則有：*第三節

壽險精算

表示ｘ歲的人在ｔ年內死亡的概率。表示ｘ歲的人在生存ｔ年後ｕ年內死亡的概率。表示ｘ歲的人在ｔ年末仍生存的概率。*第三節

壽險精算

二、躉繳純保險費（一）定期人壽保險的純保險費

假定x歲的人投保n年定期人壽保險，年初每個投保人應繳的純保險費為元。依據收支相等原則，保險公司支付保險金的現值總和與期初純保險費的總和應相等。即有：

其中，為折現率。如果令：

則可得到：*第三節

壽險精算二、躉繳純保險費（二）終身人壽保險的純保險費

假設生命表中所定最終年齡為ω歲，則有：

如果令：則定期和終身人壽保險的純保險費可分別表示為：*第三節

壽險精算二、躉繳純保險費（三）純粹生存保險的純保險費

假定x歲的人投保n年定期生存保險，所繳的純保險費為元。考慮利息因素，依據收支相等原則有：

整理後可得：（四）混合保險的純保險費如果把保險期限為n年的混合保險的純保險費記為，則*第三節

壽險精算

三、年金保險的純保險費

（一）即期年金

假定x歲的人投保期限為n年的年金保險，保險公司每年初支付保險金。設投保人應繳的純保險費為，則依據收支相等原則應有：

如果將給付週期改為終身，則可得到：令

，則可將上面兩個公式變為：*第三節

壽險精算三、年金保險的純保險費

（一）即期年金用與上面同樣的方法可以得到期末付定期年金的純保險費為：

期末付終身年金的純保險費為：（二）延期年金

x歲的人投保期限為n年的年金保險，m年後開始（在期首）給付，即延期m年。表示n年定期期首付延期年金的純保險費，由收支相等原則有：*第三節

壽險精算三、年金保險的純保險費

用同樣的方法可以得到期末付定期延期年金的純保險費為：

期首付延期終身年金的純保險費為：期末付延期終身年金的純保險費為：*第三節

壽險精算四、年度純保費

假定n年定期死亡保險的純保險費分m年付清，用來表示年度純保費，年度純保費的現值之和應與一次付足的純保費的現值相等，即應有：

整理可得：五、人壽保險的毛保險費

保險公司所收取的保險費中，用來作為給付的那部分保險費是純保險費，而用來作為業務費用開支的那部分保險費稱為附加保費。純保險費與附加保費之和稱為毛保險費。

*第三節

壽險精算

五、人壽保險的毛保險費公司對原始費用，不應單純地將它全部加在第一年的純保險費上，而需將它均勻地分攤到各期的保險費上。如果被保險人投保時的年齡為x歲，保險期限為n年，保險費分次m交付，再假定全部原始費用為α元，在每一年度保險費上應攤加的金額為s元。很顯然，這些攤加在每一年度的費用的現值的積存值與原始費用的現值相等，於是成立：

由此可以得到：*第三節

壽險精算五、人壽保險的毛保險費如果被保險人投保時的年齡為x歲，保險期限為n年，保險費分m次交付，再假定全部原始費用為α元，每年的管理費為β元，代理手續費為毛保險費的比例γ。求保險金額為1元的混合保險的年繳毛保險費。（一）三元素法設年繳毛保險費為P，我們可以作如下分析：*第三節

壽險精算五、人壽保險的毛保險費（一）三元素法

根據收支相等原則應有：

整理後可得：（二）比例法比例法假定附加保費為毛保費的一定比例，設為K。如果純保費為P，毛保費為，則：

比例常數法根據每張保單的平均保額推算出每單位保額所必須支付的費用，作為一個固定常數(用C表示)，然後再確定一個毛保費的比例作為附加費用，由此有：*第三節

壽險精算六、理論責任準備金及其計算

人壽保險的責任準備金，是保險人向投保人所收取的純保險費，加上按事先約定的年利率複利結算方式計算的本利和，與人壽保險合同中所規定的保險人應在當年所支付保險金的差額；從被保險人方面來說，是他所交付的純保險費的本利和，與他當年應分攤的給付保險金之間的差額。責任準備金實質上是保險人對被保險人或其收益人的一種負債。責任準備金可分為理論責任準備金和在其基礎上修正後的實際責任準備金。*第三節

壽險精算

六、理論責任準備金及其計算

（一）過去法過去法以分析已繳的純保險費為出發點。假定生命表內所列年齡為x歲的人，全部向保險公司投保同一保險條件、同一保險期限、同一繳費次數的人壽保險，保險金額均為1元，則在投保後第t年年末，被保險人的年齡為x+t歲，屆時保險公司對全體被保險人提存的責任準備金應等於：在被保險人的年齡為x+t歲時，已繳純保險費的積存值，減去被保險人的年齡為x+t歲時，根據生命表保險公司已支付的保險金的積存值。由於這種計算方式涉及到生存分紅年金和期末死亡保險費，故我們僅在此給出相應的計算公式（用表示在第t年的準備金）。*第三節

壽險精算六、理論責任準備金及其計算

（一）過去法如果繳費次數與保險年限相同，則：

如果保險期限為n年，保險費在最初m年交付，t≤m，則：如果保險期限為n年，保險費在最初m年交付，t>m，則：如果是純粹生存保險，由於保險公司在以往t年內並未有任何給付，上面公式中含有的專案均不出現。*第三節