2026年广东省部编版高三数学第12单元数学竞赛模拟试题

2026年广东省部编版高三数学第12单元数学竞赛模拟试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|表示数轴上点x到1、2、3的距离之和。当x在区间[2,3]内时，距离之和最小，为1＋0＋1＝2。故选B。2.若复数z满足z²－2z＋2＝0，且arg(z)＝π/4，则z的实部为（）A．1－√2B．1＋√2C．－1－√2D．－1＋√2解析：由z²－2z＋2＝0得z＝1±i，arg(z)＝π/4对应z＝1+i，实部为1。故选B。3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²－2abcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由a²－b²＝c²－2abcosC得cosA＝1/2，A＝π/3，△ABC为等边三角形。故选C。4.已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋2n－1，则a₁＋a₂＋…＋a₁₀的值为（）A．55B．100C．155D．210解析：由a_n＋1－a_n＝2n－1得a_n＝1＋(2×1－1)＋(2×2－1)＋…＋(2(n－1)－1)＝n²，a₁＋a₂＋…＋a₁₀＝1²＋2²＋…＋10²＝55。故选A。5.不等式|3x－2|＜|x＋4|的解集为（）A．(－2，3)B．(－1，2)C．(－3，1)D．(－4，5)解析：平方后得9x²－12x＋4＜x²＋8x＋16，即8x²－20x－12＜0，解得－1＜x＜2。故选B。6.已知圆C：x²＋y²－4x＋6y－3＝0，则圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离为（）A．1B．2C．3D．4解析：圆心(2，－3)，距离＝|3×2－4×(－3)＋5|/√(3²＋(－4)²)＝3。故选C。7.执行以下程序段后，变量S的值为（）i＝1；S＝0；WHILEi≤10DOS＝S＋i²；i＝i＋2；ENDWHILEA．385B．405C．505D．655解析：S＝1²＋3²＋5²＋7²＋9²＝385。故选A。8.函数f(x)＝sin(2x)＋cos(2x)的最小正周期为（）A．πB．2πC．π/2D．4π解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，周期T＝2π/2＝π。故选A。9.在空间直角坐标系中，向量a＝(1，2，－1)，b＝(2，－1，1)，则向量a×b的方向余弦中，cosγ的值为（）A．－1/3B．1/3C．2/3D．－2/3解析：a×b＝(3，－3，－3)，|a×b|＝3√3，cosγ＝(－3)/(3√3)＝－1/√3＝－1/3。故选A。10.已知三棱锥A－BCD的体积为V，底面BCD的面积为S，点A到平面BCD的距离为h，则下列等式中不成立的是（）A．V＝1/3×S×hB．V＝1/3×BC×AD×sin∠BACC．V＝1/3×AB×AC×sin∠BAC×hD．V＝1/3×S×AD解析：选项C中，h应为A到BC的垂直距离，而非到平面BCD的距离。故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若tanα＝－2，α∈(π/2，π)，则cosα＝________。参考答案：－√5/5；解析：sinα＝2/√5，cosα＝－√(1－sin²α)＝－√5/5。2.已知等差数列{a_n}中，a₅＝10，a₁₀＝25，则a₁＝________。参考答案：－5；解析：a₁＋4d＝10，a₁＋9d＝25，解得a₁＝－5，d＝3。3.不等式x²－3x－4＞0的解集为________。参考答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)；解析：解x²－3x－4＝0得x＝－1或x＝4。4.函数f(x)＝e^x－lnx在(0，＋∞)上的单调递增区间为________。参考答案：(1，＋∞)；解析：f'(x)＝e^x－1/x，令f'(x)＞0得x＞1。5.已知圆x²＋y²－2x＋4y－4＝0的圆心在直线y＝kx上，则k的值为________。参考答案：1/2；解析：圆心(1，－2)，代入y＝kx得k＝1/2。6.若复数z＝1＋i，则z³的虚部为________。参考答案：－3；解析：z³＝(1＋i)³＝1＋3i－3－i＝－2＋2i，虚部为2。7.在△ABC中，若sinA/sinB＝2/3，a＝4，b＝6，则c的值为________。参考答案：√52；解析：由正弦定理a/sinA＝b/sinB得a/b＝sinA/sinB＝2/3，c²＝a²＋b²－2abcosC＝4²＋6²－2×4×6×(2/3)＝52，c＝√52。8.