湖北黄石市2026年全市高三（9月）质量监测数学+答案

机密★启用前

2026年全市高三(9月)质量监测

数学试卷

本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并

认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|0<x≤3},B={x|x²≤4},则A∩B=

A.ØB.{x|-2≤x≤3}C.{x10<x≤2}D.{x|-2≤x<0}

2.设复数z满足(i为虚数单位),则|z|=

C.√5D.2

3.甲，乙，丙，丁四名教师带领学生参加研学活动，教师随机分成三组，每组至少一人，

则甲，乙两人在同一组的概率为

D.

4.已知点F为抛物线y²=2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8,0为坐标原

点，若△OFP的面积为2√2,则该抛物线的准线方程为

A.B.x=-1C.x=-2D.x=-4

设则

I5.a=1g6,b=1g20,log₂3=

FA.B.C.D.

高三数学试卷第1页(共4页)

6.已知随机变量5的分布列如下表所示、记号的数学期望和方差分别为E(5),D(2).则

当θ在|上增大时，有

5012

Pa

A.E(5)增大，D(三)增大B.E()减小，D(5)增大

C.E(∈)增大，D()减小D.E(5)减小，D(三)减小

7.已知函数f(x)的定义域为R,则对任意x∈R,有f(x)-.f(x)>0,则“x<0”是

“ef(x+1)>e⁴f(2x-3)”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

8.在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=a,M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，

使A.B两点间的距离为√3a,此时三棱锥A-BCM的体积为

A.B.C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.十九世纪数学家迪利克雷提出了函数,被称为迪利克雷函数，其在现

代数学的发展过程中有着重要意义.若函数f(x)=x²-D(x),则下列实数中属于函数

f(x)值域的有

A.3B.2C.1D.0

10.下列表达式中，满足数列{a,}是单调递减的有

C.|a|<aD.

11.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3,BC=4,AC=5,AA₁=3,点M是棱BB₁上

一点，则下列说法正确的有

A.AM⊥BC

B.四棱锥M-ACC₁A₁的体积为6

C.直三棱柱ABC-A₁B₁C,外接球的表面积为34π

D.MA₁+MC的最小值为√58

高三数学试卷第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.等比数列(a,》的公比为2,且a₂,a₃+2,a成等差数列，则数列(a,)的通项公式a=

(n∈N).

13.已知F,F₂分别是双曲线的左，右焦点，1,l₂为双曲线的两条渐近

线，设过点M(b、0)且平行于1的直线交l₂于点P、若PF⊥PF₂,则该双曲线的离心

率为

14.已知平面直角坐标系中的点M(a,b)满足3a²-4ab+b²<0,若函数f(x)=asinx+

bcosx(a、b分别为M的横，纵坐标)在x=x₀处取得最大值(x₀因a,b取值的不同

而变化),则tan2x。的取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且b+c=8,△ABC的面积

SAABC=a²-(b-c)².

(1)求证：

(2)求SABC的最大值.

16.(15分)

如图，已知四边形ABCD和CDEF都是直角梯形，

AB//CD,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=1,

∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为

60°,设M,N分别为AE,BC的中点.

(1)求证：FN⊥AD;

(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

高三数学试卷第3页(共4页)

17.(15分)

已知椭圆C:(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点

构成正三角形.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于

点P.Q.

(i)证明：OT平分线段PQ(其中点O为坐标原点);

(ii)当最小时，求点T的坐标.

18.(17分)

某公司“团建”活动中设置转盘抽奖环节.如图，转盘外形为

规则圆盘，其中A,B,C三个区域的面积相等.假设转盘指针不会落

在区域的分界线，指针只能随机地落入三个区域之一.当落入A时

为获胜，得2分；当落入B或者C时得1分.

(1)若指针转动三次，求三次得分之和X的分布列和数学期望；

(2)若指针转动n次，n∈N',将n次得分之和为n+2的概率记为P(n),求(用

含n的代数式表示);

(3)若将“指针转动2n-1次，至少获胜n次”的概率记为Q(n),则“指针转动2n+1次，

至少获胜n+1次”的概率可记为Q(n+1).对于n∈N°,分别求出Q(n)和Q(n+1)并

比较大小，说明其大小关系的统计意义.

19.(17分)

分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数

学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用.在初等数学中，若有三个互

不相同的函数ʃ₁(x),J₂(x),f₃(x),当在某个区间上恒有f(x)≥J₂(x)≥f₃(x)成立时，f₂(x)

可以作为ʃ(x)和J₃(x)在该区间上的分离函数.

(1)试判断y=4x是否可以作为y=2x²+2和y=-x²+4x在区间(一∞,+∞)上的分离函数；

(2)对于函数y=4x和y=2x²+2,找一个二次函数可以作为这两个函数在区间(-∞,+∞o)

上的分离函数，找一个即可并给出其解析式.