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间(－2，2)上的最大值与最小值之差为________。参考答案：12；解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最大值3，最小值－1，差12。9.在直角坐标系中，点P(1，2)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________。参考答案：(－1，0)；解析：设对称点为(a，b)，则(a－1)/2＝1，(b－2)/2＝－1，解得a＝－1，b＝0。10.已知数列{a_n}满足a_n＋1＝a_n＋n，且a₁＝1，则a₁₀＝________。参考答案：55；解析：a_n＝1＋(1＋2＋…＋(n－1))＝1＋n(n－1)/2＝n²－n＋1，a₁₀＝55。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)在(a，b)上连续。（）参考答案：×；解析：单调递增不一定连续，如分段函数。2.若复数z满足|z|＝1，则z²一定是实数。（）参考答案：√；解析：z＝cosθ＋isinθ，z²＝cos2θ＋isin2θ，若θ＝kπ/2，则z²是实数。3.在△ABC中，若a²＝b²＋c²，则△ABC一定是直角三角形。（）参考答案：√；解析：满足勾股定理。4.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝n²－n，则{a_n}是等差数列。（）参考答案：√；解析：a_n＝S_n－S_(n－1)＝2n－2，是等差数列。5.函数f(x)＝sin|x|是周期函数。（）参考答案：×；解析：sin|x|在x＜0时与x＞0时对称，但非周期函数。6.若向量a与向量b垂直，则|a×b|＝|a||b|。（）参考答案：×；解析：|a×b|＝|a||b|sinθ，θ＝π/2时才成立。7.在空间直角坐标系中，过点(1，2，3)且平行于向量(1，1，1)的直线方程为x＝1＋t，y＝2＋t，z＝3＋t。（）参考答案：√；解析：符合直线参数方程形式。8.若圆x²＋y²－2x＋4y－4＝0与直线x－y＋5＝0相切，则切点坐标为(2，－3)。（）参考答案：×；解析：圆心(1，－2)到直线距离|1－(－2)＋5|/√2＝4√2≠√5，不相切。9.若复数z满足z²＝z，则z一定是1。（）参考答案：×；解析：z＝0也满足z²＝z。10.在等比数列{a_n}中，若a₃＝12，a₅＝96，则公比q＝2。（）参考答案：√；解析：a₅＝a₃q²，96＝12q²，q＝2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝|x²－4x＋3|在区间[0，5]上的最大值和最小值。参考答案：最大值4，最小值0；解析：f(x)＝|x－1||x－3|，在x＝1或x＝3时取最小值0，在x＝2时取最大值4。2.已知函数f(x)＝x²－2ax＋4在x＝1时取得最小值，求a的值。参考答案：a＝3；解析：f'(x)＝2x－2a，令x＝1得2×1－2a＝0，a＝1，但需验证f(1)＝1－2a＋4＝min，得a＝3。3.在△ABC中，若a＝3，b＝4，C＝60°，求sinA的值。参考答案：3√7/14；解析：由正弦定理a/sinA＝b/sinB，sinB＝4sinA/3，sinC＝sin(180°－A－B)＝sinAcosB＋cosAsinB，cosB＝√(1－sin²B)，解得sinA＝3√7/14。4.求极限lim(x→0)(sinx－x)/(x³)。参考答案：－1/6；解析：用洛必达法则三次，lim＝lim(cosx－1)/(3x²)＝lim(－sinx)/(6x)＝－1/6。5.已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋n²，求a₁₀的值。参考答案：385；解析：a_n＝1＋(1²＋2²＋…＋(n－1)²)＝1＋(n－1)n(2n－1)/6，a₁₀＝385。6.求函数f(x)＝e^x－2cosx在(－π，π)上的零点个数。参考答案：3个；解析：f'(x)＝e^x＋2sinx，f'(x)在(－π，π)上无零点，f(－π)＜0，f(0)＜0，f(π)＞0，零点个数为3。7.在空间直角坐标系中，求过点(1，2，3)且垂直于平面x－2y＋3z－4＝0的直线方程。参考答案：x＝1＋t，y＝2－2t，z＝3＋3t；解析：方向向量为(1，－2，3)。8.已知圆x²＋y²－4x＋6y－3＝0，求其圆心到原点的距离。参考答案：√13；解析：圆心(2，－3)，距离＝√(2²＋(－3)²)＝√13。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为50元，售价为80元。若销售量x件时，利润为L(x)万元，求L(x)的表达式及销售量使利润最大时的值。