(3)若存在实数k和b,使得函数y=kx+b可以作为函数和函数

y=4x²-16在区间[m,n]上的分离函数，且满足[m,n]≤[-2,2],求n-m的最大值并

说明其几何意义.

高三数学试卷第4页(共4页)

数学试题参考答案与评分细则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.C2.B3.A4.B

5.C6.D7.A8.D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.ABD10.BCD11.ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2”13.√514.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.解：

(1)由

……3分

而由余弦定理，

……6分

(2)由(1),两边平方得，

解……9分

,当且仅当

b=c=4时取得最大值，……12分

所以，SABC的最大值是·……13分

16.解：

数学答案第1页(共6页)

(1)依题意，DC⊥FC,DC⊥BC,所以∠BCF是二面角F-DC-B的平面角，

即∠BCF=60°,且CDI平面BCF,所以

CD⊥FN

……2分

如图，将侧面CDEF展开到平面ABCD上，则在直角梯形

ABCD中，∠BAD=60°,DC=3,AB=5,可求得

BC=2√3,AD=4.……4分

在直角梯形CDEF中，∠CDE=60°,DC=3,EF=1,

可求得CF=2√3

ED=4.……6分

故在原几何体中，△BCF是等边三角形，所以FN⊥BC.又因为BC∩DC=C,

且BC,DCc平面ABCD,所以FN⊥平面ABCD,因此FN⊥AD.……8分

(2)由(1)知FN⊥平面ABCD,如图，以NB,NF分别为Y轴，z轴的正方向建

立空间直角坐标系,则

可得

DA=(2,2√3,0),DE=(-2,√3,3).……10分

设平面ADE的法向量n=(x,y,z),则

,解得.令

y=-1,则平面ADE的一个法向量为

n=(√3,-1,√3)

……13分

又因,即为

所求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.……15分

17.解：

(1)由题意得解得故椭圆C的方程为

……3分

(2)设点T(-3,m),P(x,y₁),Q(x₂,y₂),PQ的中点为N(x₀,y₀).

数学答案第2页(共6页)

(i)因为F(-2,0),所以直线PQ的方程为x=my-2.

联立方程消去x得(m²+3)y²-4my-2=0.……5分

于是,故

N……7分

所以O,N,T三点共线，即OT平分线段PQ(其中O为坐

标原点).……9分

(ii)由题意

……11分

令√m²+1=x(x≥1).于(当且仅当

x²=2时取等号).……13分

因此，当最小，即x²=2时，解得m=1或m=-1,此时点T的坐标为(-3,1)

或(-3,-1).……15分

18.解：

(1)X的所有可能取值为3,4,5,6,

数学答案第3页(共6页)

……2分

X的分布列为

X3456

P

数学期……4分

(2)依题意，指针转动n次，n∈N*,若n次得分之和为n+2,则n次转动中有

两次指针落入A.则当n≥2时，

当n=1时，P(1)=0,也符合上式.则

……7分

则

……10分

(3)设“指针转动2n+1次，至少获胜n+1次”事件为C,要使事件C发生，有

两种情况：前2n-1次至少获胜n次，记此事件为A₁,和前2n-1次获胜少于n次，记

此事件为A₂,则C=A₁C+A₂C.

事件A又可以分为两种情况，即前2n-1次指针转动恰好获胜n次和至少获胜

n+1次.若是后者，则再转两次时无论结果如何已经实现了事件C;若是前者，则再转

两次都无法获胜的概率为C2n-1P”(1-p)”⁻¹(1-p)²,则A₁C的概率为

Q(n)一

数学答案第4页(共6页)

对于事件A₂,则必须恰好获胜n-1次，否则再转两次时无论结果如何都无法实现

事件C,则……13分

因此，综合以上情况

所以，

……16分

其统计意义为，因为指针落入A的概率只有,比一半小，所以当指针转动的次数

越来越多时，要想有一半以上的情形落入A,这样的可能性只会越来越小.

17分

19.解：

(1)可以.因为2x²+2-4x=2(x-1)²≥0恒成立，且4x-(-x²+4x)=x²≥0恒成

立.……3分

(2)设y=ax²+bx+c(a≠0)是y=2x²+2和y=4x在(-∞0,+0)上的分离函数.直

线y=4x是y=2x²+2的图像在x=1处的切线，所以直线y=4x也应该是

y=ax²+bx+c的图像在x=1处的切线，因此可得

……6分

所以2x²+2≥ax²+(4-2a)x+a≥4x对一切实数x恒成立，即

(2-a)(x-1)²≥0且a(x-1)²≥0对一切实数x恒成立，所以2-a≥0且a>0,解得

0<a≤2.……9分

又因为当a=2时，y=ax²+(4-2a)x+a与y=2x²+2为相同函数，不符合题

意，所以所求函数为y=ax²+(4-2a)x+a(0<a<2),选0<a<2中任何一值代入

即可，得到任何一个该函数的表达式即得全分，或者直接给出这个通式并说明0<a