参考答案：L(x)＝(80－50)x－10＝30x－10，L'(x)＝30，无最大值，但x越大利润越大。2.已知函数f(x)＝x³－3x²＋2，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值0，最小值－2；解析：f'(x)＝3x²－6x，令f'(x)＝0得x＝0或x＝2，f(－1)＝6，f(0)＝2，f(2)＝0，f(3)＝2，最大值0，最小值－2。3.在△ABC中，若a＝5，b＝7，c＝8，求cosA的值。参考答案：11/14；解析：由余弦定理cosA＝(b²＋c²－a²)/(2bc)＝(49＋64－25)/(2×7×8)＝11/14。4.已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋n，求a₁＋a₂＋…＋a₁₀的值。参考答案：155；解析：a_n＝1＋(1²＋2²＋…＋(n－1)²)＝1＋(n－1)n(2n－1)/6，a₁＋a₂＋…＋a₁₀＝155。5.求函数f(x)＝sin²x－cosx在[0，2π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值1，最小值－3/4；解析：f(x)＝1－cos²x－cosx，令t＝cosx，f(t)＝－t²－t＋1，在t＝－1/2时取最大值1，在t＝1时取最小值－3/4。6.在空间直角坐标系中，求过点(1，2，3)且平行于向量(1，1，1)的直线方程。参考答案：x＝1＋t，y＝2＋t，z＝3＋t；解析：方向向量为(1，1，1)。7.已知圆x²＋y²－2x＋4y－4＝0，求其圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离。参考答案：3；解析：圆心(1，－2)，距离＝|3×1－4×(－2)＋5|/√(3²＋(－4)²)＝3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B；解析：f(x)在x＝2时取最小值2。2.D；解析：z＝1+i，实部为1。3.C；解析：cosA＝1/2，A＝π/3，△ABC为等边三角形。4.A；解析：a_n＝n²，a₁＋a₂＋…＋a₁₀＝55。5.B；解析：|3x－2|＜|x＋4|平方后解得x∈(－1，2)。6.C；解析：圆心(2，－3)，距离＝|3×2－4×(－3)＋5|/5＝3。7.A；解析：S＝1²＋3²＋5²＋7²＋9²＝385。8.A；解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，周期T＝π。9.A；解析：a×b＝(3，－3，－3)，cosγ＝－1/√3＝－1/3。10.C；解析：选项C中h应为A到BC的垂直距离。二、填空题1.－√5/5；解析：sinα＝2/√5，cosα＝－√(1－sin²α)＝－√5/5。2.－5；解析：a₁＋4d＝10，a₁＋9d＝25，解得a₁＝－5，d＝3。3.(－∞，－1)∪(4，＋∞)；解析：解x²－3x－4＝0得x＝－1或x＝4。4.(1，＋∞)；解析：f'(x)＝e^x－1/x，令f'(x)＞0得x＞1。5.1/2；解析：圆心(1，－2)，代入y＝kx得k＝1/2。6.－3；解析：z³＝(1＋i)³＝1＋3i－3－i＝－2＋2i，虚部为2。7.√52；解析：由正弦定理a/sinA＝b/sinB得sinA＝2/3，c²＝a²＋b²－2abcosC＝52，c＝√52。8.12；解析：f(－2)＝1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最大值3，最小值－1，差12。9.(－1，0)；解析：设对称点为(a，b)，则(a－1)/2＝1，(b－2)/2＝－1，解得a＝－1，b＝0。10.55；解析：a_n＝n²－n＋1，a₁₀＝55。三、判断题1.×；解析：单调递增不一定连续，如分段函数。2.√；解析：z＝cosθ＋isinθ，z²＝cos2θ＋isin2θ，若θ＝kπ/2，则z²是实数。3.√；解析：满足勾股定理。4.√；解析：a_n＝2n－2，是等差数列。5.×；解析：sin|x|在x＜0时与x＞0时对称，但非周期函数。6.×；解析：|a×b|＝|a||b|sinθ，θ＝π/2时才成立。7.√；解析：符合直线参数方程形式。8.×；解析：圆心(1，－2)到直线距离|1－(－2)＋5|/√2＝4√2≠√5，不相切。9.×；解析：z＝0也满足z²＝z。10.√；解析：a₅＝a₃q²，96＝12q²，q＝2。四、简答题1.解析：f(x)＝|x－1||x－3|，在x＝1或x＝3时取最小值0，在x＝2时取最大值4。2.解析：f'(x)＝2x－2a，令x＝1得2×1－2a＝0，a＝1，但需验证f(1)＝1－2a＋4＝min，得a＝3。3.解析：由正弦定理a/sinA＝b/sinB，sinB＝4sinA/3，sinC＝sin(180°－A－B)＝s